第一章《丰富的图形世界》专项01 展开图的识别（三大题型）-专项培优 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

七年级上册 数学 北师大版 专项01 展开图的识别-专项培优讲义 使用场景:单元复习、期中（期末）复习 专 项 目 录 1 学习目标 2 基础知识点过关 3 分类题型设计 3.1 题型01 无盖立方体的展开图识别（第1~5题） 3.2 题型02 由多个立方体组合起来的组合体表面积（第6~11题） 3.3 题型03 数形结合的运用（第12~14题） 1 学习目标 1.熟练掌握立体图形与其表面展开图之间的对应关系。 2.掌握组合体表面积的计算方法，培养空间想象能力。 3.理解面动成体的概念，能计算旋转体的体积。 4.掌握欧拉公式，能灵活运用顶点、棱、面之间的数量关系。 2 基础知识点过关 一、正方体的展开图（11种基本图形） 1．“1-4-1”型（6种）：中间四个面，上下各一面。 2．“2-3-1”型（3种）：中间三个面，二一隔河见。 3．“2-2-2”型（1种）：中间两个面，楼梯天天见。 4．“3-3”型（1种）：中间没有面，三三连一线。 5．口诀记忆：“一线不过四，田凹应弃之”（即展开图中不能有“田”字型和“凹”字型，一条直线上最多4个正方形）。 二、相对面与相邻面的识别 1．相间法：在同一行或同一列中，相隔一个面的两个面是相对面。 2．“Z”字型：在“Z”字型的两端，互为相对面。 三、多面体的欧拉公式 对于任意简单多面体（凸多面体），其顶点数V、面数F、棱数E满足： V + F - E = 2。 3.1 题型01 无盖立方体的展开图识别 【解题技巧】 无盖立方体由5个正方形组成。识别时，想象哪个面作为“底面”，折起后四个侧面能否两两互不重叠。需注意排除带有“田”字或折叠后两面重合的图形。 【典型例题】 例1：下列图形中，能折叠成一个无盖的正方体盒子的是（　　）。 A B C D 解题技巧：想象折叠过程。若中间为正方向，四周需有四个面且互不冲突。可以通过动手画图或空间想象排除错误项。 答案:C 【针对训练】 1.【单选】下列2个平面图形中，不能折成无盖的正方体盒子的是（填选项） （　　） A B 【答案】A 【分析】考查无盖正方体展开图的识别。无盖正方体由 5 个正方形组成，折叠后应为“1 个底面 + 4 个侧面”，不能出现两个面重合，也不能有“田”字形。 【解析】 A 图呈“L”形：若以拐角处的正方形为底面，折叠时另外两个相隔较远的正方形会折到同一个侧面位置，发生重合，因此不能折成无盖正方体盒子。 B 图折叠后四个侧面能围成一圈，且不重合，可以折成无盖正方体。 【方法点拨】 判断无盖正方体展开图时，可任选一个面作底面，想象其余四个面折起后能否恰好围成四个侧面；若出现“田”字、凹字形或两面重合，则不能。 2.【填空】在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（　　）（填序号） 【答案】① 【分析】考查正方体展开图的补全。正方体展开图共 11 种，补上一个正方形后不能出现“田”字形、“凹”字形，也不能使一条直线上超过 4 个正方形。 【解析】 在①处补上一个小正方形后，上方会与已有正方形形成“田”字形结构，折叠时会出现两个面重合，不能折成正方体。 在②、③、④处补上后，均可化为正方体的 11 种基本展开图之一。 【方法点拨】 记忆口诀：“一线不过四，田凹应弃之。”补图后重点检查是否出现“田”字或“凹”字。 3.【选择】一个无盖的正方体纸盒，其展开图可能是下列图形中的（　　）。 A B C D 【答案】C 【分析】考查无盖正方体纸盒的展开图。无盖正方体展开图由 5 个正方形组成，且折叠后四个侧面围成一圈、一个面作底。 【解析】 A 图只有 4 个正方形，面数不足； B 图 5 个正方形排成一条直线，折叠时侧面会重合，不能围成正方体； D 图呈“凹”字形，折叠后不能围成无盖正方体； C 图可指定其中一个面为底，其余四个面折起后恰好围成四个侧面，因此可以折成无盖正方体纸盒。 【方法点拨】 无盖正方体展开图也满足“不能有田、不能有凹、一线不过四”等基本规律。 4.【解答】小斌同学做了一个无盖的三棱柱展开图，请补全这个三棱柱展开图。（画出所有的可能的展开图） 【答案】 【解析】 三棱柱的三个侧面展开后为三个连续矩形。三角形底面必须与其中一个矩形的一条边重合，折叠后作为三棱柱的一个底面。因此三角形可以“挂”在三个矩形中的任意一个外侧，但不能与已有矩形重叠。 画图时注意：三角形的边要与矩形边等长，尖角朝外；补在左、中、右三个位置均可。 【方法点拨】 棱柱展开图的关键：侧面排成一排，底面分别连在侧面上；无盖则只连一个底面。画图时先确定三个侧面，再移动三角形底面位置。 5.【解答】[名校典题改编] 阅读下列内容，完成问题。 七年级的数学兴趣小组正在制作一个磁性五棱柱模型，制作流程为:“先裁剪出五棱柱的展开图”→“折叠成一个五棱柱” 【任务1·选择正确的五棱柱展开图】 （1）下面是小天、小华和安安做的展开图，正确的是（ ） 小天制作的展开图 小华制作的展开图 安安制作的展开图 【任务2·用材计算】 （2）小明负责了本次模型制作的材料采购，需要购买卡纸，请根据正确的展开图和下面的数据表，完成问题。 五棱柱的侧面数据 五棱柱的底面数据 （每个底面裁剪后的边角料面积为2cm²） 注: 五棱柱展开图要裁剪下来，展开图不能重叠 ① 若需要制作一个五棱柱的表面展开图，需要多少平方厘米的卡纸？ ② 每一位七年级的数学老师都需要一个五棱柱模型，一共需要制作12个五棱柱模型，需要多少平方厘米的卡纸？ 【任务3·省钱方案】 （3）小明正在采购卡纸，文具店有不同的卡纸，选择哪一款卡纸更省钱？材料利用率会越高？材料利用率是多少？ 卡纸类型 长 宽 定价 卡纸A 19cm 12cm 3元（含2张） 卡纸B 24cm 21cm 11元（含3张） （4）小杰同学是六年级的数学兴趣小组的成员，制作完五棱柱的表面展开图的边角料需要制作无盖圆柱展开图，需要制作5个展开图，如何设计展开图的边长，才能使圆柱展开图的体积最大化？（取3） （1）选择正确的五棱柱展开图 【答案】小天制作的展开图 【分析】考查五棱柱展开图。五棱柱有 5 个侧面矩形和 2 个五边形底面，展开图中 5 个矩形应排成一排，两个五边形分别连在矩形条的上下两侧。 【解析】 天制作的展开图中，5 个侧面矩形排列完整，两个五边形分别连在侧面矩形条的上、下两侧，折叠后可成为五棱柱的上下底面，且不重叠。 小华、安安的展开图中，侧面矩形数量或五边形连接位置不正确，折叠后不能围成五棱柱。 【方法点拨】 五棱柱展开图要满足：5 个矩形连续排列；两个五边形各连在一个矩形边上；两个五边形不能在折叠后重合。 （2）用料计算 【答案】 ① 按展开图外接矩形计算：。 若按各面面积加底面裁剪边角料计算： 侧面面积 ， 两个底面面积 ， 加边角料 ，共 。 题目说“展开图不能重叠”，通常取外接矩形面积，即 。 ② 制作 12 个：。 【分析】考查五棱柱展开图的面积计算及卡纸用量。 【解析】 5 个侧面矩形排成一排，每个矩形为 ，所以展开图总长 ，侧面高 。 五边形上下突出部分按题中数据合计高度为 ，所以展开图外接矩形为 ，面积 。 12 个模型需要卡纸面积 。 【方法点拨】 求“需要多少卡纸”时，若展开图不能剪开拼接，应按展开图的外接矩形计算，而不是简单把各面面积相加。 （3）省钱方案与材料利用率 【答案】选择卡纸 B 更合适。 制作 12 个五棱柱需 12 张卡纸 B，即 4 组（每组 3 张），费用为 材料利用率约为 若按五棱柱实际表面积计算，利用率约为 【分析】考查材料利用率与方案选择。 【解析】 卡纸 A 为 ，高只有 ，而五棱柱展开图外接高度约 ，放不下，因此不能选 A。 卡纸 B 为 ，每张面积 ，可放一个五棱柱展开图。 12 个模型需 12 张 B，即 4 组，费用 元。 利用率按展开图外接面积计算为 。 【方法点拨】 选择卡纸时先看尺寸能否放下展开图，再比较费用和利用率；利用率 = 实际利用面积 ÷ 卡纸总面积。 （4）无盖圆柱展开图体积最大化 【答案】 设计圆柱底面半径 ，高 。 此时侧面展开矩形长为 宽为 ；底面圆直径为 。 最大体积为 【分析】考查圆柱展开图与体积最大化。无盖圆柱展开图由一个矩形侧面和一个圆底面组成。 【解析】 利用卡纸 B 制作五棱柱后，剩余边角料可看成右侧 的矩形区域和上方 的矩形区域。 把圆柱侧面矩形设计成 ，正好放入右侧区域；底面圆直径取 ，可放入上方 的区域。 因此取 ，。 体积： 若制作 5 个，则总体积为 【方法点拨】 圆柱体积 。要使体积最大，应尽量增大半径，同时保证侧面矩形和底面圆都能放入边角料区域。 3.2 题型02 由多个立方体组合起来的组合体表面积 【解题技巧】 1．三视图法：分别画出组合体的主视图、左视图、俯视图，。（前提是组合体没有内部凹陷或遮挡导致隐藏面）。 2．数面法（逐层法）：从上、下、前、后、左、右六个方向观察，数出能看到的正方形面数，再乘以单个面的面积。注意被压在下方或被包围的面不要遗漏。 【典型例题】 例2：将棱长为1的小正方体搭成如图所示的几何体，求该几何体的表面积。 解析：用三视图法。从正面看4个面，从上面看5个面，从左面看4个面。总表面积 = 2 × (4+5+4) × 1² = 26。 【针对训练】 6．【解答】用棱长为1dm的小正方体搭成一个几何体，它的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的表面积是多少平方厘米？ 主视图 俯视图 【答案】 【分析】考查由主视图、俯视图还原组合体并求表面积。棱长为 。 【解析】 由主视图可知，从左到右三列最高层数分别为 。 由俯视图可知，底面共有 4 个位置：左列前后各一个，中列一个，右列一个。 因此左视图面积为 个小正方形。 主视图面积 ，俯视图面积 。 表面积相当于： 个小正方形面积。 每个小正方形面积： 所以表面积为： 【方法点拨】 无隐藏凹陷时，组合体表面积可用三视图法：注意单位换算。 7．【填空】如图，由5个棱长为1的小正方体组成的几何体，其表面积为（　　） 【答案】20 【分析】考查由小正方体搭成的几何体表面积。每个小正方体棱长为 1，每个面面积为 1。 【解析】 该几何体由 5 个小正方体组成：底层 3 个排成一排，中间一个上面再叠 2 个，使中间柱高为 3。 若不考虑重合，总面积为： 相邻两个小正方体接触会隐藏 2 个面。 底层 3 个之间有 2 对接触；中间柱上下有 2 对接触；中间柱与底层中间有 1 对接触。 共 对接触，隐藏 个面。 表面积： 【方法点拨】 数面法：总面数减去每对接触面隐藏的 2 个面。 8．【填空】将几个大小相同的正方体木块堆放在一起，其主视图和左视图如图所示，则这堆木块的表面积最少是（　　） 主视图 左视图 【答案】20 【分析】考查由主视图、左视图确定最少木块数及最小表面积。 【解析】 主视图两列高度为 ，左视图三列高度为 。 最少需要 4 个小正方体：在右前位置放 2 个叠成高 2，在左中、左后各放 1 个，使主视图和左视图均满足。 4 个小正方体总面积为： 其中高 2 的柱有 1 对上下接触；另外两个单层小正方体可相邻放置，产生 1 对接触。 共 2 对接触，隐藏 个面。 表面积： 【方法点拨】 先根据两个视图确定最少方块数，再通过合理摆放增加接触面，使表面积最小。 9．【填空】把棱长为2的正方体分割成若干个棱长为1的小正方体，则所有小正方体的表面积之和比原正方体的表面积增加了（　　） 【答案】24 【分析】考查正方体分割后表面积变化。 【解析】 原正方体棱长为 2，体积为： 可分成 8 个棱长为 1 的小正方体。 原正方体表面积： 8 个小正方体总表面积： 增加： 【方法点拨】 大正方体分割成小正方体后，表面积会增加；增加量 = 小正方体总表面积 − 原大正方体表面积。 10．【解答】如图所示的几何体是由9个棱长为1的小正方体搭成的，求它的表面积。 【答案】C 【分析】考查无盖正方体纸盒的展开图。无盖正方体展开图由 5 个正方形组成，且折叠后四个侧面围成一圈、一个面作底。 【解析】 A 图只有 4 个正方形，面数不足； B 图 5 个正方形排成一条直线，折叠时侧面会重合，不能围成正方体； D 图呈“凹”字形，折叠后不能围成无盖正方体； C 图可指定其中一个面为底，其余四个面折起后恰好围成四个侧面，因此可以折成无盖正方体纸盒。 【方法点拨】 无盖正方体展开图也满足“不能有田、不能有凹、一线不过四”等基本规律。 11．【解答】一个由多个小正方体搭成的几何体，从正面、左面、上面看的图形完全相同。阅读上述要求，完成表格。 正方体的边长 长 宽 高 所需的正方体 体积 1cm 1 1 1 1 1cm³ 2cm 2 ① 2 ② ③ …… …… …… …… …… …… 1cm n n n ④ ⑤ ①________ ②________ ③________ ④________ ⑤________ 【答案】 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 。 【分析】考查三视图完全相同的小正方体组合规律。从正面、左面、上面看图形完全相同，而且看到的图形为正方形，说明几何体为正方体。 【解析】 棱长为 时，长、宽、高均为 ，需要小正方体：个，体积：棱长为 时，需要：个小正方体，体积为： 【方法点拨】 三视图完全相同的正方体组合，其长、宽、高相等。 3.3 题型03 数形结合的运用 【解题技巧】 此类题目常将代数式（字母表示数、方程）与几何图形的周长、面积、体积结合。解题关键在于：利用展开图的折叠特性或几何体的尺寸关系，建立等量关系式。 【典型例题】 例3：如图是一个正方体的表面展开图，已知互为相对面的2个面中，字母表示的数是数字的，求x、y、z对应的数。 解答:x=3×=1.5，y=2×=1，z=1×=0.5 【针对训练】 12．如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的三个数依次是（ ）、（ ）、（ ） 【答案】A 填 ，B 填 ，C 填 。 【分析】考查正方体展开图找相对面及相反数。 【解析】 展开图为“1-4-1”型。中间四个面中，相隔一个面的两个面互为相对面： · 与 相对，所以 ； · 与 相对，所以 ； · 上下两个面 与 相对，所以 。 因此依次填：。 【方法点拨】 正方体展开图中找相对面：同一行或同一列相隔一个面的两个面相对；上下两个“盖”相对。 13．【解答】如图是一个长方体纸盒的展开图，根据图中数据，求该长方体纸盒的体积。 【答案】 【分析】考查长方体展开图与体积计算。 【解析】 由展开图标注可知，长方体的三条棱长分别为： 所以体积为： 【方法点拨】 先根据展开图中相邻边的对应关系确定长、宽、高，再代入 。 14．【解答】一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，求a+b的值。 【答案】 【分析】考查正方体展开图找相对面及等量关系。 【解析】 展开图为“1-4-1”型。中间四格中： · 与 相对； · 与 相对； · 与 相对。 因为相对两个面上的数之和相等，所以： 于是： 所以： 【方法点拨】 先找相对面，再利用“相对面之和相等”列式。注意本题按图中 计算，若题目要求所有数均为整数，则题干数据可能存在印刷或录入问题。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级上册 数学 北师大版 专项01 展开图的识别-专项培优讲义 使用场景:单元复习、期中（期末）复习 专 项 目 录 1 学习目标 2 基础知识点过关 3 分类题型设计 3.1 题型01 无盖立方体的展开图识别（第1~5题） 3.2 题型02 由多个立方体组合起来的组合体表面积（第6~11题） 3.3 题型03 数形结合的运用（第12~14题） 1 学习目标 1.熟练掌握立体图形与其表面展开图之间的对应关系。 2.掌握组合体表面积的计算方法，培养空间想象能力。 3.理解面动成体的概念，能计算旋转体的体积。 4.掌握欧拉公式，能灵活运用顶点、棱、面之间的数量关系。 2 基础知识点过关 一、正方体的展开图（11种基本图形） 1．“1-4-1”型（6种）：中间四个面，上下各一面。 2．“2-3-1”型（3种）：中间三个面，二一隔河见。 3．“2-2-2”型（1种）：中间两个面，楼梯天天见。 4．“3-3”型（1种）：中间没有面，三三连一线。 5．口诀记忆：“一线不过四，田凹应弃之”（即展开图中不能有“田”字型和“凹”字型，一条直线上最多4个正方形）。 二、相对面与相邻面的识别 1．相间法：在同一行或同一列中，相隔一个面的两个面是相对面。 2．“Z”字型：在“Z”字型的两端，互为相对面。 三、多面体的欧拉公式 对于任意简单多面体（凸多面体），其顶点数V、面数F、棱数E满足： V + F - E = 2。 3.1 题型01 无盖立方体的展开图识别 【解题技巧】 无盖立方体由5个正方形组成。识别时，想象哪个面作为“底面”，折起后四个侧面能否两两互不重叠。需注意排除带有“田”字或折叠后两面重合的图形。 【典型例题】 例1：下列图形中，能折叠成一个无盖的正方体盒子的是（　　）。 A B C D 解题技巧：想象折叠过程。若中间为正方向，四周需有四个面且互不冲突。可以通过动手画图或空间想象排除错误项。 答案:C 【针对训练】 1.【单选】下列四个平面图形中，不能折成无盖的正方体盒子的是（填选项） （　　） A B 2.【填空】在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（　　）（填序号） 3.【选择】一个无盖的正方体纸盒，其展开图可能是下列图形中的（　　）。 A B C D 4.【解答】小斌同学做了一个无盖的三棱柱展开图，请补全这个三棱柱展开图。（画出所有的可能的展开图） 5.【解答】[名校典题改编] 阅读下列内容，完成问题。 七年级的数学兴趣小组正在制作一个磁性五棱柱模型，制作流程为:“先裁剪出五棱柱的展开图”→“折叠成一个五棱柱” 【任务1·选择正确的五棱柱展开图】 （1）下面是小天、小华和安安做的展开图，正确的是（ ） 小天制作的展开图 小华制作的展开图 安安制作的展开图 【任务2·用材计算】 （2）小明负责了本次模型制作的材料采购，需要购买卡纸，请根据正确的展开图和下面的数据表，完成问题。 五棱柱的侧面数据 五棱柱的底面数据 （每个底面裁剪后的边角料面积为2cm²） 注: 五棱柱展开图要裁剪下来，展开图不能重叠 ① 若需要制作一个五棱柱的表面展开图，需要多少平方厘米的卡纸？ ② 每一位七年级的数学老师都需要一个五棱柱模型，一共需要制作12个五棱柱模型，需要多少平方厘米的卡纸？ 【任务3·省钱方案】 （3）小明正在采购卡纸，文具店有不同的卡纸，选择哪一款卡纸更省钱？材料利用率会越高？材料利用率是多少？ 卡纸类型 长 宽 定价 卡纸A 19cm 12cm 3元（含2张） 卡纸B 24cm 21cm 11元（含3张） （4）小杰同学是六年级的数学兴趣小组的成员，制作完五棱柱的表面展开图的边角料需要制作无盖圆柱展开图，需要制作5个展开图，如何设计展开图的边长，才能使圆柱展开图的体积最大化？（取3） 3.2 题型02 由多个立方体组合起来的组合体表面积 【解题技巧】 1．三视图法：分别画出组合体的主视图、左视图、俯视图，。（前提是组合体没有内部凹陷或遮挡导致隐藏面）。 2．数面法（逐层法）：从上、下、前、后、左、右六个方向观察，数出能看到的正方形面数，再乘以单个面的面积。注意被压在下方或被包围的面不要遗漏。 【典型例题】 例2：将棱长为1的小正方体搭成如图所示的几何体，求该几何体的表面积。 解析：用三视图法。从正面看4个面，从上面看5个面，从左面看4个面。总表面积 = 2 × (4+5+4) × 1² = 26。 【针对训练】 6．【解答】用棱长为1dm的小正方体搭成一个几何体，它的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的表面积是多少平方厘米？ 主视图 俯视图 7．【填空】如图，由5个棱长为1的小正方体组成的几何体，其表面积为（　　） 8．【填空】将几个大小相同的正方体木块堆放在一起，其主视图和左视图如图所示，则这堆木块的表面积最少是（　　） 主视图 左视图 9．【填空】把棱长为2的正方体分割成若干个棱长为1的小正方体，则所有小正方体的表面积之和比原正方体的表面积增加了（　　） 10．【解答】如图所示的几何体是由9个棱长为1的小正方体搭成的，求它的表面积。 11．【解答】一个由多个小正方体搭成的几何体，从正面、左面、上面看的图形完全相同。阅读上述要求，完成表格。 正方体的边长 长 宽 高 所需的正方体 体积 1cm 1 1 1 1 1cm³ 2cm 2 ① 2 ② ③ …… …… …… …… …… …… 1cm n n n ④ ⑤ ①________ ②________ ③________ ④________ ⑤________ 3.3 题型03 数形结合的运用 【解题技巧】 此类题目常将代数式（字母表示数、方程）与几何图形的周长、面积、体积结合。解题关键在于：利用展开图的折叠特性或几何体的尺寸关系，建立等量关系式。 【典型例题】 例3：如图是一个正方体的表面展开图，已知互为相对面的2个面中，字母表示的数是数字的，求x、y、z对应的数。 解答:x=3×=1.5，y=2×=1，z=1×=0.5 【针对训练】 12．如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的三个数依次是（ ）、（ ）、（ ） 13．【解答】如图是一个长方体纸盒的展开图，根据图中数据，求该长方体纸盒的体积。 14．【解答】一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，求a+b的值。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $