第三章勾股定理分层练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版八年级上册　第 3 章　勾股定理 同步变式训练 · 分层检测反馈（学生版） 班级：__________　　姓名：__________　　得分：__________ 知识梳理 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若两直角边为 a、b，斜边为 c，则 a²+b²=c²。 2. 勾股定理的验证：常用面积法（如赵爽弦图：大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 中间小正方形面积），割补、拼接前后图形面积不变。 3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三边 a、b、c 满足 a²+b²=c²（c 为最长边），则这个三角形是直角三角形，且 c 所对的角是直角。 4. 勾股数：满足 a²+b²=c² 的三个正整数。常见：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41 及其相同的正整数倍。 5. 勾股定理的应用：已知两边求第三边；求面积与斜边上的高；在数轴上表示无理数；解决梯子下滑、旗杆测高、折叠、立体表面最短路径、航海测速等实际问题。 第一部分　变式训练 模块一　勾股定理的探究与验证（对应 3.1） 例1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，求 AB 的长。 变式1　在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，求 BC 的长。 变式2　已知直角三角形的两边长分别为 3 和 4，求第三边的长。（提示：分情况讨论） 变式3　在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求 AC 的长及三角形的周长。 例2　“赵爽弦图”由 4 个全等的直角三角形与中间 1 个小正方形拼成（如图），设直角三角形的两条直角边为 a、b（a＞b），斜边为 c。 若大正方形的面积为 25，小正方形的面积为 1，求每个直角三角形的面积以及 a、b 的值。 变式4　在“赵爽弦图”中，若大正方形的面积为 100，小正方形的面积为 4，求每个直角三角形的面积。 模块二　利用勾股定理求边长与面积 例3　如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，分别以三边为边向外作正方形，面积分别为 S1、S2、S3。问：S1、S2、S3 之间有怎样的数量关系？请说明理由。 变式5　若分别以直角三角形（∠C=90°）的三边为边向外作等边三角形，其面积分别为 S1、S2、S3，试猜想 S1、S2、S3 之间的数量关系，并说明理由。 变式6　如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC=10，底边 BC=12，AD 为底边上的高。求 AD 的长及△ABC 的面积。 变式7　等腰直角三角形的斜边长为 6，求它的直角边长和面积。 模块三　勾股定理的逆定理与勾股数（对应 3.2） 例4　判断下列各组数为边长的三角形是不是直角三角形，并说明理由。 ① 7，24，25；　② 8，15，17；　③ 9，13，15。 变式8　判断下列三角形是否为直角三角形：① 三边之比为 8:15:17；② 三边长为 9、40、41。 变式9　已知 8、15、17 是一组勾股数。 （1）24、45、51 是否为一组勾股数？为什么？ （2）请写出一组以 9 为最短边的勾股数。 变式10　在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c。下列条件能否判定△ABC 是直角三角形？请逐一说明理由。 ① a:b:c = 5:12:13；　② ∠A:∠B:∠C = 2:3:5；　③ a² = b² − c²。 模块四　勾股定理的简单应用（对应 3.3） 例5　如图，一架长 5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙脚的距离为 3 m。 （1）梯子顶端离地面多高？ （2）若梯子的底端沿地面向外移动 1 m，则梯子的顶端将沿墙下滑多少米？ 变式11　如图，旗杆 AO 顶端系有一条绳子，绳子垂到地面时还多出 2 m；将绳子拉直后，绳梢 B 恰好落在离杆底 O 为 6 m 的地面上。求旗杆的高度。 变式12　如图，一棵大树原高 16 m，在一次大风中从离地面一定高度处折断，树梢 B 恰好落在离树根 A 8 m 的地面上。求折断处 C 离地面的高度 AC。 变式13　一个圆柱形水桶，底面周长为 10 cm，高为 12 cm。一只蚂蚁从下底边缘的 A 点沿侧面爬到上底边缘的 B 点（B 在 A 的相对一侧的正上方），求蚂蚁爬行的最短路程。 第二部分　分层检测反馈 A 级　基础巩固（第 1～10 题，每题 10 分，建议用时 15 分钟） 对标江苏八年级上学期期中/期末试卷基础题（选择、填空前段与简单解答），全部为原创命制。 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．2，3，4　　　B．4，5，6　　　C．8，15，17　　　D．5，7，9 2．已知直角三角形的两边长分别为 6 和 8，则第三边的长为（　　） A．10　　　B．2√7　　　C．10 或 2√7　　　D．√7 3．下列各组数能作为直角三角形三边长的是（　　） A．5，12，13　　　B．4，5，6　　　C．6，8，12　　　D．7，20，21 4．下列条件中，能判定三角形是直角三角形的是（　　） A．三个内角的度数之比为 2:3:4　　　B．三个内角的度数之比为 2:3:5　　　C．三边之比为 3:4:6　　　D．三边之比为 2:3:4 5．直角三角形的两条直角边长分别为 5 和 12，则斜边长为______。 6．等腰直角三角形的直角边长为 4，则斜边长为______。 7．已知三角形的三边长分别为 9、12、15，则这个三角形的面积为______。 8．请写出一组三个数都大于 5 的勾股数：______。 9．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=8，c=17，求 b 的长及 Rt△ABC 的面积。 10．已知△ABC 的三边长分别为 2.5、6、6.5，试判断△ABC 的形状，并求它的面积。 B 级　能力提升（第 1～10 题，每题 10 分，建议用时 25 分钟） 对标江苏八年级上学期期中/期末试卷中档题：弦图、网格、分类讨论、折叠与实际应用。 1．如图，“赵爽弦图”由 4 个全等的直角三角形与中间 1 个小正方形拼成。若大正方形的面积为 20，小正方形的面积为 4，则每个直角三角形的面积为（　　） A．2　　　B．4　　　C．6　　　D．8 2．下列各组数中，不能构成直角三角形三边长的是（　　） A．7，24，25　　　B．8，15，17　　　C．9，40，41　　　D．6，12，13 3．如图，每个小正方形的边长均为 1，A、B 都在格点上，则线段 AB 的长为（　　） A．13　　　B．√13　　　C．√12　　　D．2√3 4．等腰三角形的腰长为 13，底边长为 10，则它的面积为______。 5．如图，在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高 AD=12，则 BC 的长为______。 6．如图，一段台阶的竖直总高度为 3 m，水平总长度为 4 m。若在台阶上铺一条地毯（恰好覆盖每一级台阶的水平面与竖直面），则地毯至少需要______ m。 7．如图，在数轴上方作直角三角形，其两条直角边长分别为 3 和 1，以原点 O 为圆心、斜边长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A 表示的数为______。 8．直角三角形的两条直角边长分别为 5 和 12，则斜边上的高为______。 9．如图，在长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，将长方形沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 C′ 处，BC′ 与 AD 相交于点 E，求 AE 的长。 10．如图，圆柱的底面周长为 12，高为 8。一只蚂蚁位于下底面边缘的 A 点处，B 点在上底面边缘、与 A 相对一侧的正上方。求蚂蚁沿圆柱侧面从 A 爬到 B 的最短路程。 C 级　思维拓展（第 1～10 题，每题 10 分，建议用时 30 分钟） 对标江苏八年级上学期期中/期末压轴题与新定义题：整体思想、最短路径、动点、旋转与阅读理解。 1．在 Rt△ABC 中，两直角边为 a、b，斜边为 c。若 a+b=14，c=10，则这个直角三角形的面积为______。 2．如图，分别以 Rt△ABC（∠C=90°）的三边为直径向外作半圆，面积分别为 S1、S2、S3。若 S1=2π，S2=9π/2，则 S3=______。 3．如图，长方体的长、宽、高分别为 8、4、2（单位：cm），一只蚂蚁从顶点 A 沿长方体表面爬到与 A 相对的顶点 B 处，则最短路程为______ cm。 4．甲、乙两船同时从港口 O 出发，甲船以 16 海里/时的速度向正东方向航行，乙船以 12 海里/时的速度向正南方向航行。航行 1.5 小时后，两船相距______海里。 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8。将△ABC 沿 AD 折叠，使点 C 恰好落在斜边 AB 上的点 C′ 处（D 在 BC 边上），求 BD 的长。 6．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，AD 是 BC 边上的高。动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 BC 向点 C 运动（到达 C 停止）。设运动时间为 t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，求 t 的值。 7．“赵爽弦图”（如图）由 4 个全等的直角三角形（直角边 a、b，a＞b，斜边 c）与中间一个小正方形拼成。 （1）利用这个图形证明勾股定理； （2）利用（1）中的面积关系说明：当 a+b=6 时，ab ≤ 9，并求周长为 12 的长方形面积的最大值。 8．【阅读材料】在线段 AB 上有两点 C、D（依次排列），若以 AC、CD、DB 为边的三条线段中，其中两条的平方和等于第三条的平方，则称 C、D 是线段 AB 的“勾股分割点”。 （1）如图①，AB=12，AC=3，CD=4，请判断 C、D 是否为线段 AB 的勾股分割点，并说明理由； （2）如图②，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D、E 在边 BC 上，且∠DAE=45°。求证：DE² = BD² + CE²。 9．如图，某市 A 接到台风警报：台风中心位于 B 处，正沿箭头方向移动。已知 A 到台风移动路线 BF 的垂线段 AC=120 km，BC=160 km，台风中心以 20 km/h 的速度沿 BF 移动。以台风中心为圆心、150 km 为半径的圆形区域内都会受到影响。 （1）求 AB 的长； （2）该市是否会受到台风影响？若会，求该市受本次台风影响（中心在影响区域内经过）的持续时间。 10．如图，一条东西走向的公路 MN 旁有一测速点 C，CD⊥MN 于 D，CD=30 m。一辆汽车沿公路由西向东行驶，经过 A 点时（A 在 D 的西侧），测得 AC=50 m；2 秒后汽车到达 B 点（B 在 D 的东侧），测得 BC=50 m。 （1）求 AB 的长； （2）该路段限速 120 km/h，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由。 —— 本卷完 —— 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版八年级上册　第 3 章　勾股定理 同步变式训练 · 分层检测反馈（教师解析版） 知识梳理 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若两直角边为 a、b，斜边为 c，则 a²+b²=c²。 2. 勾股定理的验证：常用面积法（如赵爽弦图：大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 中间小正方形面积），割补、拼接前后图形面积不变。 3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三边 a、b、c 满足 a²+b²=c²（c 为最长边），则这个三角形是直角三角形，且 c 所对的角是直角。 4. 勾股数：满足 a²+b²=c² 的三个正整数。常见：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41 及其相同的正整数倍。 5. 勾股定理的应用：已知两边求第三边；求面积与斜边上的高；在数轴上表示无理数；解决梯子下滑、旗杆测高、折叠、立体表面最短路径、航海测速等实际问题。 第一部分　变式训练 模块一　勾股定理的探究与验证（对应 3.1） 例1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，求 AB 的长。 【答案】AB = 10 【解析】 ∵∠C=90°，∴ 由勾股定理，得 AB² = AC² + BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100。 ∴ AB = 10。 变式1　在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，求 BC 的长。 【答案】BC = 12 【解析】 由勾股定理，得 BC² = AB² − AC² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144。 ∴ BC = 12。 变式2　已知直角三角形的两边长分别为 3 和 4，求第三边的长。（提示：分情况讨论） 【答案】5 或 【解析】 ① 当 3、4 都是直角边时，第三边（斜边）为 = 5； ② 当 4 是斜边时，第三边（直角边）为 = 。 综上，第三边长为 5 或 。 变式3　在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求 AC 的长及三角形的周长。 【答案】AC = 8，周长 = 24 【解析】 AC² = AB² − BC² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64，∴ AC = 8。 周长 = 6 + 8 + 10 = 24。 例2　“赵爽弦图”由 4 个全等的直角三角形与中间 1 个小正方形拼成（如图），设直角三角形的两条直角边为 a、b（a＞b），斜边为 c。 若大正方形的面积为 25，小正方形的面积为 1，求每个直角三角形的面积以及 a、b 的值。 【答案】每个直角三角形的面积为 6；a=4，b=3 【解析】 由拼图可知：大正方形边长为斜边 c，小正方形边长为 a−b。 ∴ a² + b² = 25，(a−b)² = 1。 ∵ (a+b)² = a²+b²+2ab = 25 + 2ab，而 (a−b)² = a²+b²−2ab = 1，∴ 2ab = 25 − 1 = 24，ab = 12。 ∴ 每个直角三角形的面积 = ½ab = 6；(a+b)² = 25+24 = 49，a+b = 7。 由 a+b=7，a−b=1，得 a=4，b=3。 变式4　在“赵爽弦图”中，若大正方形的面积为 100，小正方形的面积为 4，求每个直角三角形的面积。 【答案】24 【解析】 设两直角边为 a、b（a＞b），则 a²+b²=100，(a−b)²=4。 2ab = a²+b² − (a−b)² = 100 − 4 = 96，ab = 48。 ∴ 每个直角三角形的面积 = ½ab = 24。 模块二　利用勾股定理求边长与面积 例3　如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，分别以三边为边向外作正方形，面积分别为 S1、S2、S3。问：S1、S2、S3 之间有怎样的数量关系？请说明理由。 【答案】S1 + S2 = S3 【解析】 正方形的面积等于边长的平方，∴ S1 = AC²，S2 = BC²，S3 = AB²。 ∵ ∠C=90°，由勾股定理 AB² = AC² + BC²，∴ S1 + S2 = S3。 变式5　若分别以直角三角形（∠C=90°）的三边为边向外作等边三角形，其面积分别为 S1、S2、S3，试猜想 S1、S2、S3 之间的数量关系，并说明理由。 【答案】S1 + S2 = S3 【解析】 边长为 a 的等边三角形面积为 (/4)a²，与边长的平方成正比。 ∴ S1 = (/4)AC²，S2 = (/4)BC²，S3 = (/4)AB²。 由勾股定理 AC²+BC² = AB²，故 S1 + S2 = S3。 变式6　如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC=10，底边 BC=12，AD 为底边上的高。求 AD 的长及△ABC 的面积。 【答案】AD = 8，面积 = 48 【解析】 等腰三角形底边上的高也是底边中线，∴ BD = DC = 6。 在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，AD² = AB² − BD² = 100 − 36 = 64，AD = 8。 S△ABC = ½×BC×AD = ½×12×8 = 48。 变式7　等腰直角三角形的斜边长为 6，求它的直角边长和面积。 【答案】直角边 = 3，面积 = 9 【解析】 设直角边为 x，则 x² + x² = 6²，2x² = 36，x² = 18，x = 3。 面积 = ½ × 3 × 3 = ½ × 18 = 9。 模块三　勾股定理的逆定理与勾股数（对应 3.2） 例4　判断下列各组数为边长的三角形是不是直角三角形，并说明理由。 ① 7，24，25；　② 8，15，17；　③ 9，13，15。 【答案】①②是直角三角形，③不是 【解析】 ① 7²+24² = 49+576 = 625 = 25²，是直角三角形； ② 8²+15² = 64+225 = 289 = 17²，是直角三角形； ③ 9²+13² = 81+169 = 250 ≠ 15² = 225，不是直角三角形（且 250＞225，它是钝角三角形）。 变式8　判断下列三角形是否为直角三角形：① 三边之比为 8:15:17；② 三边长为 9、40、41。 【答案】都是直角三角形 【解析】 ① 设三边为 8k、15k、17k，(8k)²+(15k)² = 64k²+225k² = 289k² = (17k)²，是直角三角形； ② 9²+40² = 81+1600 = 1681 = 41²，是直角三角形。 变式9　已知 8、15、17 是一组勾股数。 （1）24、45、51 是否为一组勾股数？为什么？ （2）请写出一组以 9 为最短边的勾股数。 【答案】（1）是；（2）9、40、41 【解析】 （1）24=8×3，45=15×3，51=17×3，且 24²+45² = 576+2025 = 2601 = 51²，三个数都是正整数， ∴ 24、45、51 是勾股数（勾股数的相同正整数倍仍是勾股数）。 （2）设另两边为 b、b+1，则 9²+b² = (b+1)²，81 = 2b+1，b = 40。 ∴ 9、40、41 是一组以 9 为最短边的勾股数（答案不唯一）。 变式10　在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c。下列条件能否判定△ABC 是直角三角形？请逐一说明理由。 ① a:b:c = 5:12:13；　② ∠A:∠B:∠C = 2:3:5；　③ a² = b² − c²。 【答案】①②③都能判定是直角三角形 【解析】 ① 设三边为 5k、12k、13k，(5k)²+(12k)² = 169k² = (13k)²，由勾股定理的逆定理，是直角三角形； ② 设三角为 2m、3m、5m，则 2m+3m+5m = 180°，m = 18°，最大角 = 5m = 90°，是直角三角形； ③ 由 a² = b²−c² 得 a²+c² = b²，两边平方和等于第三边平方，由勾股定理的逆定理，是直角三角形（b 为斜边）。 模块四　勾股定理的简单应用（对应 3.3） 例5　如图，一架长 5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙脚的距离为 3 m。 （1）梯子顶端离地面多高？ （2）若梯子的底端沿地面向外移动 1 m，则梯子的顶端将沿墙下滑多少米？ 【答案】（1）4 m；（2）下滑 1 m 【解析】 （1）由勾股定理，顶端高度 = = = 4（m）。 （2）外移后底端距墙 3+1 = 4（m），此时顶端高度 = = = 3（m）。 顶端下滑 = 4 − 3 = 1（m）。 变式11　如图，旗杆 AO 顶端系有一条绳子，绳子垂到地面时还多出 2 m；将绳子拉直后，绳梢 B 恰好落在离杆底 O 为 6 m 的地面上。求旗杆的高度。 【答案】8 m 【解析】 设旗杆高 h m，则绳长为 (h+2) m。 拉直后绳子、旗杆、地面构成直角三角形：h² + 6² = (h+2)²。 h² + 36 = h² + 4h + 4，4h = 32，h = 8。 ∴ 旗杆高 8 m。 变式12　如图，一棵大树原高 16 m，在一次大风中从离地面一定高度处折断，树梢 B 恰好落在离树根 A 8 m 的地面上。求折断处 C 离地面的高度 AC。 【答案】AC = 6 m 【解析】 设 AC = x m，则折断的上段 CB = (16−x) m，且 AB = 8 m。 Rt△ABC 中：x² + 8² = (16−x)²，x² + 64 = 256 − 32x + x²，32x = 192，x = 6。 ∴ 折断处离地面 6 m（此时上段 CB = 10 m，满足 6²+8²=10²）。 变式13　一个圆柱形水桶，底面周长为 10 cm，高为 12 cm。一只蚂蚁从下底边缘的 A 点沿侧面爬到上底边缘的 B 点（B 在 A 的相对一侧的正上方），求蚂蚁爬行的最短路程。 【答案】13 cm 【解析】 将圆柱侧面沿过 A 的母线展开为矩形：宽 = 底面周长 = 10 cm，高 = 12 cm。 B 在展开图中与 A 的水平距离为半周长 = 10÷2 = 5（cm），竖直距离为 12 cm。 最短路程 = = = 13（cm）。 第二部分　分层检测反馈 A 级　基础巩固（第 1～10 题，每题 10 分，建议用时 15 分钟） 对标江苏八年级上学期期中/期末试卷基础题（选择、填空前段与简单解答），全部为原创命制。 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．2，3，4　　　B．4，5，6　　　C．8，15，17　　　D．5，7，9 【答案】C 【解析】 勾股数须为满足 a²+b²=c² 的三个正整数。 A：4+9=13≠16；B：16+25=41≠36；D：25+49=74≠81； C：8²+15²=64+225=289=17²，且三个数均为正整数。故选 C。 2．已知直角三角形的两边长分别为 6 和 8，则第三边的长为（　　） A．10　　　B．2　　　C．10 或 2　　　D． 【答案】C 【解析】 若 6、8 均为直角边，第三边（斜边）= = 10； 若 8 为斜边，第三边（直角边）= = = 2。故选 C。 3．下列各组数能作为直角三角形三边长的是（　　） A．5，12，13　　　B．4，5，6　　　C．6，8，12　　　D．7，20，21 【答案】A 【解析】 A：5²+12²=25+144=169=13²，能构成直角三角形； B：16+25=41≠36；C：36+64=100≠144；D：49+400=449≠441。故选 A。 4．下列条件中，能判定三角形是直角三角形的是（　　） A．三个内角的度数之比为 2:3:4　　　B．三个内角的度数之比为 2:3:5　　　C．三边之比为 3:4:6　　　D．三边之比为 2:3:4 【答案】B 【解析】 A：最大角 = 180°×4/9 = 80°，不是直角三角形； B：最大角 = 180°×5/10 = 90°，是直角三角形； C：9+16=25≠36；D：4+9=13≠16，均不能由勾股定理逆定理判定。故选 B。 5．直角三角形的两条直角边长分别为 5 和 12，则斜边长为______。 【答案】13 【解析】 斜边 = = = = 13。 6．等腰直角三角形的直角边长为 4，则斜边长为______。 【答案】4 【解析】 斜边 = = = 4。 7．已知三角形的三边长分别为 9、12、15，则这个三角形的面积为______。 【答案】54 【解析】 ∵ 9²+12² = 81+144 = 225 = 15²，∴ 该三角形是直角三角形，两直角边为 9 和 12。 S = ½×9×12 = 54。 8．请写出一组三个数都大于 5 的勾股数：______。 【答案】如 8、15、17（答案不唯一，如 7、24、25 或 9、40、41 等均可） 【解析】 满足 a²+b²=c² 的三个正整数即为勾股数，例如 8²+15²=17²。 9．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=8，c=17，求 b 的长及 Rt△ABC 的面积。 【答案】b = 15，面积 = 60 【解析】 b² = c² − a² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225，b = 15。 S = ½ab = ½×8×15 = 60。 10．已知△ABC 的三边长分别为 2.5、6、6.5，试判断△ABC 的形状，并求它的面积。 【答案】直角三角形，面积为 7.5 【解析】 ∵ 2.5² + 6² = 6.25 + 36 = 42.25 = 6.5²， ∴ 由勾股定理的逆定理，△ABC 是直角三角形，两直角边为 2.5 和 6。 S = ½×2.5×6 = 7.5。 B 级　能力提升（第 1～10 题，每题 10 分，建议用时 25 分钟） 对标江苏八年级上学期期中/期末试卷中档题：弦图、网格、分类讨论、折叠与实际应用。 1．如图，“赵爽弦图”由 4 个全等的直角三角形与中间 1 个小正方形拼成。若大正方形的面积为 20，小正方形的面积为 4，则每个直角三角形的面积为（　　） A．2　　　B．4　　　C．6　　　D．8 【答案】B 【解析】 设两直角边为 a、b（a＞b），则 a²+b² = 20，(a−b)² = 4。 2ab = (a²+b²) − (a−b)² = 20 − 4 = 16，ab = 8。 每个直角三角形面积 = ½ab = 4。故选 B。 2．下列各组数中，不能构成直角三角形三边长的是（　　） A．7，24，25　　　B．8，15，17　　　C．9，40，41　　　D．6，12，13 【答案】D 【解析】 A：49+576=625=25²；B：64+225=289=17²；C：81+1600=1681=41²，均能构成； D：6²+12²=36+144=180≠169=13²，不能构成。故选 D。 3．如图，每个小正方形的边长均为 1，A、B 都在格点上，则线段 AB 的长为（　　） A．13　　　B．　　　C．　　　D．2 【答案】B 【解析】 构造直角三角形：水平方向差 3 格，竖直方向差 2 格。 AB = = 。故选 B。 4．等腰三角形的腰长为 13，底边长为 10，则它的面积为______。 【答案】60 【解析】 底边上的高 = = = = 12。 S = ½×10×12 = 60。 5．如图，在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高 AD=12，则 BC 的长为______。 【答案】14 或 4 【解析】 分两种情况： ① 垂足 D 在线段 BC 上（锐角三角形）：BD==9，DC==5，BC=9+5=14； ② 垂足 D 在 CB 的延长线上（钝角三角形）：BC=BD−DC=9−5=4。 ∴ BC = 14 或 4。 6．如图，一段台阶的竖直总高度为 3 m，水平总长度为 4 m。若在台阶上铺一条地毯（恰好覆盖每一级台阶的水平面与竖直面），则地毯至少需要______ m。 【答案】7 【解析】 地毯长度 = 各级水平面之和 + 各级竖直面之和 = 水平总长 + 竖直总高 = 4 + 3 = 7（m）。 7．如图，在数轴上方作直角三角形，其两条直角边长分别为 3 和 1，以原点 O 为圆心、斜边长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A 表示的数为______。 【答案】 【解析】 斜边长 = = ，即 OA = 。 点 A 在正半轴上，故点 A 表示的数为 。 8．直角三角形的两条直角边长分别为 5 和 12，则斜边上的高为______。 【答案】60/13 【解析】 斜边 = 13。用面积法：½×5×12 = ½×13×h， 解得 h = 60/13。 9．如图，在长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，将长方形沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 C′ 处，BC′ 与 AD 相交于点 E，求 AE 的长。 【答案】AE = 7/4 【解析】 由折叠可知△BC′D≌△BCD，∴ ∠EBD = ∠DBC。 ∵ AD∥BC，∴ ∠EDB = ∠DBC（内错角相等）。 ∴ ∠EBD = ∠EDB，∴ EB = ED。 设 AE = x，则 DE = BE = 8 − x。 在 Rt△ABE 中：AB² + AE² = BE²，即 36 + x² = (8−x)² = 64 − 16x + x²。 16x = 28，x = 7/4。∴ AE = 7/4。 10．如图，圆柱的底面周长为 12，高为 8。一只蚂蚁位于下底面边缘的 A 点处，B 点在上底面边缘、与 A 相对一侧的正上方。求蚂蚁沿圆柱侧面从 A 爬到 B 的最短路程。 【答案】10 【解析】 沿过 A 的母线将侧面展开为矩形：宽为底面周长 12，高为 8。 B 与 A 的水平距离为半周长 = 12÷2 = 6，竖直距离为 8。 最短路程 = = = 10。 C 级　思维拓展（第 1～10 题，每题 10 分，建议用时 30 分钟） 对标江苏八年级上学期期中/期末压轴题与新定义题：整体思想、最短路径、动点、旋转与阅读理解。 1．在 Rt△ABC 中，两直角边为 a、b，斜边为 c。若 a+b=14，c=10，则这个直角三角形的面积为______。 【答案】24 【解析】 (a+b)² = a²+b²+2ab = c²+2ab，即 196 = 100 + 2ab，ab = 48。 S = ½ab = 24。 2．如图，分别以 Rt△ABC（∠C=90°）的三边为直径向外作半圆，面积分别为 S1、S2、S3。若 S1=2π，S2=9π/2，则 S3=______。 【答案】13π/2 【解析】 直径为 d 的半圆面积 = ½·π·(d/2)² = πd²/8，与直径的平方成正比。 ∴ S1=π·AC²/8，S2=π·BC²/8，S3=π·AB²/8。 由勾股定理 AC²+BC² = AB²，∴ S3 = S1+S2 = 2π+9π/2 = 13π/2。 3．如图，长方体的长、宽、高分别为 8、4、2（单位：cm），一只蚂蚁从顶点 A 沿长方体表面爬到与 A 相对的顶点 B 处，则最短路程为______ cm。 【答案】10 【解析】 将长方体表面展开，A 到 B 的路线有三种典型情况： ① 经前面与上面： = = 2； ② 经前面与右面： = = 2； ③ 经下面与右面： = = 10。 ∵ 10 ＜ 2 ＜ 2，∴ 最短路程为 10 cm。 4．甲、乙两船同时从港口 O 出发，甲船以 16 海里/时的速度向正东方向航行，乙船以 12 海里/时的速度向正南方向航行。航行 1.5 小时后，两船相距______海里。 【答案】30 【解析】 1.5 小时后：甲向东行 16×1.5=24（海里），乙向南行 12×1.5=18（海里）。 两船方向互相垂直，距离 = = = = 30（海里）。 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8。将△ABC 沿 AD 折叠，使点 C 恰好落在斜边 AB 上的点 C′ 处（D 在 BC 边上），求 BD 的长。 【答案】BD = 5 【解析】 AB = = 10。由折叠：AC′=AC=6，DC′=DC，∠AC′D = ∠ACD = 90°。 ∴ BC′ = AB − AC′ = 10 − 6 = 4，且 ∠DC′B = 180° − 90° = 90°。 设 BD = x，则 DC = DC′ = 8 − x。 在 Rt△DC′B 中：(8−x)² + 4² = x²，64 − 16x + x² + 16 = x²，16x = 80，x = 5。 ∴ BD = 5。 6．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，AD 是 BC 边上的高。动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 BC 向点 C 运动（到达 C 停止）。设运动时间为 t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，求 t 的值。 【答案】t = 5 或 6 或 25/6 【解析】 等腰三角形底边上的中线与高重合：BD=DC=6，AD==8。 ① 当 AB=BP=10 时：BP=10，t=10÷2=5； ② 当 AB=AP=10 时：AP²=AD²+DP²，即 100=64+DP²，DP=6， 　 P 到 D 距离为 6，即 P 与 B 或 C 重合（BP=0 舍去，BP=12），t=12÷2=6； ③ 当 AP=BP 时：设 BP=x，则 DP=|x−6|，x² = 64+(x−6)² = 64+x²−12x+36， 　 12x = 100，x = 25/3，t = 25/3÷2 = 25/6。 综上：t = 5 或 6 或 25/6。 7．“赵爽弦图”（如图）由 4 个全等的直角三角形（直角边 a、b，a＞b，斜边 c）与中间一个小正方形拼成。 （1）利用这个图形证明勾股定理； （2）利用（1）中的面积关系说明：当 a+b=6 时，ab ≤ 9，并求周长为 12 的长方形面积的最大值。 【答案】（1）详见解析；（2）ab ≤ 9，最大面积 9 【解析】 （1）大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积： c² = 4×(½ab) + (a−b)² = 2ab + a² − 2ab + b² = a² + b²。 ∴ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）∵ (a−b)² ≥ 0，∴ a²+b² ≥ 2ab。 当 a+b=6 时，a²+b² = (a+b)² − 2ab = 36 − 2ab， ∴ 36 − 2ab ≥ 2ab，得 ab ≤ 9，当且仅当 a=b=3 时取等号。 ∴ 周长为 12（即 a+b=6）的长方形面积 ab 的最大值为 9。 8．【阅读材料】在线段 AB 上有两点 C、D（依次排列），若以 AC、CD、DB 为边的三条线段中，其中两条的平方和等于第三条的平方，则称 C、D 是线段 AB 的“勾股分割点”。 （1）如图①，AB=12，AC=3，CD=4，请判断 C、D 是否为线段 AB 的勾股分割点，并说明理由； （2）如图②，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D、E 在边 BC 上，且∠DAE=45°。求证：DE² = BD² + CE²。 【答案】（1）是；（2）详见解析 【解析】 （1）DB = 12 − 3 − 4 = 5。 ∵ AC²+CD² = 9+16 = 25 = DB²，∴ C、D 是线段 AB 的勾股分割点。 （2）将△ACE 绕点 A 顺时针旋转 90°，使 AC 与 AB 重合，点 E 落在点 E′ 处。 则 AE′=AE，BE′=CE，∠ABE′ = ∠ABC+∠CBE′。 由旋转可知 ∠CBE′ = 90°，而 D 在 BC 上，∴ ∠DBE′ = 90°。 ∴ DE′² = BD² + BE′² = BD² + CE²。 又 ∠DAE′ = ∠DAB + ∠BAE′ = ∠DAB + ∠CAE = ∠BAC − ∠DAE = 90° − 45° = 45° = ∠DAE。 在△ADE 与△ADE′ 中：AD=AD，∠DAE=∠DAE′，AE=AE′， ∴ △ADE ≌ △ADE′（SAS），∴ DE = DE′。 ∴ DE² = DE′² = BD² + CE²。 9．如图，某市 A 接到台风警报：台风中心位于 B 处，正沿箭头方向移动。已知 A 到台风移动路线 BF 的垂线段 AC=120 km，BC=160 km，台风中心以 20 km/h 的速度沿 BF 移动。以台风中心为圆心、150 km 为半径的圆形区域内都会受到影响。 （1）求 AB 的长； （2）该市是否会受到台风影响？若会，求该市受本次台风影响（中心在影响区域内经过）的持续时间。 【答案】（1）200 km；（2）会受影响，持续 9 小时 【解析】 （1）Rt△ABC 中（AC⊥BF 于 C）：AB = = = = 200（km）。 （2）∵ AC=120 ＜ 150，∴ 台风中心移动到 C 附近时 A 市在影响范围内，会受影响。 设台风中心到达 D 处开始影响 A 市（AD=150）， 则 CD = = = = 90（km）。 影响路段为以 C 为中心、长 2CD = 180 km 的一段。 影响时间 = 180÷20 = 9（小时）。 10．如图，一条东西走向的公路 MN 旁有一测速点 C，CD⊥MN 于 D，CD=30 m。一辆汽车沿公路由西向东行驶，经过 A 点时（A 在 D 的西侧），测得 AC=50 m；2 秒后汽车到达 B 点（B 在 D 的东侧），测得 BC=50 m。 （1）求 AB 的长； （2）该路段限速 120 km/h，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由。 【答案】（1）80 m；（2）超速 【解析】 （1）Rt△ACD 中：AD = = = = 40（m）。 同理 BD = 40 m。AB = AD+BD = 80（m）。 （2）汽车速度 = 80÷2 = 40（m/s）。 40 m/s = 40×3.6 km/h = 144 km/h ＞ 120 km/h。 ∴ 这辆汽车超速。 —— 本卷完 —— 学科网（北京）股份有限公司 $