河南省商丘市高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考（10月）数学试卷

高一数学试卷 出题人：姜务臣　　审题人：吴倩倩 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1．（5分）下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（5分）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 3．（5分）已知函数 ，函数 的图象如图所示，则 ] =（　　） A． B． C． D． 4．（5分）若 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（5分）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（5分）若关于 的不等式 的解为 ，则实数 的值为（　　） A．−2 B．−1 C． D． 7．（5分）已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 最大值是 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 8．（5分）非空集合 具有如下性质：①若 ，，则 ；②若 ，，则 ；由此可知：下列判断中，错误的是（　　） A． B． C．若 ，，则 D．若 ，，则 9．（6分）下列说法正确的是（　　） A．函数 的定义域是 B． 和 表示同一个函数 C．函数 的值域为 ] D．定义在 上的函数 满足 ，则 10．（6分）下列说法正确的是（　　） A．集合 的真子集有 个 B．若集合 ，，则 C．方程 有两个不相等的负根的充要条件是 D．“”是“”的充分不必要条件 11．（6分）已知正数 ， 满足 ，则下列说法正确的是（　　） A． 的取值范围为 B． 的最大值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．（5分）若“]，”为真命题，则实数 的取值范围是 　　　　． 13．（5分）我校为了提高同学们的学习兴趣举办了数学、物理两科竞赛．高一年级共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为 　　　　． 14．（5分）已知不等式 对任意 恒成立，其中 ， 是整数，则 的取值的集合为 　　　　． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）设 为全集，集合 ，． （1）若 ，求 ，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 16．（15分）设 ， 为实数，集合 ． （1）求不等式 的解集； （2）若 ，，，求 的最小值． 17．（15分）已知函数 ． （1）求证：（ 且 ）； （2）求 的值． 18．（17分）已知二次函数 满足 ，且 ． （1）求 的解析式； （2）若两个不相等的正数 ， 满足 ，求 的最小值； （3）求函数 在区间 ] 上的最大值 ． 19．（17分）北京时间2025年10月31日23时44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射取得圆满成功．某文创企业借此契机推出一款“火箭模型纪念U盘”，前期研发与模具等固定成本为 （万元），每生产 （万个）还需投入生产成本 万元，且据测算 若该款U盘年产量为 万个，每个售价45元且全部售完． （1）求出利润 （万元）关于年产量 万个的函数解析式 ； （2）当产量至少为多少时，该公司在该款U盘生产销售中才能收回成本（参考值：）； （3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润． 高一数学试卷　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A B D B C D 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．（5分）下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要逐项判断元素与集合的关系，注意 ，，， 的范围是层层扩大的． 【解答】解：： 是无理数，，错误； ： 是自然数，，错误； ： 是整数，当然是分数（有理数），，正确； ： 是实数，，错误． 故选：C． 2．（5分）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】先明确谁推谁：由 能不能推出 ？反过来呢？ 【解答】解：若 ，则 ，所以“”是必要的； 若 ，则 或 ，推不出 ，所以不充分． “”是“”的必要不充分条件． 故选：D． 3．（5分）已知函数 ，函数 的图象如图所示，则 ] =（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先从图象读出 的值，再代入 ． 【解答】解：由图象知，当 时 ，即 ， ． 故选：A． 4．（5分）若 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】注意 可能取 ，所以含 的选项要小心． 【解答】解：：，，错误； ：，，，正确； ：当 时 ，错误； ：当 ， 为负数时不成立，错误． 故选：B． 5．（5分）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根号内是二次式，要保证它对任意 都非负，用判别式 ． 【解答】解： 的定义域为 ， 对任意 恒成立， ， 即 ，， ． 故选：D． 6．（5分）若关于 的不等式 的解为 ，则实数 的值为（　　） A．−2 B．−1 C． D． 【答案】B 【分析】解集的两个端点就是对应方程的两根，用根与系数的关系（韦达定理）． 【解答】解： 不等式 的解为 ， ，且 ， 是方程 的两根， 由两根之和 得 ，． （检验： 即 ，，解得 ，符合．） 故选：B． 7．（5分）已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 最大值是 【答案】C 【分析】由 把 换成 ，再用 的范围判断． 【解答】解：，，，． ：，，，错误； ：，无法保证为正，错误； ：，（，取不到 ）， ，正确； ：，但 取不到等号， 没有最大值 ，错误． 故选：C． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 8．（5分）非空集合 具有如下性质：①若 ，，则 ；②若 ，，则 ；由此可知：下列判断中，错误的是（　　） A． B． C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】D 【分析】由①②能推出哪些运算封闭？注意题目只给了加法和除法． 【解答】解： 非空，取 ， 由①得 ； 由②得 ，，，即所有正整数都在 中； 由①得 ，，，， 进而 ，即所有正有理数都在 中． ： 不是正数，，正确； ： 是正有理数，属于 ，正确； ：，而 ，，正确； ：题目只保证了加法和除法运算，没有得到减法，例如 ，错误． 故选：D． 9．（6分）下列说法正确的是（　　） A．函数 的定义域是 B． 和 表示同一个函数 C．函数 的值域为 ] D．定义在 上的函数 满足 ，则 【答案】AD 【分析】逐个验证：定义域看“分母不为0、偶次根号内非负”；判断同一函数看定义域与对应关系是否都相同；求值域先看分母范围． 【解答】解：：由 且 得 且 ， 定义域为 ，正确； ： 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，不是同一函数，错误； ：，， 值域为 ]，不是 ]，错误； ：　…　① 把 . 换成 得 .　…　② ① 得 　…　③ ③+② 得 ，，正确． 故选：AD． 10．（6分）下列说法正确的是（　　） A．集合 的真子集有 个 B．若集合 ，，则 C．方程 有两个不相等的负根的充要条件是 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】注意区分“子集”“真子集”的个数；集合 ， 的代表元素不同；“两根为负”要同时看判别式、两根之和、两根之积． 【解答】解：：含有 个元素的集合，其真子集有 个（要去掉它本身），错误； ： 是函数值的集合， 是自变量的集合， ，正确； ：方程有两个不相等的负根 ，，， ，正确； ：若 ，则 ，充分性成立； 若 ，则 或 ，推不出 ，必要性不成立，正确． 故选：BCD． 11．（6分）已知正数 ， 满足 ，则下列说法正确的是（　　） A． 的取值范围为 B． 的最大值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【答案】ABD 【分析】条件 可以“因式分解”成 ，这是解题的关键；再用 表示 ，把目标化成关于一个字母的函数． 【解答】解：由 得 ， ，，，， ， 正确； ：，令 ，则 ， ， （当 时取等号，且 ）， ，最大值为 ，正确； ：， 在 上单调递增，， 最小值取不到 ，错误； ：， 设 ，可验证当 时取最小值， ，正确． 故选：ABD． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．（5分）若“]，”为真命题，则实数 的取值范围是 　　　　． 【答案】 【分析】存在 ] 使 ，只需 不小于 的最小值． 【解答】解：“]，”为真命题， 存在 ] 使 ， 当 ] 时 ]，最小值为 ， ，即 的取值范围是 ． 故答案为：． 13．（5分）我校为了提高同学们的学习兴趣举办了数学、物理两科竞赛．高一年级共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为 　　　　． 【答案】20 【分析】画韦恩图：把“只数学”“只物理”“两科都优”三类人数相加，再用总人数减． 【解答】解：由题意，至少一科优秀的人数为 （人）， 两科均未取得优秀的人数为 （人）． 故答案为：20． 14．（5分）已知不等式 对任意 恒成立，其中 ， 是整数，则 的取值的集合为 　　　　． 【答案】 【分析】先看 时谁决定符号，得到 ；再分段讨论 的正负，注意在 处两边符号相反． 【解答】解：当 时 ，要使乘积 ，必须 ； 若 ，则 对 恒成立，需 对 恒成立，但 时 ，不可能，故 ； 此时 在 上为正、在 上为负， 必须 ，即 ，， ， 为整数，，， 或 ，， 或 ，即取值的集合为 ． 故答案为：． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）设 为全集，集合 ，． （1）若 ，求 ，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）]，；（2） 【分析】先把 求出来（配方看 的范围），再按区间运算；第（2）问“充分不必要”就是 ，注意 可能是空集． 【解答】解：，， 当 时 ，当 时 ， ]． （1）当 时，]， ]； ， ． （2）“”是“”的充分不必要条件，． ①当 ，即 时，，符合题意； ②当 时，] 非空，由 得 ，． 综上所述，． 16．（15分）设 ， 为实数，集合 ． （1）求不等式 的解集； （2）若 ，，，求 的最小值． 【答案】（1）]；（2）最小值为 【分析】先由 解出 ，（端点就是方程的两根）；第（2）问是“乘1法”：把 乘到所求式子上再展开． 【解答】解：（1）由 得 ，， ，． 不等式 即 ， ，， 即解集为 ]． （2），，， ， 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ， 的最小值为 ． 17．（15分）已知函数 ． （1）求证：（ 且 ）； （2）求 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】第（2）问的关键是发现 与 成对相加等于 ，先数清楚有多少对，别漏掉中间的 ． 【解答】证明：（1）， ， ． 解：（2）由（1）知，对任意 且 都有 ， ，，，，共有 对， 又 ， 原式 ． 18．（17分）已知二次函数 满足 ，且 ． （1）求 的解析式； （2）若两个不相等的正数 ， 满足 ，求 的最小值； （3）求函数 在区间 ] 上的最大值 ． 【答案】（1）；（2）最小值为 ；（3） 【分析】（1）用待定系数法：设 ，比较两边同次项系数；（2） 且 说明 ， 关于对称轴对称；（3）开口向下的二次函数在闭区间上的最大值要看对称轴在哪里． 【解答】解：（1）设 （）， 由 得 ． ， 又 ， ，解得 ，， ． （2）， 图象关于直线 对称， 且 ，，且 ，，，． ， 设 ，则 ，， 原式 ． ， 用“乘1法”： ] ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， 此时 ，， 原式的最小值为 ． （3），其对称轴为 ，开口向下． ①当 ，即 时， 在 ] 上单调递减， ； ②当 ，即 时，对称轴在区间内， ； ③当 ，即 时， 在 ] 上单调递增， ． 综上所述， 19．（17分）北京时间2025年10月31日23时44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射取得圆满成功．某文创企业借此契机推出一款“火箭模型纪念U盘”，前期研发与模具等固定成本为 （万元），每生产 （万个）还需投入生产成本 万元，且据测算 若该款U盘年产量为 万个，每个售价45元且全部售完． （1）求出利润 （万元）关于年产量 万个的函数解析式 ； （2）当产量至少为多少时，该公司在该款U盘生产销售中才能收回成本（参考值：）； （3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）；（2）至少 万个（约 万个）；（3）产量为 万个时利润最大，最大利润为 万元 【分析】利润 = 销售收入 - 生产成本 - 固定成本；关键是先把“万个”与“元”的单位统一： 万个 个，每个45元，收入就是 45x 万元． 【解答】解：（1）年产量为 万个，即 个，每个售价45元， 销售收入为 （万元）， ， 即 （2）收回成本即 ． ①当 时，，； ②当 时，，恒有 ； ③当 时，，恒成立． 综上，， 当产量至少约为 万个时才能收回成本． （3）①当 时， 单调递增，； ②当 时，，当 时取到 ； ③当 时，， 当且仅当 ，即 ， 时取等号． ， 当产量为 万个时利润最大，最大利润为 万元． 高一数学试卷 参考答案与试题解析　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $