精品解析：河南安阳市龙安区锦绣学校2026-2027学年九年级上学期12月学情自测数学试卷

2025年12月九年级月考（数学） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 年癸卯年（兔年）春节即将来临春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的两根之和是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 3. 如图，，，三点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是( ) A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 相等的弧所对的圆周角相等 C. 三点确定一个圆 D. 三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等 5. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A. B. C. D. 6. 若点都在反比例函数函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为(　　) A. B. C. D. 8. 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 9. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 10. 下面四个图中反比例函数的表达式均为 ，则阴影部分的图形的面积为6的有（ ） A. 4个 B. 2个 C. 3个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是__________． 12. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与B 之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．，求当双翼收起时，两机箱之间的宽度为______________． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为________． 14. 如图，在中，点D是边上的一点，，，，则边的长为__________． 15. 如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是 ______ ． 三、解答题（共7小题） 16. 解方程与计算： （1）解方程： （2）计算： 17. 如图，已知直线，它与反比例函数相交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象． （3）过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．（画图时字母应标注清楚） （1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 19. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有_____名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是_____； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 20. “板车”具有悠久的历史，20世纪90年代以前是农村主要运输交通工具，它发挥过重要的作用．如图2是板车侧面部分的示意图．是车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求车轮的半径长． 21. 【发现问题】 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 22. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为元的商品进行直播销售．如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元、日销售量增加件．设每件降价元，日利润为元． （1）用含的式子表示日销量______； （2）求与的函数关系式； （3）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图1，在中，，点D、E分别在边、上，，，． （1）线段与之间的数量关系是 ； （2）如图 2，若绕点A旋转，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）绕点 A 旋转至，且，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月九年级月考（数学） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 年癸卯年（兔年）春节即将来临春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得：选项图为中心对称图形，，，都不是． 故选：B 2. 方程的两根之和是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；直接应用一元二次方程两根之和公式计算． 【详解】解：∵方程中，，， ∴两根之和为． 故选：B． 3. 如图，，，三点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）即可求解． 【详解】解：，分别是的圆周角和圆心角， ． 4. 下列说法中，正确的是( ) A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 相等的弧所对的圆周角相等 C. 三点确定一个圆 D. 三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心角、弦、弧的关系对A进行判断；根据圆周角定理和圆心角、弦、弧的关系对B进行判断；根据确定圆的条件对C进行判断；根据三角形内心的定义对D进行判断． 【详解】解：A． 相等的圆心角所对的弧相等，缺少条件“在同圆或等圆中”，所以选项A错误，不符合题意； B． 相等的弧所对的圆周角相等，故选项B正确，符合题意； C． 三点确定一个圆，缺少条件“这三点要不共线”，所以选项C错误，不符合题意； D． 三角形的内心到三角形三边的距离相等，但到三个顶点的距离不一定相等，故选项D不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．也考查了圆周角、圆心角、弧、弦的关系，三角形的内心．此题比较简单，注意掌握定理的条件(在同圆或等圆中)是解此题的关键． 5. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据单循环赛规则，每组x个球队的比赛总场数为，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵每组有个球队，单循环赛每两队之间赛一场， ∴总比赛场数为， 又∵每组安排28场比赛， ∴可列方程． 故选：D． 6. 若点都在反比例函数函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵，点A，B同象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，根据旋转，得到，根据等边对等角，得到，根据三角形的内角和定理求出，即可得出答案． 【详解】解：由旋转性质可知∶， ∵点D恰好落在的延长线上， ∴， ∴， 即旋转角的度数是， 故选：B． 8. 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键． 由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 9. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则： ， 解得：， 即蜡烛火焰的高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 10. 下面四个图中反比例函数的表达式均为 ，则阴影部分的图形的面积为6的有（ ） A. 4个 B. 2个 C. 3个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，掌握过双曲线上任意一点引轴、轴的垂线，所得矩形面积为是解题的关键． 根据反比例函数比例系数的几何意义，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：第1个图中，阴影面积为3，故不符合题意； 第2个图中，阴影面积为，故不符合题意； 第3个图中，阴影面积为，故不符合题意； 第4个图中，阴影面积为，故符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是__________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与B 之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．，求当双翼收起时，两机箱之间的宽度为______________． 【答案】68 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图②， ，， ， 由对称性可知：， 通过闸机的物体最大宽度为， 故答案为：68． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可以得到，，，，然后根据勾股定理可以得到的长，从而可以计算出的值． 【详解】解：如图， 由图可得，，，，， ∴， ∴． 14. 如图，在中，点D是边上的一点，，，，则边的长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由已知条件中，为公共角，可证，得，据此可求的长． 【详解】解：，， ， ∵，， ， ， 即， ， 即的长为， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 15. 如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是 ______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】根据折叠得到线段相等，分类讨论相似的对应边，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：沿折叠和重合， ， 设，则， 当时，， ，， ∴， 解得：， 则， 当时，，即， 解得：， 则， 故或， 故答案是：或． 【点睛】本题考查折叠的性质及相似三角形对应边成比例，解题的关键是分类讨论列方程． 三、解答题（共7小题） 16. 解方程与计算： （1）解方程： （2）计算： 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解方程，先移项整理成一元二次方程标准形式，确定系数，计算判别式，再代入一元二次方程求根公式求出两个根． （2）计算，代入特殊角三角函数值，同时按照负整数指数幂规则算出，再依次进行乘方、乘法、加法运算得到结果． 【小问1详解】 解： ， ， ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，已知直线，它与反比例函数相交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象． （3）过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）函数图象如下： （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式及图象，熟练掌握反比例函数的解析式及图象是解题的关键． （1）将点代入直线得点的坐标为，将点代入反比例函数，即可得出答案； （2）根据反比例函数的解析式，选择点、、，并画出图象即可； （3）过点A作轴于点H，设点到的距离为，根据点的坐标及的面积为3，易求，即可得出点的横坐标为或，代入反比例函数解析式即可求出答案． 【小问1详解】 解：将点代入直线得：，即点的坐标为， 将点代入反比例函数得：，即， 则反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 根据反比例函数的解析式，如图所示，选择点、、，先描出这三个点，再画出反比例函数的图象； 【小问3详解】 如图所示，过点A作轴于点H，设点到的距离为， 点坐标为， ， ， ，即点到的距离为， 点的横坐标为， 点的横坐标为或， 分别代入反比例函数可得：或， 点P的坐标为或． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．（画图时字母应标注清楚） （1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 【答案】（1） 解：如图：即为所求． （2） 解：如图：即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图－旋转变换、中心对称变换等知识点，掌握旋转变换的性质、中心对称变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （2）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （3）对应点连线的交点即为旋转中心，然后确定旋转中心的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：与关于点中心对称，点的坐标为． 故答案为：． 19. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有_____名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是_____； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 【答案】（1）人， 条形统计图如下所示， （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图是解题的关键． （）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数，然后求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可； （）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数即可求出占比，再乘以即可求出圆心角； （）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得本次被调查的学生人数（人）， 喜爱足球的人数为：（人）； 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是； 【小问3详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母表示，根据题意画树状图如下： 一共有种可能出现的结果，它们都是等可能的，甲和乙同学同时被选中的有种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率是． 20. “板车”具有悠久的历史，20世纪90年代以前是农村主要运输交通工具，它发挥过重要的作用．如图2是板车侧面部分的示意图．是车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求车轮的半径长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是直径， ， ∵与相切于点， ， ， ∵是的外角， ， 在中，， ， ∵， ； （2）车轮的半径长为 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，证明，，即可得到结论； （2）设车轮的半径长为在中，，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设车轮的半径长为 ∴， 在中，， ∵， ， ， 即车轮的半径长为． 21. 【发现问题】 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】（1）2，3.6 （2） （3）明明在此次考试中能得到满分， 理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是3.6米， 故答案为：2，3.6； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 略 22. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为元的商品进行直播销售．如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元、日销售量增加件．设每件降价元，日利润为元． （1）用含的式子表示日销量______； （2）求与的函数关系式； （3）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）价定为元时，利润最大为元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式，并掌握将二次函数化为顶点式，利用函数的性质求最值是解题的关键． （1）根据“每件小商品售价每降低元、日销售量增加件”，即可求解； （2）由每件利润乘以日销售量得到日利润，即可求解； （3）将与的函数关系式化为顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：用含的式子表示日销量为：， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意可得：每件利润为，日销量为：， 与的函数关系式为：； 【小问3详解】 ， 当，即每件售价为（元）时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 23. 如图1，在中，，点D、E分别在边、上，，，． （1）线段与之间的数量关系是 ； （2）如图 2，若绕点A旋转，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）绕点 A 旋转至，且，求线段的长． 【答案】（1）； （2） 解：成立，理由如下： ∵， ∴，即． ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， 即； （3）3或． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，则，可证得，得，则，由平行线分线段成比例即可证得答案； （2）先证明，再由，，可证得，即可证明，再利用其性质即可证明； （3）分在上方和下方两种情况作出图形，分别讨论，证明四边形是平行四边形，先求出的长度，再由（2）可知，即可求解， 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴，则， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①如图3，在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ②同①四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，长3或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $