2.1 有理数的加法与减法 知识点梳理 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学同步练习聚焦有理数的加法与减法，前承有理数概念及绝对值知识，后启乘除运算，构建从法则直接运用到实际应用的学习支架，涵盖异号相加、加减互逆、实际情境应用等核心内容。 知识链路按认知层级递进，双向细目表明确考查目标。习题结合气温、海拔等现实情境培养数学眼光，分类讨论与新定义运算题发展推理能力体现数学思维，数据处理与模型应用强化数学语言表达，题型分层且真题改编，实用性强。

2.1 有理数的加法与减法 知 识 点 梳 理 2026—2027学年 · 人教版（2024）数学 · 七年级上册 第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法与减法 本讲版式：双轨对称 · 加减互逆版式 一、学习导航 课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生掌握有理数的加法与减法运算，理解加法运算律在有理数范围内仍然成立，能运用有理数的加减运算解决简单的实际问题。本节是第一章「数系扩充」之后「运算扩充」的第一步——数的范围扩大到了有理数，运算的法则也必须随之推广，并且要与小学学过的运算保持一致。 学习目标： 1. 经历用数轴建模、由特例归纳有理数加法法则的过程，掌握同号、异号、与 0 相加三类情形； 2. 掌握「先判类型、再定符号、后算绝对值」的加法运算三步法； 3. 理解并会用加法交换律与加法结合律简化运算； 4. 经历减法向加法转化的过程，掌握减法法则 a−b = a+(−b)，会进行加减混合运算； 5. 会用有理数的减法求数轴上两点间的距离，体会数形结合的思想。 本节在教材中的地位： 对应人教版（2024）数学七年级上册第二章 2.1 节（教材第 25—37 页），下辖 2.1.1 有理数的加法与 2.1.2 有理数的减法两个子目；节末选学栏目「阅读与思考 · 我国古代的正负数加减运算法则——正负术」在教材第 37 页。 板 块 核 心 内 容 关 键 方 法 2.1.1 有理数的加法 加法法则（同号、异号、与 0 相加）；加法交换律与加法结合律 先判类型 → 再定符号 → 后算绝对值 2.1.2 有理数的减法 减法法则 a−b = a+(−b)；差的符号规律；加减混合运算 减法一律转化为加法，再用法则与运算律计算 拓展与应用 用减法求数轴上两点间的距离；用加减运算解决实际问题 两点间距离 = |a−b| 二、从「数的扩充」走向「运算的扩充」 在小学，我们学过正数与 0 的加法。引入负数以后，有理数范围内出现了新的加法情形：负数与负数相加、负数与正数相加、负数与 0 相加。这些新情形的结果不能凭空规定，而要借助现实情境和数轴来说明。 情境：一个物体沿一条直线做左右方向的运动，规定向右为正、向左为负。向右运动 5 m 记作 5 m，向左运动 5 m 记作 −5 m。 把每一种运动的结果写成算式，就得到下表（可用数轴逐条对照）： 运动过程 算 式 结 果 情 形 先向右 5 m，再向右 3 m 5 + 3 8 正 + 正 先向左 5 m，再向左 3 m (−5) + (−3) −8 负 + 负 先向右 5 m，再向左 3 m 5 + (−3) 2 正 + 负 先向右 3 m，再向左 5 m 3 + (−5) −2 正 + 负 先向右 5 m，再向左 5 m 5 + (−5) 0 互为相反数 先向右 5 m，再原地不动 5 + 0 5 与 0 相加 先向左 5 m，再原地不动 (−5) + 0 −5 与 0 相加 观察上表可以发现：有理数的加法，既要考虑结果的符号，又要考虑结果的绝对值——这正是它与小学加法最关键的不同。 三、有理数的加法法则（2.1.1） （一）加法法则——按加数的类型分三种情形 类 型 法 则 示 例 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 (−5)+(−3) = −(5+3) = −8 异号两数相加 （绝对值不相等） 和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 (−6)+9 = +(9−6) = 3 异号两数相加 （绝对值相等） 互为相反数的两个数相加得 0 (−6)+6 = 0 一个数与 0 相加 仍得这个数 0+(−5) = −5 特别提醒：法则中的第二种情形必须强调「绝对值较大的加数」——异号两数相加，结果的符号不是看谁写在前面，而是看谁的绝对值大。 当一个数是负数、另一个数是正数、且绝对值相等时，两个加数互为相反数，和为 0。在有理数加法中，这一条恰好说明：两个具有相反意义的量可以全部抵消。 （二）运算三步法：先判类型，再定符号，后算绝对值 步 骤 要 做 什 么 以 (−6)+9 为例 第一步 判类型 看两个加数是同号、异号，还是与 0 相加 异号：−6 与 +9 第二步 定符号 同号取相同的符号；异号取绝对值较大的加数的符号 取 +9 的符号，结果是正 第三步 算绝对值 同号把绝对值相加；异号用较大的绝对值减去较小的绝对值 9 − 6 = 3 第四步 写结果 符号与绝对值合起来写，并检查绝对值能否化简 所以 (−6)+9 = +3 = 3 （三）从数轴上看加法：和与原数的大小关系 任何一个数加上一个正数，相当于在数轴上把这个点向右移动，和一定大于原数；加上一个负数，相当于向左移动，和一定小于原数；加上 0，和等于原数。这条规律可以帮助我们快速检验加法结果的合理性。 加 数 数轴上的移动方向 和与原数的大小关系 举 例 加上一个正数 向右移动 和 > 原数 (−3)+5 = 2，2 > −3 加上一个负数 向左移动 和 < 原数 (−3)+(−2) = −5，−5 < −3 加上 0 原地不动 和 = 原数 (−3)+0 = −3 例 1 计算下列各题： （1）(−3)+(−9)； （2）(−8)+0； （3）12+(−8)； （4）(−4.7)+3.9； （5）(−)+ 解：（1）(−3)+(−9)：同号两数相加，取「−」号，绝对值相加 3+9 = 12，所以 (−3)+(−9) = −(3+9) = −12。 （2）(−8)+0：一个数与 0 相加，仍得这个数，所以 (−8)+0 = −8。 （3）12+(−8)：异号且绝对值不相等，取绝对值较大的 12 的符号「+」， 用 12 减去 8，所以 12+(−8) = +(12−8) = 4。 （4）(−4.7)+3.9：异号且绝对值不相等，取绝对值较大的 −4.7 的符号「−」， 用 4.7 减去 3.9，所以 (−4.7)+3.9 = −(4.7−3.9) = −0.8。 （5）(−)+：异号且绝对值不相等，先通分 = ， = ， 取绝对值较大的 − 的符号「−」，再用 − = = ， 所以 (−)+ = −(−) = −。 方法提炼：有理数的加法可以概括为一句话——「符号跟着绝对值大的数走，绝对值同号相加、异号相减」。计算时一定要先定符号，再算绝对值，不要急于求成。 四、有理数的加法运算律 小学学过的加法交换律、加法结合律，在有理数范围内仍然成立——因为有理数的加法与小学的加法本质上遵守同样的运算规律，这也是数系扩充时必须保持的「运算一致性」。 名 称 语 言 叙 述 字 母 表 示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a + b = b + a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a + b) + c = a + (b + c) 使用运算律的目的是「简化运算」。常用的简算思路有以下四种： 思 路 做 法 示 例 相反数结合 把互为相反数的两个数先相加，和为 0 (−4)+7+4 = [(−4)+4]+7 = 0+7 = 7 同号结合 把同号的数先相加，减少符号判断的次数 (−13)+(−7)+25 = −20+25 = 5 凑整结合 把能凑成整数的数先相加 3.75+(−1.5)+(−3.75)+1.5 = 0+0 = 0 分数结合 分母相同的分数先相加，可以减少通分的麻烦 (−)+2.5++(−1.5) = (−)+1 = 例 2 用简便方法计算： （1）(−29)+46+(−21)； （2）(+5)+(−31)+(−5)+(+31)； （3）(−)+2.5++(−1.5) 解：（1）先把两个负数结合起来（同号结合）， 原式 = [(−29)+(−21)] + 46 = (−50) + 46 = −4。 （2）先把互为相反数的数两两结合（相反数结合）， 原式 = [(+5)+(−5)] + [(−31)+(+31)] = 0 + 0 = 0。 （3）把分母相同的两个分数、能凑成整数的两个数分别结合（分数结合、凑整结合）， 原式 = [(−)+] + [2.5+(−1.5)] = (−) + 1 = 。 方法提炼：用运算律之前，先「观察算式」——有没有互为相反数的？有没有同号的？有没有能凑成整数的？看准了再动手，比从左到右硬算又快又准。 五、有理数的减法法则（2.1.2） （一）从温差问题出发：减法与加法互为逆运算 北京某一天的气温是 −3 ℃ ~ 3 ℃，这一天的温差（最高气温减最低气温）应该怎样列式？ 温差 = 3 − (−3)。这个算式中出现了「小数减大数」之外的又一种新情况：减去一个负数。 因为减法是加法的逆运算，要求 3−(−3)，就是要求一个数，使它与 −3 相加得 3。由于 6+(−3) = 3，所以 3−(−3) = 6。另一方面 3+(+3) = 6，比较两式可得 3−(−3) = 3+(+3)。 把被减数 3 换成 0、−1、−5 再试，会发现同样的现象：减去 −3 与加上 +3 的结果完全相同。再试 9−8 与 9+(−8)、15−7 与 15+(−7)，也同样相等。由此归纳出减法法则。 （二）减法法则：两变一不变 内 容 表 述 减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数 符号表示 a − b = a + (−b) 两变一不变 减号变加号，减数变相反数，被减数不变 特别情形 0 减去一个数，等于这个数的相反数，即 0 − a = −a 减法转化成加法时，有且只有两个地方发生变化：一是运算符号由「减」变「加」；二是减数换成它的相反数。被减数始终不动，这一点最容易出错。 两个有理数相减，差仍然是一个有理数——这说明有理数对减法运算是封闭的，数的范围不必再扩大。 （三）差的符号：由两数大小决定 条 件 差 a − b 的符号 举 例 a > b 正数（a − b > 0） 5 − 3 = 2 > 0 a = b 0（a − b = 0） 5 − 5 = 0 a < b 负数（a − b < 0） 3 − 5 = −2 < 0 换句话说：较大的数减去较小的数，差是正数；较小的数减去较大的数，差是负数。在小学，只有当 a ≥ b 时才能计算 a−b；现在数系扩充以后，a < b 时(a−b) 也能算了，差是一个负数——这正是引入负数之后减法获得的新能力。 例 3 计算下列各题： （1）(−3)−(−5)； （2）0−7； （3）2−5； （4）7.2−(−4.8)； （5）− 解：（1）(−3)−(−5) = (−3) + 5 = 2。 （2）0−7 = 0 + (−7) = −7。（0 减去一个数，等于这个数的相反数。） （3）2−5 = 2 + (−5) = −3。（较小的数减较大的数，差为负。） （4）7.2−(−4.8) = 7.2 + 4.8 = 12。 （5）− = +(−)，通分得 +(−) = 。 方法提炼：减法法则的口诀是「两变一不变」。每做一步都要问自己：减号变加号了吗？减数变成相反数了吗？被减数是不是原封不动？ 六、有理数的加减混合运算 （一）三步流程 步 骤 做 法 示 例 ① 统一成加法 依据减法法则，把算式中的减法全部改写成加法 (−20)+(+3)−(−5)−(+7) = (−20)+(+3)+(+5)+(−7) ② 省略括号和加号 把「和」写成简写形式，加正数写「+」，加负数写「−」 = −20 + 3 + 5 − 7 ③ 用法则与运算律计算 先用交换律、结合律整理，再按加法法则计算 = [(−20)+(−7)] + [(+3)+(+5)] = (−27) + (+8) = −19 关于简写的读法：算式 (−20)+(+3)+(+5)+(−7) 是 −20、+3、+5、−7 这四个数的和，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，写成 −20+3+5−7，读作「负 20、正 3、正 5、负 7 的和」，也可以读作「负 20 加 3 加 5 减 7」。 例 4 计算：(−20)+(+3)−(−5)−(+7) 解：原式 = (−20)+(+3)+(+5)+(−7) （先统一成加法） = [(−20)+(−7)] + [(+3)+(+5)] （同号结合） = (−27) + (+8) = −19。 例 5 计算：14−25+12−17 解：原式 = 14 + 12 − 25 − 17 （把正数、负数分别结合） = 26 − 42 = −16。 （也可写成 14+12+[(−25)+(−17)] = 26+(−42) = −16。） 易错提醒：用加法交换律移动加数时，必须连同它前面的符号一起移动。例如 −20+3+5−7 中，−7 是一个加数，它的符号是「−」，把它移到前面要写成 −7，绝不能写成 +7。这是加减混合运算中最常见的错误。 七、用减法求数轴上两点间的距离 在数轴上，点 A、B 分别表示数 a、b。用减法可以求出两点之间的距离： a 与 b 的值 两点的位置关系 距离的计算 结 果 a = 2，b = 6 A 在 B 左边 |2 − 6| = |−4| 4 a = 0，b = 6 A 在 B 左边 |0 − 6| = |−6| 6 a = 2，b = −6 A 在 B 右边 |2 − (−6)| = |8| 8 a = −2，b = −6 A 在 B 右边 |(−2) − (−6)| = |4| 4 归纳：数轴上表示数 a、b 的两点之间的距离，等于 a、b 中较大的数减去较小的数的差，它总是一个大于或等于 0 的数。引入绝对值以后，可以统一写成： A、B 两点间的距离 = |a − b|。 注意距离永远不小于 0，所以不论取哪个减哪个，最后都要加上绝对值。 八、易错点辨析 易 错 说 法 辨 析 正 确 说 法 两个数相加，和一定大于每一个加数 加了负数时，和反而变小 加上正数，和大于原数；加上负数，和小于原数 减去一个数，结果一定变小 减去负数等于加上正数，结果反而变大 减去正数结果变小，减去负数结果变大 a − b = b − a 减法没有交换律，二者只在 a = b 时相等 a − b 与 b − a 互为相反数 异号两数相加，和的符号取第一个加数的符号 和的符号由绝对值较大的加数决定 看谁的绝对值大，符号就跟着谁走 把 −20+3+5−7 中的 −7 改写成 +7 再计算 简写的和式中，每个加数自己的符号不能丢 省略加号后要保留各加数原来的符号 九、数学文化小站：正负术 我国是世界上最早认识和使用负数的国家。成书于公元 1 世纪前后的数学名著《九章算术》，在「方程」章中给出了世界上最早的正负数加减运算法则——「正负术」： 「同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。」 古文用语 今 义 对 应 今 天 的 法 则 同名 / 异名 同号 / 异号 两个加数符号相同或不同 相益 / 相除 绝对值相加 / 绝对值相减 绝对值是同号相加、异号相减 正无入负之 零减正数得负数 0 − a = −a（a > 0） 负无入正之 零减负数得正数 0 − (−a) = +a（a > 0） 这段话的前四句讲减法，后四句讲加法，与我们今天学习的法则完全一致。魏晋时期数学家刘徽为《九章算术》作注时，主张用红色的算筹表示正数、黑色的算筹表示负数（「正算赤，负算黑」），并解释说「今两算得失相反，要令正负以名之」。 两千年前的中国数学家，已经能如此清晰地表述正负数的加减规律，这是中国古代数学对世界的重大贡献。 十、知识网络与记忆口诀 运 算 法 则 要 点 关 键 提 示 有理数的加法 同号：取相同符号，绝对值相加 异号：取绝对值较大者的符号，绝对值大减小 互为相反数相加得 0 一个数与 0 相加仍得这个数 先判类型 → 再定符号 → 后算绝对值 加法的运算律 交换律 a+b = b+a 结合律 (a+b)+c = a+(b+c) 相反数结合、同号结合、凑整结合、分数结合 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 a − b = a + (−b) 两变一不变：减号变加号，减数变相反数，被减数不变 加减混合运算 统一成加法 → 省略括号和加号 → 用法则与运算律计算 交换加数位置时，要连同符号一起搬 数轴上两点间的距离 两点间的距离 = |a − b| 距离总是一个非负数 记忆口诀： 【加法】同号相加一边倒，异号相加大减小；符号跟着大的跑，绝对值为和与差。 互为相反和为 0，加 0 还得原数了。 【减法】减法变加莫心慌，减数变号记心上；两变一不变，转化最便当。 十一、达标自测 1. 计算 (−7)+(−5) = ____________。 2. 计算 8+(−13) = ____________。 3. 计算 (−6)−(−9) = ____________。 4. 把 3−(−2)+(−5) 写成省略括号和加号的和的形式是 ____________。 5. 数轴上点 A 表示的数是 −4，点 B 表示的数是 1，则 A、B 两点间的距离是 ____________。 6. 计算 (−)+ = ____________。 自测答案： 1. −12。同号两数相加，取「−」号，绝对值相加 7+5 = 12。 2. −5。异号且绝对值不相等，取绝对值较大的 −13 的符号「−」，13−8 = 5。 3. 3。减去一个数等于加这个数的相反数，(−6)−(−9) = (−6)+9 = 3。 4. 3+2−5。加 −2 的相反数就是 +2，加 −5 直接写成 −5。 5. 5。|(−4)−1| = |−5| = 5。 6. −。异号且绝对值不相等，取 − 的符号「−」，− = = 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 有理数的加法与减法 同 步 练 2026—2027学年 · 人教版（2024）数学 · 七年级上册 第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法与减法 本卷版式：双向细目表 + 四大题分区版式（全文零图片，题型均可自由编辑） 时间：45分钟 满分：100分 班级：____________ 姓名：____________ 得分：____________ 命题双向细目表 题号 题型 分值 考查知识点 认知层级 预估难度 1 选择 3 异号两数相加（加法法则的直接运用） 识记 易 2 选择 3 用有理数的加法刻画气温上升 识记 易 3 选择 3 加法法则与 0 的加法的正误辨析 理解 易 4 选择 3 数轴上的移动与加法算式 理解 易 5 选择 3 由减法结果求被减数（加减互逆） 理解 中 6 选择 3 绝对值与加法结合的分类讨论 分析 中 7 选择 3 有理数加减混合运算的实际应用（气温） 应用 中 8 选择 3 海拔高度差（减法的实际意义） 理解 易 9 选择 3 省略加号与括号后的写法 识记 易 10 选择 3 表格信息的读取与加减运算 分析 中 11 填空 3 允许偏差与实际质量的极差 理解 中 12 填空 3 最大负整数、最小正整数、最小自然数 识记 易 13 填空 3 绝对值与减法结合的分类讨论 分析 中 14 填空 3 温差计算（减法的实际应用） 理解 易 15 填空 3 数值转换机中的连续减法 理解 中 16 填空 3 海拔高度差（较大数的减法） 理解 中 17 填空 3 用加法运算律简便计算 理解 中 18 填空 3 已知和与一个加数求另一个加数 识记 易 19 解答 6 有理数加减的基本运算（含分数、小数） 识记 易 20 解答 6 用加法交换律、结合律简便计算 应用 中 21 解答 6 绝对值与加减结合的分类讨论与说理 分析 难 22 解答 6 数轴上两点间的距离与点的移动 应用 中 23 解答 6 有理数加减在行程问题中的应用 综合 中 24 综合 8 用有理数加减解决实际问题并逆向求解 综合 中 25 综合 8 新定义运算中的加减计算与运算律说理 评价 难 全卷共25小题，满分100分。试题选自2023—2025学年各地七年级上学期期中、期末真题（个别为改编），已按本课时的教学进度控制难度。认知层级分值分布：识记21分 理解27分 应用15分 分析15分 评价8分 综合14分。 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母填在括号内。 1.（2024·广西南宁·武鸣区期中）计算 (−3)+2 的结果是（ ） A. −5 B. −1 C. 1 D. 5 2.（2024·湖北武汉·期中）某年元月份某一天早晨的气温是 −3 ℃，中午上升了 8 ℃，则中午的气温是（ ） A. −5 ℃ B. −3 ℃ C. 3 ℃ D. 5 ℃ 3.（2024·江西赣州·期中）下列运算正确的是（ ） A. (−2)+(−2) = 0 B. (−6)+(−4) = 10 C. 0+(−3) = −3 D. 0.56+(−0.26) = −0.3 4.（2024·四川广安·广安区期中）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动 6 个单位长度，再向右移动 3 个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ） A. −6+3 = 9 B. −6−3 = −3 C. −6+3 = −3 D. −6+3 = 3 5.（2023·福建泉州永春·期中）若（ ）−(−2) = 3，则括号内的数是（ ） A. −5 B. −1 C. 1 D. 5 6.（2024·四川巴中·巴州区期中）已知 |x| = 5，|y| = 2，且 x > y，则 x+y 的值是（ ） A. −7 或 2 B. 7 或 3 C. −3 或 −2 D. −3 或 7 7.（2024·广东广州番禺区·期中）某地一天早晨的气温是 −3 ℃，中午上升了 10 ℃，午夜又下降了 12 ℃，则午夜的气温是（ ） A. 5 ℃ B. −5 ℃ C. −3 ℃ D. −9 ℃ 8.（2024·福建福州·期中）甲、乙、丙三地的海拔高度分别为 −100 米、−300 米、500 米，那么最高的地方比最低的地方高（ ） A. 200 米 B. 400 米 C. 600 米 D. 800 米 9.（2025·黑龙江大庆肇源·期中）把 −6−(+7)+(−2)−(−9) 写成省略加号和括号的形式，结果是（ ） A. −6−7+2−9 B. −6+7−2−9 C. −6−7−2+9 D. −6+7−2+9 10.（2024·山东威海·期末）小明妈妈元旦当天的微信零钱收支明细如下表（记收入为正，支出为负）： 项 目 微信转账 如意水果店 微信红包 便民菜场 金额/元 +80 −75 +36 −18 观察表格信息，可知小明妈妈的微信零钱余额与前一天相比（ ） A. 多了 23 元 B. 少了 23 元 C. 多了 116 元 D. 少了 95 元 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.（2024·福建福州·台江区期中）某超市出售的一种品牌大米袋上标有质量为 (20±0.15) kg 的字样。从超市中任意拿出该品牌的大米两袋，它们的质量最多相差 ____________ kg。 12.（2024·广东江门·新会区期中）已知 a 是最大的负整数，b 是最小的正整数，c 是最小的自然数，则 a−b+c 的值是 ____________。 13.（2024·广东广州海珠区·期末）已知 |x| = 7，|y| = 5，且 x+y > 0，则 x−y 的值是 ____________。 14.（2024·江西吉安永新县·期末）某市今年 1 月份某天的最高气温为 6 ℃，最低气温为 −3 ℃，则该市这天的最高气温比最低气温高 ____________ ℃。 15.（2024·湖北宜昌宜都市·期末）小聪设计了一台数值转换机，依次输入两个整数 a、b，输出的结果为 a−b。例如依次输入 1、2，则输出 1−2 = −1；再输入 3，则输出 −1−3 = −4。若依次输入 −1、−2、−3，则最后输出的结果是 ____________。 16.（2024·期末真题改编）珠穆朗玛峰的海拔高度为 8848.86 m，马里亚纳海沟最深处海拔为 −11034 m，则这两处的高度相差 ____________ m。 17.（2024·期末真题改编）用简便方法计算：(−29)+46+(−21) = ____________。 18.（2024·期中真题改编）已知两个数的和是 −9，其中一个加数是 4，则另一个加数是 ____________。 三、解答题（每小题6分，共30分） 19.（2024·吉林长春·榆树市期中）计算下列各题： （1）22−(−12)+(−10)−14； （2）(−)+(−)+； （3）(−5.4)+3.7−(−1.6)−2.8； （4）0−(−2.5)+(−3.2)−1.3 20. 用简便方法计算下列各题： （1）(−)+(−)++(−)； （2）12.5+(−3.7)+(−12.5)+3.7； （3）(−13)+(−25)+(−7)+25 21.（2024·江苏宿迁·期末改编）已知 |a| = 6，|b| = 4。 （1）若 a < b，求 a+b 的值； （2）若 |a+b| = a+b，求 a−b 的值。 22. 在数轴上，点 A 表示的数是 a，点 B 表示的数是 b。 （1）当 a = 4，b = −8 时，求 A、B 两点间的距离； （2）当 a = −2.5，b = 3.5 时，求 A、B 两点间的距离； （3）点 P 从数轴上表示 −3 的点出发，先向左移动 5 个单位长度，再向右移动 2 个单位长度到达点 Q。求点 Q 表示的数，以及点 P 移动的总路程。 23.（2024·行程类经典真题）某检修小组乘汽车沿东西方向的公路检修线路，约定向东为正。某天从 A 地出发到收工时，行走记录（单位：千米）依次为： +15，−2，+5，−1，+10，−3，−2。 （1）收工时，检修小组在 A 地的东边还是西边？距 A 地多远？ （2）求该检修小组从出发到收工共行驶的路程。 四、综合应用题（每小题8分，共16分） 24. 某地节日期间进行无人机灯光表演。若表演从空中某一高度开始，下表记录的是其中一架无人机的高度变化情况（记上升为正，下降为负）： 高度变化 记 作 上升 2.5 m +2.5 m 下降 3.2 m −3.2 m 上升 1.1 m +1.1 m 下降 1.4 m −1.4 m 下降 2.6 m −2.6 m （1）经过这五次变化后，无人机比起始点高了还是低了？高或者低多少米？ （2）若表演要求无人机最终比起始点高出 0.6 m，那么在这五次变化之后，还需要上升多少米？ 25.（2024·新定义型真题改编）对于任意有理数 a、b，规定一种新运算：a ※ b = a+b−1。 例如：2 ※ 5 = 2+5−1 = 6。 （1）计算 (−3) ※ 4 的值； （2）计算 (−2) ※ [(−1) ※ 3] 的值； （3）若 x ※ (−2) = 4，求 x 的值； （4）小明说：「对于任意有理数 a、b，都有 a ※ b = b ※ a。」他的说法正确吗？请说明理由。 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. B。(−3)+2 是异号两数相加，取绝对值较大的 −3 的符号「−」，再用 3−2 = 1，所以结果是 −1。 2. D。中午气温 = (−3)+8 = 5（℃）。 3. C。A 中 (−2)+(−2) = −4；B 中 (−6)+(−4) = −10；D 中 0.56+(−0.26) = 0.30 = 0.3，漏写了符号；只有 C 正确。 4. C。先向左移动 6 个单位长度记为 −6，再向右移动 3 个单位长度记为 +3，结果落在原点左侧 3 个单位长度处，即 −3，所以 −6+3 = −3。 5. C。设括号内的数为 x，则 x−(−2) = 3，即 x+2 = 3，所以 x = 1。 6. B。由 |x| = 5 得 x = 5 或 −5；由 |y| = 2 得 y = 2 或 −2。因为 x > y，所以 x 只能取 5，此时 y = 2 或 −2。当 y = 2 时 x+y = 7；当 y = −2 时 x+y = 3。所以 x+y 的值是 7 或 3。 7. B。午夜气温 = (−3)+10−12 = 7−12 = −5（℃）。 8. D。最高处是 500 米，最低处是 −300 米，相差 500−(−300) = 500+300 = 800（米）。 9. C。−6 不变；−(+7) 表示减去 7，写成 −7；+(−2) 直接写成 −2；−(−9) 表示减去 −9，写成 +9。所以原式 = −6−7−2+9。 10. A。把四笔收支相加：80+(−75)+36+(−18) = (80+36)−(75+18) = 116−93 = 23（元），结果为正，说明余额比前一天多了 23 元。 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 0.3。合格质量的范围是 20−0.15 = 19.85 到 20+0.15 = 20.15（kg），两袋质量最多相差 20.15−19.85 = 0.3（kg）。 12. −2。最大的负整数 a = −1，最小的正整数 b = 1，最小的自然数 c = 0，所以 a−b+c = −1−1+0 = −2。 13. 12 或 2。由 |x| = 7 得 x = ±7，由 |y| = 5 得 y = ±5。因为 x+y > 0，所以 x 只能取 7。当 y = 5 时 x−y = 2；当 y = −5 时 x−y = 7−(−5) = 12。 14. 9。6−(−3) = 6+3 = 9（℃）。 15. 4。输入 −1、−2，输出 −1−(−2) = −1+2 = 1；再输入 −3，输出 1−(−3) = 1+3 = 4。 16. 19882.86。8848.86−(−11034) = 8848.86+11034 = 19882.86（m）。 17. −4。原式 = [(−29)+(−21)]+46 = (−50)+46 = −4（先把两个负数结合起来）。 18. −13。设另一个加数为 x，则 4+x = −9，所以 x = −9−4 = −13。 三、解答题（每小题6分，共30分） 19.（1）原式 = 22+12−10−14 = 34−24 = 10； （2）先通分：(−)+(−)+ = − = −； （3）原式 = (−5.4)+3.7+1.6+(−2.8) = [(−5.4)+(−2.8)]+(3.7+1.6) = (−8.2)+5.3 = −2.9； （4）原式 = 0+2.5+(−3.2)+(−1.3) = 2.5−4.5 = −2。 20.（1）原式 = [(−)+] + [(−)+(−)] = 0+(−1) = −1； （2）原式 = [12.5+(−12.5)] + [(−3.7)+3.7] = 0+0 = 0； （3）原式 = [(−13)+(−7)] + [(−25)+25] = (−20)+0 = −20。 21.（1）由 |a| = 6 得 a = 6 或 −6；由 |b| = 4 得 b = 4 或 −4。因为 a < b，所以 a 只能取 −6。 当 a = −6、b = 4 时，a+b = −6+4 = −2； 当 a = −6、b = −4 时，a+b = −6+(−4) = −10。所以 a+b 的值是 −2 或 −10。 （2）因为 |a+b| = a+b，所以 a+b ≥ 0。若 a = −6，则 a+b = −2 或 −10，都是负数，不符合要求，所以 a 只能取 6。 当 a = 6、b = 4 时，a−b = 6−4 = 2；当 a = 6、b = −4 时，a−b = 6−(−4) = 10。所以 a−b 的值是 2 或 10。 22.（1）距离为 |4−(−8)| = |4+8| = 12； （2）距离为 |(−2.5)−3.5| = |−6| = 6； （3）点 Q 表示的数为 −3+(−5)+2 = −8+2 = −6；点 P 移动的总路程为 |−5|+|+2| = 5+2 = 7（个单位长度）。 23.（1）把行走记录相加： (+15)+(−2)+(+5)+(−1)+(+10)+(−3)+(−2) = [(+15)+(+5)+(+10)] + [(−2)+(−1)+(−3)+(−2)] = 30+(−8) = 22（千米）。 结果是 +22，说明收工时检修小组在 A 地的东边，距 A 地 22 千米。 （2）总路程为各次行走路程之和： |+15|+|−2|+|+5|+|−1|+|+10|+|−3|+|−2| = 15+2+5+1+10+3+2 = 38（千米）。 四、综合应用题（每小题8分，共16分） 24.（1）五次变化的总效果为 2.5+(−3.2)+1.1+(−1.4)+(−2.6) = (2.5+1.1) + [(−3.2)+(−1.4)+(−2.6)] = 3.6+(−7.2) = −3.6。 结果为 −3.6 m，说明无人机比起始点低了 3.6 m。（答：低了，低 3.6 m。） （2）设还需要上升 x m，则 −3.6+x = 0.6，所以 x = 0.6−(−3.6) = 0.6+3.6 = 4.2。 答：还需要上升 4.2 m。 25.（1）(−3) ※ 4 = (−3)+4−1 = 0。 （2）先算括号内的：(−1) ※ 3 = (−1)+3−1 = 1； 再算 (−2) ※ 1 = (−2)+1−1 = −2。 （3）由 x ※ (−2) = 4 得 x+(−2)−1 = 4，即 x−3 = 4，所以 x = 7。 （4）正确。理由：a ※ b = a+b−1，b ※ a = b+a−1。因为有理数的加法满足交换律，所以 a+b = b+a， 从而 a+b−1 = b+a−1，即 a ※ b = b ※ a。小明的说法正确。 学科网（北京）股份有限公司 $