精品解析：广东江门市新会区名冠实验学校2026-2027学年上学期第一阶段学情分析 九年级 数学试卷

名冠实验学校2026年秋季学期第一阶段学情分析 九年级 数学试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A选项，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B选项，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C选项，含有一个未知数，未知数的最高次数是2，是一元二次方程，符合题意； D选项，，所以可转化为，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，方程二次项系数不等于零，求解即可． 【详解】解：由题意，得m-3≠0， ∴m≠3， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，一般地，形如ax2+bx+c=0，a，b，c是常数，且a≠0的方程是一元二次方程． 3. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解．根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：，，，将其代入原式中即可求出结论． 【详解】解：∵α，β是方程的两个根， ∴，．且． 由此可得：，． ∴． 故选：D． 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：， 所以方程有两个不相等实数根， 故选： 5. 在二次函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的表达式为整式，自变量的取值范围是全体实数． 6. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的解法，正确理解题意并掌握一元二次方程的解法是解题关键．将代入二次函数关系式，解关于的一元二次方程，同时结合实际意义舍去负值即可． 【详解】解：∵ ，且， ∴ ， 整理，得， 解得，． ∵ ， ∴ ． 故选：C． 7. 已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算判别式并解方程，排除不符合条件的解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根相等， ，且 解得（舍）或， 故选：C． 8. 等腰三角形的一边长为2，它的另外两边的长度是关于x的方程的两个实数根，则k的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 8或9 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质． 根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时， 此时关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得， 此时两腰长为3， ∵， ∴满足题意， ②当等腰三角形的腰长为2时， 此时是方程的其中一根， 代入得， ∴， ∴求出另外一根：， ∵， ∴不能组成三角形， 综上所述，， 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（ ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 2或10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 10. 我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（ ） A. B. ，2 C. ，4 D. ，0 【答案】C 【解析】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分） 11. 方程的两个实数根分别是，，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别是，， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．本题根据二次项系数非零可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是______________； 【答案】11 【解析】 【分析】把x=1代入运算程序的y=6＜9，无法输出，再把x=2代入运算程序得y=11＞9，输出答案，问题得解． 【详解】解：把x=1代入得y=1+2+3=6＜9，无法输出， ∴把x=1+1=2代入得y=4+4+3=11＞9，输出答案． 故答案为：11 【点睛】本题考查了根据运算程序进行计算，理解运算程序是解题关键． 14. 已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，若，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查根的判别式以及根与系数之间的关系．根据题意，得到，，再根据，利用完全平方公式进行转化，求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴， 即：， ∴（舍去）或； 故答案为：3． 15. 如图，在中，，．点M从点A出发，沿射线的方向运动，连接．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．若的面积等于6，则的长为________． 【答案】2或6或 【解析】 【分析】先证明，得到，，则，设，结合图形表示出，最后根据的面积等于6，即，代入列方程求解，注意本题中需要分两种情况讨论：第一种情况是点在线段上时；第二种情况是点在线段延长线上时． 【详解】解：当点在线段上时， ∵，， ∴，，， ∵将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵的面积等于6， ∴， ∴， 解得：， ∴或； 如图2，当点在线段延长线上时， 同理可得，， 设，则， ∵的面积等于6， ∴， ∴， 解得：， ∵ ∴； 综上所述，的长为2或6或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， 或， ，； 【小问2详解】 解：，其中，，， 则， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 17. 第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】先设月平均增长率为，根据4月和6月的销售量列出方程，即可求解． 【详解】解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 18. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是）．围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽是，面积是． （1）求S与x的函数关系式及x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？ 【答案】（1） （2）要围成面积为的花圃，的长为9米． 【解析】 【分析】（1）根据题目数量关系列函数表达式即可； （2）将代入（1）中表达式即可求解； 【小问1详解】 解：根据题目数量关系得，， 根据题意，， ∴， ∴． 【小问2详解】 将代入得， ∴（舍去）， ∴要围成面积为的花圃，的长为9米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，正确列出函数表达式是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根等于2，求a的值 【答案】（1）证明：∵方程是一元二次方程， ∴ ． ∵无论取何实数，，即， ∴该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的根的判别式，证明其恒大于等于0即可得证； （2）将代入原方程，解关于a的一元一次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入得，， 解得． 20. 某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒元． （1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______盒； （2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？ 【答案】（1） （2）要获得1200元利润，应按每盒70元销售 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量； （2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，在结合每盒售价不得高于72元，即可确定的值． 【小问1详解】 解：根据题意，提价后平均每天的销售量为：（盒． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：． 解得：，， 该款口罩的每盒售价不得高于72元， 不合题意，舍去． 答：要获得1200元利润，应按每盒70元销售． 21. 某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系． x/（元/件） 35 40 45 50 55 y/件 550 500 450 400 350 （1）试求y与x之间的函数解析式； （2）设该公司试销该产品每天获得的总毛利润为W（元），求W与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（总毛利润单件利润销售量） （3）该公司要想一天获得的总毛利润为8000元，求销售单价． 【答案】（1） （2），自变量的取值范围是 （3）销售单价为50元/件或70元/件 【解析】 【分析】（1）根据表格中x与y的变化规律判断为一次函数，设解析式代入两点求解； （2）利用总毛利润公式构建W与x的函数关系，结合题干单价限制确定自变量范围； （3）令，解一元二次方程，结合自变量范围确定符合条件的解． 【小问1详解】 解：由表格得，x每增加5，y相应减少50， ∴y与x是一次函数关系， 设 将和代入得， 解得 ∴y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∵销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件， ∴； 【小问3详解】 解：令得，， 整理得，， 解得，， ∴销售单价为50元/件或70元/件． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分。 22. 已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． （1）一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． （2）若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 【答案】（1） 是，理由如下： 解：   解得，  两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义  一元二次方程是“逆根方程”； （2） 方程的两个根为和 【解析】 【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可； （2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即可得到两个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个根为 该方程是“逆根方程” 由一元二次方程根与系数的关系得 ， 解得 将代入原方程得：  整理得 由求根公式得 方程的两个根为和． 23. 【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可； （2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可； （3）先说明，再结合四边形的周长是可得，进而求得，可得；再利用完全平方公式求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把代入中得：，即， ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：， ， ， ，即， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名冠实验学校2026年秋季学期第一阶段学情分析 九年级 数学试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 在二次函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 6. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2 8. 等腰三角形的一边长为2，它的另外两边的长度是关于x的方程的两个实数根，则k的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 8或9 D. 1 9. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（ ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 2或10 10. 我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（ ） A. B. ，2 C. ，4 D. ，0 二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分） 11. 方程的两个实数根分别是，，则的值是______． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______． 13. 如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是______________； 14. 已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，若，则的值为__________． 15. 如图，在中，，．点M从点A出发，沿射线的方向运动，连接．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．若的面积等于6，则的长为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 17. 第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 18. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是）．围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽是，面积是． （1）求S与x的函数关系式及x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根等于2，求a的值 20. 某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒元． （1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______盒； （2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？ 21. 某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系． x/（元/件） 35 40 45 50 55 y/件 550 500 450 400 350 （1）试求y与x之间的函数解析式； （2）设该公司试销该产品每天获得的总毛利润为W（元），求W与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（总毛利润单件利润销售量） （3）该公司要想一天获得的总毛利润为8000元，求销售单价． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分。 22. 已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． （1）一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． （2）若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 23. 【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $