2026-2027学年人教版七年级数学上册 知识点总结

人教版七年级上册数学知识点总结 （依据《义务教育教科书·数学·七年级上册》2024 秋版整理） 第一章　有理数 1.1　正数和负数 【定义】正数：像 3，50，7.8% 这样大于 0 的数叫作正数。 【定义】负数：像 -3，-10，-0.7% 这样在正数前加上符号“-”的数叫作负数，其中符号“-”是负号，读作“负”。为了明确表达与负数的相反意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”）。一个数前面的“+”“-”号叫作这个数的符号。 【要点】0 既不是正数，也不是负数；0 是正数与负数的分界。 【应用】如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们。例如：零上温度与零下温度、盈利与亏损、增长与减少、海拔高于海平面与低于海平面等。 1.2　有理数及其大小比较 1.2.1　有理数的概念 【概念】整数：正整数（1，2，3，…）、0、负整数（-1，-2，-3，…）统称为整数。 【概念】分数：正分数和负分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成是分数。 【定义】有理数：可以写成分数形式的数称为有理数。其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数。整数可以写成分数的形式（如 2=，0=），所以整数也是有理数。 【分类】有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；按正负分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 1.2.2　数轴 【定义】数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 【三要素】原点：在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫作原点；正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；单位长度：选取适当的长度为单位长度。 【概念】原点将数轴（原点除外）分成两部分，正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴，另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 【规律】有理数可以用数轴上的点表示：设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数 -a 的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是 a 个单位长度。 1.2.3　相反数 【定义】相反数：像 3 和 -3， 和 这样只有符号不同的两个数，互为相反数。 【要点】0 的相反数是 0。一般地，a 和 -a 互为相反数，这里 a 可以是正数、负数，也可以是 0。 【法则】在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。例如：-（+5）=-5，-（-5）=+5，-0=0。 1.2.4　绝对值 【定义】绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作 |a|。 【性质】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。即：如果 a＞0，那么 |a|=a；如果 a=0，那么 |a|=0；如果 a＜0，那么 |a|=-a。 【几何意义】一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小。 1.2.5　有理数的大小比较 【规定】在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 【法则】（1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。 【技巧】异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。 本章小结要点：通过实际问题中具有相反意义的量引入负数，使数的范围扩大到有理数；数轴是研究有理数的重要工具，借助数轴研究了相反数、绝对值以及有理数的大小比较，体现了数形结合的思想。 第二章　有理数的运算 2.1　有理数的加法与减法 2.1.1　有理数的加法 【法则】有理数加法法则： 　1.同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。 　2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差。互为相反数的两个数相加得 0。 　3.一个数与 0 相加，仍得这个数。 【技巧】运算时先定和的符号，再算和的绝对值。 【运算律】加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。根据交换律和结合律，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加。 2.1.2　有理数的减法 【法则】有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即 a-b=a+（-b）。 【要点】引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算，如 a+b-c=a+b+（-c）。 【写法】算式（-20）+（+3）+（+5）+（-7）可以省略算式中的括号和加号，写为 -20+3+5-7，读作“负 20、正 3、正 5、负 7 的和”，或读作“负 20 加 3 加 5 减 7”。 2.2　有理数的乘法与除法 2.2.1　有理数的乘法 【法则】有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。任何数与 0 相乘，都得 0。 【公式】设 a，b 为正有理数，c 为任意有理数，则（+a）×（+b）=+（a×b），（-a）×（-b）=+（a×b）；（-a）×（+b）=-（a×b），（+a）×（-b）=-（a×b）；c×0=0，0×c=0。 【定义】倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数。 【运算律】乘法交换律：ab=ba；乘法结合律：（ab）c=a（bc）；分配律：a（b+c）=ab+ac。当用字母表示乘数时，“×”可以写为“·”或省略。 【规律】几个不为 0 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为 0，那么积为 0。 2.2.2　有理数的除法 【法则】有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b=a·（）（b≠0）。 【法则】两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 【结论】根据有理数的除法，形如 （p，q 是整数，q≠0）的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母为 1 的分数）。 【运算顺序】有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 2.3　有理数的乘方 2.3.1　乘方 【定义】乘方：求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。n 个相同的乘数 a 相乘，即 a·a·…·a（n 个），记作 aⁿ，读作“a 的 n 次方”。 【概念】在 aⁿ 中，a 叫作底数，n 叫作指数。当 aⁿ 看作 a 的 n 次方的结果时，也可读作“a 的 n 次幂”。一个数可以看作这个数本身的 1 次方（如 5 就是 5¹，指数 1 通常省略不写）。 【法则】负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。 【注意】（-2）⁴ 与 -2⁴ 不相等：（-2）⁴=16，-2⁴=-16。 【运算顺序】有理数混合运算的顺序：1. 先乘方，再乘除，最后加减；2. 同级运算，从左到右进行；3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 2.3.2　科学记数法 【定义】科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 a×10ⁿ 的形式（其中 a 大于或等于 1，且 a 小于 10，n 是正整数）。如 696000=6.96×10⁵。 【规律】一般地，10 的 n 次幂等于 1 后面有 n 个 0。用科学记数法表示一个 n 位整数（n 大于或等于 2），其中 10 的指数是 n-1。 【扩展】对于小于 -10 的数也可以类似表示，如 -567000000=-5.67×10⁸。 2.3.3　近似数 【概念】准确数：确切地反映实际数量的数；近似数：接近实际数量、但与实际数量还有差别的数。 【概念】精确度：近似数与准确数的接近程度，用精确度表示。例如“五百”是精确到百位的近似数。 【法则】按四舍五入法取近似数：如 π≈3（精确到个位），π≈3.1（精确到 0.1，或精确到十分位），π≈3.14（精确到 0.01，或精确到百分位），π≈3.142（精确到 0.001，或精确到千分位）。 【注意】1.8 和 1.80 的精确度不同，表示近似数时不能简单地把 1.80 后面的 0 去掉。 本章小结要点：有理数的四则运算可以统一表示为 ±=，（）×（）=，（）÷（）=（p≠0），其中 m，n，p，q 均为整数，n，q 均不为 0。运算律是今后研究代数问题的基础。 第三章　代数式 3.1　列代数式表示数量关系 【定义】代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，叫作代数式（这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方等）。单独的一个数或字母也是代数式，例如 5，t。 【书写】在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数放在字母前，乘号写作“·”或省略不写，如 5×t 写成 5·t 或 5t；相同字母相乘可以写成幂的形式，如 a·a=a²。 【步骤】列代数式：先把问题中的数量关系用文字表示清楚，再用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。如：a，b 两数的和与差的积为（a+b）（a-b）。 【常用关系】工作量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间；利息=本金×年利率×存期等。 【定义】反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（k 是一个确定的值，且 k≠0），反比例关系可以用 xy=k 来表示。 【概念】成正比例关系：两个相关联的量的比值一定（如工作效率不变时，工作量与工作时间成正比例关系）。 3.2　代数式的值 【定义】代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同。 【要点】求代数式的值，要注意运算符号与运算顺序，先化简再代入计算往往比较简便。 【公式】有些同类事物中的数量关系常常可以用公式来描述，如行程问题中的路程公式 s=vt。小学学过的长方形、正方形、三角形、梯形、圆等图形的面积公式，长方体、正方体等图形的体积公式，在解决有关问题时经常使用。 第四章　整式的加减 4.1　整式 【定义】单项式：像 92t，a²，0.9p，·a²h 这样，都是数或字母的积，这样的代数式叫作单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式，例如 -6，x。 【概念】系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面；单项式的系数是 1 或 -1 时，1 通常省略不写。 【概念】次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。如果一个单项式的次数是 n，那么称这个单项式是 n 次单项式。对于一个非零的数，规定它的次数为 0。 【定义】多项式：几个单项式的和叫作多项式。其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 【定义】整式：单项式与多项式统称整式。 【注意】多项式中的每一项都包含它前面的正负号。 4.2　整式的加法与减法 【定义】同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项。几个常数项也是同类项。 【法则】合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 【排列】通常把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列。 【法则】去括号：一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。特别地，+（x-3）=x-3，-（x-3）=-x+3。 【法则】整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 【技巧】求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并（化简），然后再代入数值计算。 第五章　一元一次方程 5.1　方程 5.1.1　从算式到方程 【定义】方程：先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程。 【区别】用算术方法解题时，列出的算式只含有已知数，不含未知数；方程中既含有已知数，也含有用字母表示的未知数。 【定义】方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。 【定义】解方程：求方程的解的过程，叫作解方程。 【定义】一元一次方程：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1，这样的方程叫作一元一次方程。一元一次方程都可以化为标准形式 ax+b=0（其中 x 是未知数，a，b 是已知数，并且 a≠0）。 5.1.2　等式的性质 【基本事实】等式两边可以交换：如果 a=b，那么 b=a；相等关系可以传递：如果 a=b，b=c，那么 a=c。 【性质 1】等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果 a=b，那么 a±c=b±c。 【性质 2】等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。如果 a=b，那么 ac=bc；如果 a=b，c≠0，那么 =。 【要点】利用等式的性质可以解方程：解以 x 为未知数的方程，就是把方程逐步转化为 x=m（常数）的形式。 5.2　解一元一次方程 【方法】合并同类项：把含有未知数的项合并成一项，如 x+2x+4x=140 合并为 7x=140（依据：分配律）。 【定义】移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项（依据：等式的性质 1）。 【方法】去括号：当方程中有带括号的式子时，去括号是常用的化简步骤（依据：分配律）。 【方法】去分母：方程两边乘各分母的最小公倍数，把未知数的系数化成整数（依据：等式的性质 2）。注意：方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数。 【方法】系数化为 1：把未知数的系数化为 1，得到 x=m 的形式（依据：等式的性质 2）。 【步骤】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。通过这些步骤，可以使以 x 为未知数的一元一次方程逐步转化为 x=m 的形式。这个过程主要依据等式的性质和运算律等。 【检验】一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个值能否使方程左、右两边的值相等。 5.3　实际问题与一元一次方程 【过程】用一元一次方程解决实际问题的基本过程：设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案（即设、列、解、检、答）。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。 【基本相等关系】“各部分量的和=总量”；“表示同一个量的两个不同的式子相等”。 【模型】配套问题：配套的物品之间具有一定的数量关系（如 1 个螺栓配 2 个螺母），可作为列方程的依据。 【模型】工程问题：工作量=人均效率×人数×时间，常把总工作量看作 1。 【模型】销售中的盈亏：商品利润=售价-进价（亏损记为负利润）；利润率=利润÷进价。总售价大于总进价就盈利，总售价小于总进价就亏损，相等就不盈不亏。 【模型】球赛积分问题：根据积分表找出胜、负一场各积多少分，再表示总积分与胜、负场数之间的数量关系。 【模型】综合费用比较：综合费用=售价+使用费用（如电费等），可通过列方程求费用相等时的使用年数，再分段比较。 【注意】用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义（如场数、人数必须是整数）。 第六章　几何图形初步 6.1　几何图形 6.1.1　立体图形与平面图形 【定义】几何图形：我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形。 【定义】立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。棱柱、棱锥也是常见的立体图形。 【定义】平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。 【联系】很多立体图形中的某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形。 【方法】从不同方向看立体图形：对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究，分别从前面、左面、上面观察立体图形，会得到不同形状的平面图形。 【定义】展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 6.1.2　点、线、面、体 【概念】体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。 【概念】面：包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种。 【概念】线：面和面相交的地方形成线（长方体 6 个面两两相交所成的 12 条棱是直的，圆柱的侧面与底面相交得到的圆是曲的）。 【概念】点：线和线相交的地方是点。 【运动】点动成线、线动成面、面动成体。 【结论】几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。 6.2　直线、射线、线段 6.2.1　直线、射线、线段 【基本事实】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。 【表示】直线：可以用一个小写字母表示（如直线 l），也可以用一条直线上的两个点来表示（如直线 AB）。射线和线段都是直线的一部分：线段 AB（或线段 BA），端点 A，B；射线 OA，端点 O。 【概念】点与直线的位置关系：一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点；一个点在一条直线外，也可以说这条直线不经过这个点。 【定义】相交：当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点。 【概念】连接 AB，就是要画出以 A，B 为端点的线段；延长线段 AB，是指按从端点 A 到 B 的方向延长；延长线段 BA，是指按从端点 B 到 A 的方向延长，这时也可以说反向延长线段 AB。 6.2.2　线段的比较与运算 【概念】尺规作图：在数学中，常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。 【方法】比较线段的长短：可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较（度量法），或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较（叠合法，通常使它们的一个端点重合）。 【基本事实】两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。 【定义】两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 【运算】线段的运算：在直线上作线段 AB=a，再在 AB 的延长线上作线段 BC=b，线段 AC 就是 a 与 b 的和，记作 AC=a+b；设线段 a＞b，如果在线段 AB 上作线段 BD=b，那么线段 AD 就是 a 与 b 的差，记作 AD=a-b。 【定义】线段的中点：点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB，点 M 叫作线段 AB 的中点，此时 AM=MB=（）AB。类似地，还有线段的三等分点、四等分点等。 6.3　角 6.3.1　角的概念 【定义】角：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 【表示】角通常用 ∠AOB（或 ∠O）、∠α、∠1 等方式来表示。 【度量】角的度量单位是度、分、秒：把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作 1°；把 1 度的角 60 等分，每一份叫作 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60 等分，每一份叫作 1 秒的角，记作 1″。 【换算】1 周角=360°，1 平角=180°，1°=60′，1′=60″（度、分、秒是六十进制）。 【概念】角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制。 【概念】方位角：在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准描述方向，如“北偏东 30°”“南偏西 25°”。 6.3.2　角的比较与运算 【方法】比较角的大小：可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小（度量法）；也可以把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小（叠合法）。 【运算】角的和与差：∠AOC 是 ∠AOB 与 ∠BOC 的和，记作 ∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOB 是 ∠AOC 与 ∠BOC 的差，记作 ∠AOB=∠AOC-∠BOC。借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出 75°、15° 等度数的角。 【计算】进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减。分、秒相加时逢 60 要进位；相减时如不够减要借 1 作 60。 【定义】角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。类似地，还有角的三等分线等。 6.3.3　余角和补角 【定义】余角：如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角。 【定义】补角：如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角。 【性质】同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。 【方法】本章类比线段的大小比较、和差运算、中点，研究了角的大小比较、和差运算、平分线等，类比方法是研究几何图形的重要方法。 学科网（北京）股份有限公司 $