精品解析：河南省郑州市外国语学校2025-2026学年高一上学期月考2数学试题

郑州外国语学校2025-2026学年高一上期月考2试卷 数学 （100分钟 100分） 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数且过定点，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的偶函数满足对且都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为8； B. 的最小值为2； C. 的最小值为； D. 的最小值为. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为{x|x<2} C. D. 的解集为 10. 已知函数则下列结论正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的表达式可改写为 D. 若其中 ，则 的最小值为 11. 已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是（    ） A. 时，方程有2个不同的实数根 B. 方程至少有2个不同的实数根 C. 若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D. 若方程有3个不同的实数根，则的取值范围是 三、填空题（共3小题，每题4分，共12分） 12. _____． 13. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则___________． 14. 函数的定义域为，若满足:①在内是单调函数；②∃区间使在上的值域是那么就称为“和谐函数”，若函数是“和谐函数”，则的取值范围是______ 四、解答题（共4大题，15，16题每题10分；17，18每题13分，共46分） 15. 已知 （1）化简； （2）若，，求． 16. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若对于恒成立，求m的最小值． 17. 已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上有两个零点，求的值. 18. 已知定义在上的函数满足，且，． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2025-2026学年高一上期月考2试卷 数学 （100分钟 100分） 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 2. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，求得的值.结合函数的图象关于原点对称，确定的值. 代入不等式求解，可得实数的取值范围. 【详解】由题可知，，即，解得，或. 若，则，图象关于y轴对称； 若，则，图象关于原点对称. 所以. 由，即化简得 所以实数的取值范围为. 故选：C. 3. 已知函数且过定点，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据指数函数的性质求出函数所过的定点，即可求出，再根据对数函数的图象与性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数且过定点， 所以， 则，其图象关于对称，且在上单调递减， 则符合的图象为D选项. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系先求，进而将弦化为切即可求解. 【详解】由，解得， 所以， 故选：A. 5. 已知定义在上的偶函数满足对且都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到的单调性，且，从而分和两种情况，解不等式，求出答案. 【详解】对且，都有，故在上单调递减， 为定义在上的偶函数，故在上单调递增，且， 当时，，故， 当时，，故， 所以不等式的解集为. 故选：B 6. 已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，得出方程只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 7. 设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断出函数为奇函数，再结合单调性将题意转化为存在使不等式成立，结合含参二次函数的性质解题即可. 【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称， 由于， 所以函数为奇函数， 又因为函数和均为上的减函数， 所以为上的减函数， 所以存在使不等式成立， 即成立，等价于存在使不等式成立， 当时显然满足； 当时，则，即， 综上可得实数的取值范围是， 故选：B. 8. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为8； B. 的最小值为2； C. 的最小值为； D. 的最小值为. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数、的单调性知其零点相等得出，利用基本不等式判断A；根据判断B；根据结合基本不等式判断C；化简，结合A选项判断D. 【详解】因为单调递增，单调递增，且恒成立， 所以与零点相等， 令可得；令可得， 所以​， 对于A选项：因，则，即， 故，所以，当且仅当，即取等号，所以A错误； 对于B选项：由可知，易知，， 所以，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C选项：因，故， 所以，故， 当且仅当，即取等号，所以C正确； 对于D选项：由可知，， 由，所以， 故当且仅当时取最小值，所以D错误. 故选：C. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为{x|x<2} C. D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由的不等式的解集得到或是的两根，且，根据根与系数的关系得到，分别代入选项一一求解即可. 【详解】的不等式的解集或， 或是的两根，且，故选项A错误； ，，，， ，，，的解集为，故选项B正确； ，，故选项C正确； ，，，， ，， 的解集为，故选项D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数则下列结论正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的表达式可改写为 D. 若其中 ，则 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用检验法将，代入，即可验证A错误和B正确，由诱导公式结合余弦函数的周期性得，所以C正确，根据求出对应的的通解，找相邻解的最小差值，即可判断D正确. 【详解】A选项，将代入可得，所以函数的图象关于点对称，故A选项错误； B选项，由于，故函数的图象关于对称，B选项正确； C选项，利用诱导公式得， 再结合余弦周期性得， 因此，所以选项C正确； D选项，由得，，解得或， 即或,则,，D错误. 故答案为：BC. 11. 已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是（    ） A. 时，方程有2个不同的实数根 B. 方程至少有2个不同的实数根 C. 若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D. 若方程有3个不同的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】将问题转化为和的图象的交点个数问题，然后作图分析可得． 【详解】方程根的问题可以转化成直线和图象的交点问题， 如图，作出直线和函数的图象， A，由图可知：时，方程有2个不同的实数根，正确； B，当时，结合图象可知，方程有一个解，错误． C，由图可知直线和的图象有3个交点时，的取值范围为，正确． D，因为为方程，即的两个不相等实根，所以， 因为为方程的根，所以，所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以，正确． 故选：ACD. 三、填空题（共3小题，每题4分，共12分） 12. _____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则即得. 【详解】因为，， ，， ， 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知条件推出函数的周期，再结合函数的性质推出特定点的函数值，代入求值即可. 【详解】由可得①， 令，则，所以. 令，则，所以. 因为为偶函数，所以 ，所以②， 令，则，即. 由①②得， 令，则，所以， 所以， 所以函数是周期为4的周期函数. ，，，， 所以. 故答案为：1. 14. 函数的定义域为，若满足:①在内是单调函数；②∃区间使在上的值域是那么就称为“和谐函数”，若函数是“和谐函数”，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的单调性可得单调递增，由“和谐函数”的定义可得有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，令，则有两个不相等的正实数根，结合韦达定理求解即可. 【详解】由题意，因为 是“和谐函数”， 当时，单调递减，单调递减， 所以单调递增； 当时，单调递增，单调递增， 所以单调递增； 综上，在其定义域内为增函数，且在上的值域是， 所以， 所以有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 令，则， 所以有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 即 . 故答案为： 四、解答题（共4大题，15，16题每题10分；17，18每题13分，共46分） 15. 已知 （1）化简； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）根据（1）可知，从而求得，再对进行变形即可求出. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，且， ，∴， ∴ . 16. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若对于恒成立，求m的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由对数的运算化简函数，令，得到，解得的取值范围，然后求得的取值范围； （2）由对数的运算整理不等式，令并通过的取值范围，求得的取值范围.将不等式分离常数都得到，构造函数并通过函数的单调性求得不等式右边的最大值，从而求得的最小值. 【小问1详解】 ， 令，则， ，即，则，∴或， 当时，即，则， 当时，即，则， ∴或. 【小问2详解】 ， 即，∴恒成立， 令，∵，∴， 则恒成立 令函数， ∵在上单调递增，在上单调递增，∴在上单调递增， ∴， ∴. 即m的最小值为. 17. 已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上有两个零点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到的值，再结合函数为奇函数，求出的值，即可求得函数的解析式； （2）设，由，得到，作出函数在的图象与直线的图象，求得，代入即可求解. 【小问1详解】 由函数相邻两个零点间的距离为，可得函数的最小正周期， 因为，可得， 所以，可得， 又因为为奇函数，可得，解得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数， 设，因为，可得， 函数在区间上的大致图象，如图所示， 函数在区间上有两个零点， 即函数的图象与直线在区间内有两个交点，且两交点的横坐标分别为. 结合图象，可得，整理得， 所以. 18. 已知定义在上的函数满足，且，． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，进而得，利用对数的运算即可求解； （2）由（1）得，利用复合函数的单调性判断的单调性，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，设，利用基本不等式即可求解； （3）对任意的，存在，使得，即在上的最小值不小于在上的最小值，利用单调性先求，即在上有解，则在上有解，令，再令，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由，所以， 即， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知，， 令，得在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数的单调性得在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立， 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以，故实数的取值范围是； 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值. 因为在上单调递增， 所以当时，. ，则在上有解， 则在上有解， 令，， 令，，则，当且仅当时取等号， ∴，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $