精品解析：重庆市渝高中学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

重庆市渝高中学教育集团2026-2027学年（上） 九年级第一学月教育质量监测 数学试题卷 （全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：，自变量最高次数为1，不符合； B选项：，自变量最高次数为1，不符合； C选项：，右边含分式，不是整式，不符合； D选项：，符合二次函数定义． 2. 下列对于二次函数的叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 函数有最大值为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：由二次函数可知，，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴选项错误，选项正确； ∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值， ∴选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴选项错误． 3. 在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对称点与已知点纵坐标相等，只需根据到直线的距离相等计算横坐标，即可获得答案． 【详解】解：设点关于直线的对称点的横坐标为， ∵关于直线对称的两点纵坐标相等， ∴对称点的纵坐标为， ∵两点到直线的距离相等， ∴，解得， ∴对称点坐标为． 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式可得k≠0且Δ，解之得出k的范围． 【详解】解：，，， △， 解得：， 是二次项系数不能为0，， 即且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程a＋bx＋c＝0（a≠0），则有−4ac≥0⇔方程有两实根，−4ac＞0⇔方程有两不等实根，−4ac＝0⇔方程有两相等实根，−4ac＜0⇔方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．解题关键是掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义． 5. 二次函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数及一次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由与可知，两函数图象与轴的交点为同一点，  ∴选项不符； ∵选项中抛物线开口向下，  ∴， ∴直线从左到右下降， ∴选项符合； ∵选项中抛物线开口向上， ∴， ∴直线从左到右上升， ∴选项不符． 6. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位， ∴解析式变为； ∵再向上平移1个单位， ∴解析式变为 故选：B． 7. 二次函数与x轴的交点有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数． 【详解】解：在中，，，． ． ∵， ∴该二次函数与轴有2个交点． 8. 某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据病毒传播过程，初始感染台数加上每轮新增感染台数，两轮后总感染台数为147，列方程求解即可． 【详解】解：∵初始感染服务器数为3台， 第一轮传播中，每台感染x台，新增感染数为台，第一轮后总感染数为台， 第二轮传播中，有台服务器，每台感染x台，新增感染数为台， ∴两轮后总感染数为． 故选：A． 9. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于x的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】解：点，是与的图象交点， 所以：的解是，． 10. 如图，二次函数的图像经过点，对称轴为直线，下列结论： ①；②；③；④；⑤；⑥（m为任意实数）；⑦点，，在图像上，则．其中正确结论的个数是（） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像开口方向、对称轴、与坐标轴交点位置确定的符号及关系；利用对称轴公式判断；利用时的函数值判断；利用二次函数最值性质判断不等式；利用二次函数增减性或对称性比较函数值大小． 【详解】解：由图像可知，抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故③正确； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵抛物线经过点， ∴， 把代入，得，故⑤错误； ∵对称轴为直线，抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，，即，故④错误； ∵当时，函数取得最小值， ∴对于任意实数m，有，即，故⑥正确； ∵点在图像上， ∴点A到对称轴距离为3，点B、C到对称轴距离均为1， ∵， ∴，故⑦正确． 综上所述，正确的结论有②③⑥⑦，共4个． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的根是_____________． 【答案】±2 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：∵x2=4， ∴x=±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 11 2 2 11 … 则抛物线的对称轴为___________； 【答案】 直线 【解析】 【分析】从表格中找到纵坐标相等的两个点，利用抛物线的对称性即可求出对称轴． 【详解】解：∵当时，，当时，，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 13. 一元二次方程有一个根为3，则另一个根为___________. 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系可直接计算另一个根． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，，已知其中， ∵一元二次方程的两根之和为， ∴， 代入得， 解得， 即方程的另一个根为． 14. 在二次函数中，当时，的取值范围是___________； 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数配方得到顶点式，确定对称轴和最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值，即可确定的取值范围． 【详解】解：对二次函数配方得， 二次项系数为，函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最小值， 分别计算区间端点的函数值： 当时，； 当时，， ∵， ∴的最大值为， 因此的取值范围是． 15. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建两条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽度为，则可列方程___________； 【答案】 【解析】 【分析】利用平移法，将图中曲折的小路分别平移到矩形的边上，使草坪部分合并为一个完整的矩形，从而确定草坪的长和宽． 【详解】解：设道路的宽度为，利用平移的性质，将横向小路向下平移，纵向小路向右平移． 此时草坪合并为一个矩形，其长为，宽为， 则根据矩形的面积可列方程：． 16. 如图，矩形，，．点在边上（不与、重合），过点作，且，落在矩形内部，连接，当___________时，有最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图：过点M作于点E，过点M作于点F．构造全等三角形，设，用x的长表示和，进而表示出点M到和的距离，利用勾股定理建立与的函数关系，结合M在矩形内部确定自变量取值范围，最后利用二次函数性质求解即可． 【详解】解：如图：过点M作于点E，过点M作于点F． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵点在边上，设，， ∴， ∴， ∵点M在矩形内部， ∴点E在点A右侧， ∴，即 ， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最小值 此时 ， ∴，即当时，有最小值2． 三、解答题（本大题7个小题，17、18题各8分，其余小题各10分，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） ，. （2） ，. 【解析】 【分析】（1）移项后提取公因式，用因式分解法即可求解； （2）利用一元二次方程求根公式，先计算判别式，再代入求解． 【小问1详解】 解：， ， ，  或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率 （2）预计该商场七月份投入资金将达到万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． 【小问1详解】 解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； 【小问2详解】 解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 19. 化简求值，其中x满足 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 解，得，， 当分式有意义时，，，即且． 因此， 将代入，得． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，则可得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由（1）得， ∴． 21. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，使的面积最大，并求出最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）， （2），点的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，然后化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 化简得， 解得， ∴， ∴， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时，， ∴当面积最大时，点的坐标为． 22. 某文具店销售一款笔记本，已知该笔记本的进价为每本4元．经市场调查发现：当售价为每本10元时，每天可卖出200本；如果售价每降低1元，每天的销售量就增加50本．设每本笔记本的售价降低x元（），每天的销售利润为y元． （1）求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）为回馈顾客，店家规定每本笔记本的售价不高于7元，求每天的最大销售利润． 【答案】（1）与的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）当售价定为9元时，每天的销售利润最大，最大利润是1250元． （3）每天的最大销售利润为1050元． 【解析】 【分析】（1）根据总利润、单本利润、销售量的数量关系列函数式，再结合实际意义确定自变量取值范围即可； （2）将二次函数配方为顶点式，结合开口方向与自变量范围求最值即可； （3）根据售价限制确定x的取值范围，利用二次函数的增减性求对应区间的最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意得，每本笔记本的利润为元，每天的销售量为本． ， ∴与的函数关系式为， ∵售价不低于进价，且， ∴， 解得， ∴自变量x的取值范围是． 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴当时，y取得最大值，最大值为1250， 此时售价为（元）． 答：当售价定为9元时，每天的销售利润最大，最大利润是1250元． 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得：， ∵， ∴， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为． 答：每天的最大销售利润为1050元． 23. 如图，为正方形中边上一点，，．动点，同时从点出发，以相同的速度分别沿，向点，点移动，连接，，．设点运动的路程为，的面积为，的面积为． （1）分别写出，关于的函数解析式及的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2）列表： ，的函数图象如下： 的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，由题意得，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数的图象，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， 由题意得， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数图象知，当时，的取值范围为． 24. 如图，小明在平地向上抛掷一个小球，小球的运动路线是抛物线．以小球抛出点在地面的投影为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系．已知小球抛出时的高度为，抛出后水平前进时，达到最大高度．设小球运动的水平距离为（单位：），竖直高度为（单位：）． （1）求小球运动轨迹对应的二次函数解析式； （2）小球抛出后，水平前进多少米时，高度恰好为？ （3）小明前方1米处停了一辆长3米，高2米的大货车（车头方向为轴正方向）；小球能否越过大货车安全落地？ 【答案】（1） （2）小球抛出后水平前进1米和3米时，高度恰好为； （3）小球不能越过大货车安全落地． 【解析】 【分析】（1）根据题意设二次函数的顶点式，进而将代入求解即可； （2）将代入解析式求解即可； （3）由题意，小明在原点位置，前方1米是车头，货车长3米，因此货车占据的水平范围是到的区间，货车高度为2米，需验证该区间内小球的最小高度是否大于2米即可． 【小问1详解】 解：∵抛出后水平前进时，达到最大高度， ∴设二次函数的顶点式为：， 将代入得， 解得：， 即； 【小问2详解】 解：将代入解析式得， 解得：，， ∴小球抛出后水平前进1米和3米时，高度恰好为； 【小问3详解】 解：∵小明前方1米处停了一辆长3米，高2米的大货车， ∴货车占据的水平范围是到的区间， ∵， ∴当时，y有最大值， 当时，， 当时，， ∴当时，，存在的情况， 即小球不能越过大货车安全落地． 25. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点， （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问中的点，得到新抛物线．点为新抛物线上的动点，连接、，若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，点D的坐标为 （3）点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法将点B坐标代入即可求得b的值，从而得到抛物线表达式； （2）先求出直线的解析式，再求出点A的坐标，由，得到直线的解析式，设，则，得出的表达式，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P，利用平移的性质，平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质得出面积的表达式，当时，面积有最大值即可求出，最终可得到点D的坐标； （3）先求出平移后的抛物线解析式，点M是新抛物线上的动点，且，此时点M分情况讨论：点M在点D左侧，点M在点D右侧，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和勾股定理等即可求得点M的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线经过原点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线与x轴交原点和点A， ∴， 解得：，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴，点E在直线上，点D在抛物线上， 设，则， ∴， 如图，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为，点D的坐标为． 【小问3详解】 解：设原拋物线向右平移m个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线解析式过点， ∴， 解得：，（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵点M是新抛物线上的动点，且， 此时点M分情况讨论： ①当点M在点D左侧时， ∵点O为原抛物线与x轴交点， 要使，则点M为新抛物线与x轴交点，即点， ∴， 令，则， ∴，（舍去）， ∴； ②当点M在点D右侧时， 如图，作，交新抛物线于点，过点D作轴交x轴于点Q，过点D作交于点N，连接交于点T，过点N作轴交x轴于点R， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，解得：， 即， 在中，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市渝高中学教育集团2026-2027学年（上） 九年级第一学月教育质量监测 数学试题卷 （全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列对于二次函数的叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 函数有最大值为 D. 当时，随的增大而增大 3. 在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 二次函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数与x轴的交点有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法判断 8. 某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 9. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于x的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，二次函数的图像经过点，对称轴为直线，下列结论： ①；②；③；④；⑤；⑥（m为任意实数）；⑦点，，在图像上，则．其中正确结论的个数是（） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的根是_____________． 12. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 11 2 2 11 … 则抛物线的对称轴为___________； 13. 一元二次方程有一个根为3，则另一个根为___________. 14. 在二次函数中，当时，的取值范围是___________； 15. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建两条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽度为，则可列方程___________； 16. 如图，矩形，，．点在边上（不与、重合），过点作，且，落在矩形内部，连接，当___________时，有最小值为___________． 三、解答题（本大题7个小题，17、18题各8分，其余小题各10分，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）； 18. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 19. 化简求值，其中x满足 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 21. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，使的面积最大，并求出最大值及此时点的坐标． 22. 某文具店销售一款笔记本，已知该笔记本的进价为每本4元．经市场调查发现：当售价为每本10元时，每天可卖出200本；如果售价每降低1元，每天的销售量就增加50本．设每本笔记本的售价降低x元（），每天的销售利润为y元． （1）求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）为回馈顾客，店家规定每本笔记本的售价不高于7元，求每天的最大销售利润． 23. 如图，为正方形中边上一点，，．动点，同时从点出发，以相同的速度分别沿，向点，点移动，连接，，．设点运动的路程为，的面积为，的面积为． （1）分别写出，关于的函数解析式及的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 24. 如图，小明在平地向上抛掷一个小球，小球的运动路线是抛物线．以小球抛出点在地面的投影为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系．已知小球抛出时的高度为，抛出后水平前进时，达到最大高度．设小球运动的水平距离为（单位：），竖直高度为（单位：）． （1）求小球运动轨迹对应的二次函数解析式； （2）小球抛出后，水平前进多少米时，高度恰好为？ （3）小明前方1米处停了一辆长3米，高2米的大货车（车头方向为轴正方向）；小球能否越过大货车安全落地？ 25. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点， （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问中的点，得到新抛物线．点为新抛物线上的动点，连接、，若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $