3.3 勾股定理的简单应用同步分层练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层设计，以实际情境问题为主线，实现勾股定理从单一应用到综合探究的进阶，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|勾股定理基本应用（如梯子、最短路径）|8道选择填空+1道解答，结合“葭生池中”等经典问题，强化几何直观| |能力提升|复杂情境应用（圆柱侧面、葛藤缠绕）|5道选择填空+1道实验探究，通过动态问题（如收绳、滑块滑动）培养运算能力| |拓展创新|综合实践与证明（测量风筝、赵爽弦图）|2道综合题，融合项目式学习与定理证明，发展应用意识与创新意识|

苏科版数学八年级上册 3.3 勾股定理的简单应用 同步分层练习 一、夯实基础 1．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，AB=5，DC=1，BD=BA，则AC是（　　） A．8 B．4 C．5 D．3 2． 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（　　） A．2m B．2.4m C．2.7m D．2.8m 4． 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 (　　) m路，却踩伤了花草. A．1 B．5 C．2 D．7 5．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）． A． B． C． D． 6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形的面积是（　　） A．10 B．12 C．28 D．30 7．如图，圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到B点的最短路线长为　 　cm. 8．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A 处到达内壁B 处的最短距离为　 　cm. 9．如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了　 　米（的长）（假设绳子是直的）． 二、能力提升 10．我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高AB为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是(　　) A．20尺 B．22尺 C．25尺 D．30尺 11． 如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，则点C到AB的距离为 (　　) cm． A． B． C． D． 12．如图所示，是一块由花园小道围成的正方形绿地，AC=24米，在离C处7米的绿地旁边 B 处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B，请问沿小道从A→C→B 与从 A 沿直线到 B 相比多走了　 　米. 13．如图，在水塔O 的东北方向32m处有一座抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一个建筑工地B，在A，B间建一条直水管，则水管的长为　 　. 14．如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD：BD=1：0.5，云梯底部离地面的距离BC为2m。求云梯的顶端离地面的距离AE(结果精确到0.1m，参考数据： ≈2.24)。 15．实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）垂直，且，设． 实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 三、拓展创新 16．【综合与实践】在学习了勾股定理之后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为他们项目式学习活动的主题.小组成员利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告.请你根据活动报告，帮助同学们解决问题. 活动项目 测量风筝的垂直高度 EF. 测量工具 皮尺等. 示意图 测量方案 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，先测量放风筝的手到风筝的水平距离BD，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线的长度BF，最后测量牵线放风筝的手到地面的距离AB. 测量数据 BD=16米， BF=20米， AB=DE=1.7米， ∠BDF=90°. 问题解决 任务一 求此时风筝的垂直高度EF； 任务二 若放风筝的同学站在点A不动，想要把风筝沿DC方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即： CF=18米，点C、点F、点D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内)，则还需要放出风筝线多少米? 17．【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）【探索求证】 图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？ （3）【延伸扩展】 如图④，已知，，，，设，求的值． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】勾股定理；勾股定理的应用 【解析】【解答】解：结合条件和图中信息可知，BD=AB=5， ∴BC=BD-DC=5-1=4， 在Rt△ACB中，， 故答案为：D. 【分析】本题结合条件分析得出BD=AB=5，然后线段作差求出BC=4，最后利用勾股定理列式计算即可求出AC。 2．【答案】A 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：cm，即铅笔在笔筒里的最长长度为15cm， 当铅笔和侧壁贴着放置，并且和笔筒底面垂直的时候，此时铅笔在笔筒里的长度为12cm， ∴铅笔在笔筒里面部分的最小长度为12cm，最大长度为15cm， 18-12=6cm，18-15=3cm， ∴这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm到6cm之间， 结合选项得出，不可能是2cm， 故答案为：A。 【分析】本题结合图中信息，利用勾股定理列式计算得出铅笔在笔筒里的最长长度为15cm，然后分析出铅笔在笔筒里的最短长度为12cm，此时可以计算出这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm到6cm之间，最后结合选项即可得出答案。 3．【答案】C 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中 ∴A'B=2.5 在Rt△A'BD中 ∴BC+BD=2.7 故答案为：C 【分析】根据勾股定理，结合边之间的关系即可求出答案. 4．【答案】C 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：∵直角三角形两条直角边长分别为3m，4m， 由勾股定理，得斜边长为， 正常绕行路程：3+4=7m， 少走的路程：7-5=2m． 故答案为：C． 【分析】先根据图中直角边长度3m，4m，再根据勾股定理求出捷径斜边长度5m，最后根据“原路程3+4减去捷径长度”算出少走2m． 5．【答案】D 【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；利用平移的思想解决实际问题 【解析】【解答】解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 【分析】 首先根据勾股定理，计算出筷子在水杯中竖直放置时，留在水杯内部分的最大长度，再结合平移的知识，就能得到露在水杯外面部分的筷子长度的最小值. 6．【答案】D 【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；勾股树模型 【解析】【解答】解：如图， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 同理，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积． 故选：D 【分析】根据题意可得，正方形的面积，正方形的面积分别为，根据勾股定理，由正方形的面积可以得到正方形的面积为25，同理可以的到正方形的面积为5，再由勾股定理可得正方形的面积正方形的面积正方形的面积，即可求解． 7．【答案】5π 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长， ∵BC=4πcm，AC为底面半圆弧长，即AC==3（cm） ∴AB == 5π (cm). 故答案为：5π. 故答案为：5π. 【分析】把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，根据题意可得出BC=4πcm，AC==3（cm），进而根据勾股定理可得出AB == 5π (cm). 8．【答案】20 【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A'， 连接A'B，则A'B即为最短距离 (cm). 故答案为：20. 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A'B的长度即为所求. 9．【答案】9 【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题 【解析】【解答】在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米， ∴（米）， ∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． 故答案为：9． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的思路是分两次利用勾股定理，先求出初始时船到岸边的距离AB，再求出收绳后船到岸边的距离AD，最后通过线段差求出BD。首先在中，已知，，根据勾股定理求出AB的长度；再根据收绳速度和时间求出CD的长度为，在中，再次利用勾股定理求出AD的长度；最后由，代入数值计算即可。 10．【答案】C 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：如图所示， 在如图所示的直角三角形中， ∵BC=20尺，AC=5×3=15(尺)， ∴(尺)， 即葛藤的最短长度是25尺. 故答案为：C. 【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化为下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出. 11．【答案】A 【知识点】三角形的面积；勾股定理逆定理的实际应用 【解析】【解答】解：已知AC=24cm，CB=18cm，AB=30cm， 计算平方，得242=576，182=324，302=900， ∵576+324=900，即AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°． 设点C到AB的距离为h， ∵直角三角形面积两种表示方法相等， ∴，即24×18=30h，解得． 故答案为：A． 【分析】先根据三边长度分别计算平方，再根据勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形且∠ACB=90°，再根据直角三角形面积两种等价表达式建立等式，最后代入边长数值解方程求出高． 12．【答案】6 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB为斜边 ∴(米)， 少走的距离为：AC+BC-AB=24+7-25=6(米) 故答案为：6. 【分析】在直角△ABC中，AB为斜边，已知AC，BC，则根据勾股定理可以求斜边AB，根据少走的距离为AC+BC-AB可以求解. 13．【答案】40 【知识点】方位角；勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【解答】解：根据题意可得：OA=32，OB=24，∠AOB=90°， ∴AB=， 故答案为：40. 【分析】先结合题意可得OA=32，OB=24，∠AOB=90°，再利用勾股定理求出AB的长即可. 14．【答案】解：设，且， ∵， ∴， ∵，长为， ∴， ∴， ∴解得：， ∴， 根据题意可知， ∴， 答：云梯的顶端离地面的距离为． 【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【分析】设，即可得到，根据勾股定理求出AD长，然后根据线段的和差解答即可． 15．【答案】（1）解：在图1中， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴， 绳子长度； ​​​​​​​ （2）解：在图2中， 若物体升高，则此时， 在中，由勾股定理得， 答：滑块向左滑动的距离为． ​​​​​​​ 【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题 【解析】【分析】（1）先设，那么可得，结合勾股定理列出方程，就可以解出对应边长； （2）先根据题意求出运动后的长度，再借助勾股定理算出的长度，最终就能推导出的长度，完成解答. （1）解：在图1中， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴， 绳子长度； （2）解：在图2中， 若物体升高，则此时， 在中，由勾股定理得， 答：滑块向左滑动的距离为． 16．【答案】解：任务一：由题意得， AB=DE=1.7米，在 Rt△BDF中，由勾股定理得 ∴EF=DF+DE=12+1.7=13.7(米). 答：此时风筝的垂直高度EF为13.7米. 任务二：由题意得， CD=CF+DF=12+18=30米，在 Rt△BCD中，由勾股定理得 ∴BC-BF=34-20=14(米)， 答：还需放出风筝线14米 【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用. （1）解题关键是将实际问题转化为几何图形，在直角三角形BDF中利用勾股定理求出DF的长度，结合已知条件DE=1.7，求出总高度EF； （2）由已知CF的长度，结合第（1）问求出的DF长度，得到CD的长度，再次利用勾股定理在Rt△BCD求出斜边BC的长度，最后作差求出还需要放出风筝线的长度. 17．【答案】（1）解：如图②所示： ，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：设， ， ， ，， ， ，即， ， 新路比原路少； （3），，，，， ，， ， ． 【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型 【解析】【分析】（1）计算梯形ABCD的面积，一方面根据梯形面积公式计算，另一方面根据三角形的面积公式计算三个直角三角形面积之和，然后根据梯形面积等于三个直角三角形面积建立等式，化简后得到勾股定理的表达式； ‌（2）设AB=AC=x，则AH=x-1.8km，在Rt△ACH中利用AB=AC以及勾股定理建立方程，求出x的值，进而得到AC的值，最后计算出CA−CH的值； ‌（3）分别在Rt△ACD和Rt△BCD中根据勾股定理表示出CD2，然后建立关于x的方程，求解得到x的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版数学八年级上册 3.3 勾股定理的简单应用 同步分层练习 一、夯实基础 1．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，AB=5，DC=1，BD=BA，则AC是（　　） A．8 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【知识点】勾股定理；勾股定理的应用 【解析】【解答】解：结合条件和图中信息可知，BD=AB=5， ∴BC=BD-DC=5-1=4， 在Rt△ACB中，， 故答案为：D. 【分析】本题结合条件分析得出BD=AB=5，然后线段作差求出BC=4，最后利用勾股定理列式计算即可求出AC。 2． 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：cm，即铅笔在笔筒里的最长长度为15cm， 当铅笔和侧壁贴着放置，并且和笔筒底面垂直的时候，此时铅笔在笔筒里的长度为12cm， ∴铅笔在笔筒里面部分的最小长度为12cm，最大长度为15cm， 18-12=6cm，18-15=3cm， ∴这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm到6cm之间， 结合选项得出，不可能是2cm， 故答案为：A。 【分析】本题结合图中信息，利用勾股定理列式计算得出铅笔在笔筒里的最长长度为15cm，然后分析出铅笔在笔筒里的最短长度为12cm，此时可以计算出这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm到6cm之间，最后结合选项即可得出答案。 3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（　　） A．2m B．2.4m C．2.7m D．2.8m 【答案】C 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中 ∴A'B=2.5 在Rt△A'BD中 ∴BC+BD=2.7 故答案为：C 【分析】根据勾股定理，结合边之间的关系即可求出答案. 4． 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 (　　) m路，却踩伤了花草. A．1 B．5 C．2 D．7 【答案】C 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：∵直角三角形两条直角边长分别为3m，4m， 由勾股定理，得斜边长为， 正常绕行路程：3+4=7m， 少走的路程：7-5=2m． 故答案为：C． 【分析】先根据图中直角边长度3m，4m，再根据勾股定理求出捷径斜边长度5m，最后根据“原路程3+4减去捷径长度”算出少走2m． 5．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；利用平移的思想解决实际问题 【解析】【解答】解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 【分析】 首先根据勾股定理，计算出筷子在水杯中竖直放置时，留在水杯内部分的最大长度，再结合平移的知识，就能得到露在水杯外面部分的筷子长度的最小值. 6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形的面积是（　　） A．10 B．12 C．28 D．30 【答案】D 【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；勾股树模型 【解析】【解答】解：如图， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 同理，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积． 故选：D 【分析】根据题意可得，正方形的面积，正方形的面积分别为，根据勾股定理，由正方形的面积可以得到正方形的面积为25，同理可以的到正方形的面积为5，再由勾股定理可得正方形的面积正方形的面积正方形的面积，即可求解． 7．如图，圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到B点的最短路线长为　 　cm. 【答案】5π 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长， ∵BC=4πcm，AC为底面半圆弧长，即AC==3（cm） ∴AB == 5π (cm). 故答案为：5π. 故答案为：5π. 【分析】把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，根据题意可得出BC=4πcm，AC==3（cm），进而根据勾股定理可得出AB == 5π (cm). 8．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A 处到达内壁B 处的最短距离为　 　cm. 【答案】20 【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A'， 连接A'B，则A'B即为最短距离 (cm). 故答案为：20. 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A'B的长度即为所求. 9．如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了　 　米（的长）（假设绳子是直的）． 【答案】9 【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题 【解析】【解答】在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米， ∴（米）， ∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． 故答案为：9． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的思路是分两次利用勾股定理，先求出初始时船到岸边的距离AB，再求出收绳后船到岸边的距离AD，最后通过线段差求出BD。首先在中，已知，，根据勾股定理求出AB的长度；再根据收绳速度和时间求出CD的长度为，在中，再次利用勾股定理求出AD的长度；最后由，代入数值计算即可。 二、能力提升 10．我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高AB为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是(　　) A．20尺 B．22尺 C．25尺 D．30尺 【答案】C 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题 【解析】【解答】解：如图所示， 在如图所示的直角三角形中， ∵BC=20尺，AC=5×3=15(尺)， ∴(尺)， 即葛藤的最短长度是25尺. 故答案为：C. 【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化为下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出. 11． 如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，则点C到AB的距离为 (　　) cm． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的面积；勾股定理逆定理的实际应用 【解析】【解答】解：已知AC=24cm，CB=18cm，AB=30cm， 计算平方，得242=576，182=324，302=900， ∵576+324=900，即AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°． 设点C到AB的距离为h， ∵直角三角形面积两种表示方法相等， ∴，即24×18=30h，解得． 故答案为：A． 【分析】先根据三边长度分别计算平方，再根据勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形且∠ACB=90°，再根据直角三角形面积两种等价表达式建立等式，最后代入边长数值解方程求出高． 12．如图所示，是一块由花园小道围成的正方形绿地，AC=24米，在离C处7米的绿地旁边 B 处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B，请问沿小道从A→C→B 与从 A 沿直线到 B 相比多走了　 　米. 【答案】6 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB为斜边 ∴(米)， 少走的距离为：AC+BC-AB=24+7-25=6(米) 故答案为：6. 【分析】在直角△ABC中，AB为斜边，已知AC，BC，则根据勾股定理可以求斜边AB，根据少走的距离为AC+BC-AB可以求解. 13．如图，在水塔O 的东北方向32m处有一座抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一个建筑工地B，在A，B间建一条直水管，则水管的长为　 　. 【答案】40 【知识点】方位角；勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【解答】解：根据题意可得：OA=32，OB=24，∠AOB=90°， ∴AB=， 故答案为：40. 【分析】先结合题意可得OA=32，OB=24，∠AOB=90°，再利用勾股定理求出AB的长即可. 14．如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD：BD=1：0.5，云梯底部离地面的距离BC为2m。求云梯的顶端离地面的距离AE(结果精确到0.1m，参考数据： ≈2.24)。 【答案】解：设，且， ∵， ∴， ∵，长为， ∴， ∴， ∴解得：， ∴， 根据题意可知， ∴， 答：云梯的顶端离地面的距离为． 【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【分析】设，即可得到，根据勾股定理求出AD长，然后根据线段的和差解答即可． 15．实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）垂直，且，设． 实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1）解：在图1中， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴， 绳子长度； ​​​​​​​ （2）解：在图2中， 若物体升高，则此时， 在中，由勾股定理得， 答：滑块向左滑动的距离为． ​​​​​​​ 【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题 【解析】【分析】（1）先设，那么可得，结合勾股定理列出方程，就可以解出对应边长； （2）先根据题意求出运动后的长度，再借助勾股定理算出的长度，最终就能推导出的长度，完成解答. （1）解：在图1中， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴， 绳子长度； （2）解：在图2中， 若物体升高，则此时， 在中，由勾股定理得， 答：滑块向左滑动的距离为． 三、拓展创新 16．【综合与实践】在学习了勾股定理之后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为他们项目式学习活动的主题.小组成员利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告.请你根据活动报告，帮助同学们解决问题. 活动项目 测量风筝的垂直高度 EF. 测量工具 皮尺等. 示意图 测量方案 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，先测量放风筝的手到风筝的水平距离BD，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线的长度BF，最后测量牵线放风筝的手到地面的距离AB. 测量数据 BD=16米， BF=20米， AB=DE=1.7米， ∠BDF=90°. 问题解决 任务一 求此时风筝的垂直高度EF； 任务二 若放风筝的同学站在点A不动，想要把风筝沿DC方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即： CF=18米，点C、点F、点D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内)，则还需要放出风筝线多少米? 【答案】解：任务一：由题意得， AB=DE=1.7米，在 Rt△BDF中，由勾股定理得 ∴EF=DF+DE=12+1.7=13.7(米). 答：此时风筝的垂直高度EF为13.7米. 任务二：由题意得， CD=CF+DF=12+18=30米，在 Rt△BCD中，由勾股定理得 ∴BC-BF=34-20=14(米)， 答：还需放出风筝线14米 【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用. （1）解题关键是将实际问题转化为几何图形，在直角三角形BDF中利用勾股定理求出DF的长度，结合已知条件DE=1.7，求出总高度EF； （2）由已知CF的长度，结合第（1）问求出的DF长度，得到CD的长度，再次利用勾股定理在Rt△BCD求出斜边BC的长度，最后作差求出还需要放出风筝线的长度. 17．【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）【探索求证】 图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？ （3）【延伸扩展】 如图④，已知，，，，设，求的值． 【答案】（1）解：如图②所示： ，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：设， ， ， ，， ， ，即， ， 新路比原路少； （3），，，，， ，， ， ． 【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型 【解析】【分析】（1）计算梯形ABCD的面积，一方面根据梯形面积公式计算，另一方面根据三角形的面积公式计算三个直角三角形面积之和，然后根据梯形面积等于三个直角三角形面积建立等式，化简后得到勾股定理的表达式； ‌（2）设AB=AC=x，则AH=x-1.8km，在Rt△ACH中利用AB=AC以及勾股定理建立方程，求出x的值，进而得到AC的值，最后计算出CA−CH的值； ‌（3）分别在Rt△ACD和Rt△BCD中根据勾股定理表示出CD2，然后建立关于x的方程，求解得到x的值。 学科网（北京）股份有限公司 $