精品解析：黑龙江省哈尔滨市博雅中学2026-2027学年度上学期10月学业水平测试九年级数学试卷

博雅中学2026-2027学年度上学期10月学业水平测试 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由七个相同的小正方体堆成的物体，这个物体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 被称为“地球之顶”的珠穆朗玛峰是世界上海拔最高的山峰，位于喜马拉雅山脉海拔8848.86米，将8848.86用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 6. 雨后初晴，小雅在运动场上运动，从她前面远的一块小积水处看到旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为，小雅的眼睛距地面高度是，那么旗杆的高度应是（ ） A. B. C. 21m D. 7. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x 个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，．用直尺和圆规作图并保留作图痕迹，依据现有条件，得出的等腰三角形个数（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在 中， D、E 分别是边 、上点，连接 ，且，点 F 为 边上一点，连接 交 于点 G，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形的边上有一点，连接，点从点出发沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_______． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 13. 计算__________． 14. 在关于的方程中，是方程的解，则___________． 15. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点的读数分别为，则的大小为___________． 16. 已知方程的两个根为，，则___________． 17. 半径为5cm的圆中，若扇形面积为，则它的圆心角为________________． 18. 阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 19. 在矩形中，平分交直线于点若，连接，则的值___________． 20. 如图，内接于，点D是的中点，，垂足为点，连接．有下列4个结论：①．②平分．③．④若，则．其中正确的结论有___________．（填写所有正确结论的序号） 三、简答题（21-22题7分，23-24题8分，25-27题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，网格中的顶点都在格点上， （1）请利用无刻度直尺作出中边上的中线． （2）请利用无刻度直尺作出以为腰的等腰使得的正切值为2， （3）请直接写出等腰的面积为___________． 23. 如图，在中，，垂足为，， （1）求的度数； （2）如果，求弦的长度． 24. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数据，） 25. 博雅中学将举行秋季校运动会活动，准备从商场一次性购买若干枚银牌和金牌．每枚银牌的价格都相同，每枚金牌的价格也相同．已知金牌的单价比银牌单价的倍少元，用元购买银牌的数量和用元购买金牌数量相同． （1）银牌和金牌的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买银牌和金牌共枚，但要求金牌的数量不少于银牌数量的，求购买多少枚金牌时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 26. 如图，内接于，弦交于点，连接， （1）如图1，求证：； （2）如图2，直径于点，分别交于点，求证：为等腰三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，点在弧上，连接，且，延长交于点，作于点，当时，求的半径长． 27. 如图，直线交轴于点A，交轴于点B，点C在轴上，且． （1）求直线的解析式． （2）动点从点B出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向C运动，点从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动．若同时出发，运动的时间为秒，过点作交于点，连接，求的面积与之间的函数关系． （3）在（2）的条件下如图所示，连接，过点作于点，作于点，连接，，求此时的值？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博雅中学2026-2027学年度上学期10月学业水平测试 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 2. 如图是由七个相同的小正方体堆成的物体，这个物体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看，下面一行第1列只有1个正方形，上面一行横排3个正方形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法则法、同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方是解决本题的关键．根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方解决此题． 【详解】解：A．根据同底数幂的乘法，，那么A错误，故A不符合题意． B．根据同底数幂的除法，，那么B错误，故B不符合题意． C．根据合并同类项法则，，那么C错误，故C不符合题意． D．根据幂的乘方，，那么D正确，故D符合题意． 故选：D． 4. 被称为“地球之顶”的珠穆朗玛峰是世界上海拔最高的山峰，位于喜马拉雅山脉海拔8848.86米，将8848.86用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 5. 在中，，，，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，根据勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 6. 雨后初晴，小雅在运动场上运动，从她前面远的一块小积水处看到旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为，小雅的眼睛距地面高度是，那么旗杆的高度应是（ ） A. B. C. 21m D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造相似三角形，利用对应边成比例求解． 【详解】解：设积水处为点，旗杆底端为，顶端为，小雅脚的位置为，眼睛位置为． ∵ ，， ∴ ． 由光的反射原理得， ∴ ， ∴ ． 代入，，， 得， 解得， ∴旗杆的高度应是． 7. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x 个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为： ， 故选：A． 8. 如图所示，．用直尺和圆规作图并保留作图痕迹，依据现有条件，得出的等腰三角形个数（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由作图痕迹可知：平分，，然后结合等腰三角形的判定以及三角形的内角和定理以及外角定理求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知：平分， ∵， ， ， ∴是等腰三角形 以为圆心，为半径画弧交于， ， ∴是等腰三角形 ∴． ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∵ ∴ ∴为等腰三角形， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴为等腰三角形， ∴等腰三角形有5个． 9. 如图，在 中， D、E 分别是边 、上点，连接 ，且，点 F 为 边上一点，连接 交 于点 G，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定及性质逐一判断即可求解． 【详解】解：A、， ， ，故A选项错误，不符合题意； B、， ， ，故B选项错误，不符合题意； C、， ， ，故C选项正确，符合题意； D、， ， ，故D选项错误，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 10. 如图1，在矩形的边上有一点，连接，点从点出发沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图象可知，当时，点运动到点，此时面积最大；当点运动到点时，面积为． 【详解】解：由图象可知，当时，取得最大值，此时点与点重合， ， ， ， 解得， 当点运动到点时，， ， 即， 解得， 四边形是矩形， ， ． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即分母不为0，即可求解． 【详解】解：∵ 分式有意义时，分母不能等于， ∴ ， 解得． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键；先提公因式，再根据平方差分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式得出答案． 【详解】解：原式=2-3=-． 故答案为：-． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 14. 在关于的方程中，是方程的解，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程，得 整理得 解得． 15. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点的读数分别为，则的大小为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用量角器读数差求出圆心角度数，再根据圆周角定理计算圆周角度数． 【详解】解：设量角器的中心为，连接， ∵ 点、的读数分别为、 ∴ ∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角 ∴． 16. 已知方程的两个根为，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程的两个根为，， ∴，， ∴． 17. 半径为5cm的圆中，若扇形面积为，则它的圆心角为________________． 【答案】120° 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可得出答案． 【详解】根据题意可知该扇形的半径为5cm， ∴由扇形的面积公式可知，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积公式．掌握扇形的面积公式为是解答本题的关键． 18. 阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题干给出的例子归纳得到，代入已知的值，结合即可求出结果． 【详解】解：由题干给出的例子可归纳得：任意锐角满足 ∵， ∴． 19. 在矩形中，平分交直线于点若，连接，则的值___________． 【答案】或 【解析】 【分析】点在直线上，分两种情况讨论，结合矩形性质和角平分线性质得到，再根据锐角三角函数定义计算结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在边上时，如图1： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，； 当点在的延长线上时，如图2： 同理可得， ∵， ∴， 在中，； 综上，的值为或． 20. 如图，内接于，点D是的中点，，垂足为点，连接．有下列4个结论：①．②平分．③．④若，则．其中正确的结论有___________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由点是的中点可得，结合圆周角定理可判断①；在上截取，连接，作交的延长线于点，通过构造全等三角形可证，进而判断③；利用勾股定理及平方差公式结合③的结论可判断④；根据弧与角的关系判断②． 【详解】解：∵点是的中点 ∴ ∵所对的弧是，所对的弧是 ∴，故①正确； ∵所对的弧是，所对的弧是，而与不一定相等 ∴不一定平分，故②错误； 在上截取，连接，作交的延长线于点 ∵是的中点 ∴ ∴， 在和中 ∴ ∴， 在和中 ∴ ∴ ∴，故③正确； 在和中，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵，（由③得） ∴，故④正确 综上所述，正确的结论有①③④． 三、简答题（21-22题7分，23-24题8分，25-27题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； ． 【解析】 【分析】分式的混合运算，先做括号里面的，然后再做除法进行化简，然后化简锐角三角形函数求得x的值，代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式 【点睛】本题考查分式的混合运算以及锐角三角函数，掌握运算法则和顺序正确计算是解题关键． 22. 如图，网格中的顶点都在格点上， （1）请利用无刻度直尺作出中边上的中线． （2）请利用无刻度直尺作出以为腰的等腰使得的正切值为2， （3）请直接写出等腰的面积为___________． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）结合网格取的中点，再连接即可得； （2）结合网格取点，使得，再连接即可得；验证：取的中点，则,，进而可得，则，符合题意； （3）求出，的长，由此即可得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：由（2）可知，，，， 则等腰的面积为． 23. 如图，在中，，垂足为，， （1）求的度数； （2）如果，求弦的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先得出，则，再根据圆周角定理求解即可； （2）先得出，再求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 24. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数据，） 【答案】这栋楼的高度约为 【解析】 【分析】先解直角三角形求出，的长，再根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，， ∴在中，， 在中，， ∴， 答：这栋楼的高度约为． 25. 博雅中学将举行秋季校运动会活动，准备从商场一次性购买若干枚银牌和金牌．每枚银牌的价格都相同，每枚金牌的价格也相同．已知金牌的单价比银牌单价的倍少元，用元购买银牌的数量和用元购买金牌数量相同． （1）银牌和金牌的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买银牌和金牌共枚，但要求金牌的数量不少于银牌数量的，求购买多少枚金牌时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 【答案】（1）银牌单价为元，金牌单价为元 （2）购买枚金牌时总购买费用最小，最小总费用为元 【解析】 【分析】（1）以两种奖牌购买数量相等为等量关系列分式方程，求解单价； （2）先根据奖牌数量的约束条件确定金牌数量的取值范围，再结合总费用的变化规律求最小值． 【小问1详解】 解：设银牌的价格为，则金牌的价格为元， 根据题意可得，，即， 解得， 当时，， 则是原分式方程的解， 此时， 故银牌的价格为元，金牌的价格为元． 【小问2详解】 解：设购买枚金牌，总费用为，则购买银牌枚， 根据题意可得，， 解得， 购买银牌和金牌共枚， 则， 总费用为， ，随的增加而增加， 则当时，取得最小值， 最小的购买总费用为元， 故购买枚金牌时总购买费用最小，最小总费用为元． 26. 如图，内接于，弦交于点，连接， （1）如图1，求证：； （2）如图2，直径于点，分别交于点，求证：为等腰三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，点在弧上，连接，且，延长交于点，作于点，当时，求的半径长． 【答案】（1）证明：∵ 、 是同弧 所对的圆周角， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 、 是同弧 所对的圆周角， ∴ ． ∵ 点 在线段 与 上， ∴ ，． ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）证明：∵ 是直径， 于点 ，点 在直线 上， ∴ ， ∴ 在 中，． ∵ 点 、、 共线，点 、、 共线， ∴ ． ∵ 、 是同弧 所对的圆周角， ∴ ． ∵ ，而 ， ∴ ． ∵ 点 在线段 上，点 在线段 上， ∴ ． ∴ ， ∴ ，即 为等腰三角形． （3） 的半径为 ． 【解析】 【分析】（1）设 ，由同弧所对的圆周角相等把 化为 ，再在 中用三角形内角和求 ； （2）由 得直角三角形，把 化为 ；再由同弧 所对的圆周角相等把 也化为 ，从而得等腰三角形； （3）连接，先由 得 ，再由 与 得 ，从而 ；用“AAS”证 ，得 ；再由 把 与 都化为 ，得 ，于是 ；最后与 联立求 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵ 是直径且 于点 ，而 、 都在直线 上， ∴ 、 都在直径 所在直线上， 在 、 之间，． 设 ， 的半径为 ． 由（1）知 ，由（2）知 ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ 于点 ， 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ 是直径， ∴ ， ∴ 在 中，． ∵ 、 是同弧 所对的圆周角， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，即 ， ∴ ． 在 与 中， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ，． ∵ 、 是同弧 所对的圆周角， ∴ ， ∵ 是直径， ∴ 在 中，， ∵ 点 在线段 上，点 在线段 上， ∴ ． ∵ 点 、、 共线， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 、、 共线，且 在 、 之间， ∴ ． 在 中，， ∴ ． ∴ ， ∴ ． ∵ 点 在线段 上， ∴ ． ∵ 、、 共线，且 在 、 之间， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 在 中，，， ∴ ， ∴ ，解得 或 ． ∵ ， ∴ 不合题意，舍去， ∴ 的半径为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理；解题关键是全篇不引入弧的度数，把每个圆周角都用“同弧所对的圆周角相等”换成另一个角，于是 把已知条件 化成 ，第一问在 中凑出直角、第二问凑出等腰；第三问设 、半径为 ，先由等腰得 ，再由 得 ，用等腰三角形的底角把 化为 ，从而 ，用“AAS”证 得 ，又由 得 ，于是 ，最后与 联立求出 ． 27. 如图，直线交轴于点A，交轴于点B，点C在轴上，且． （1）求直线的解析式． （2）动点从点B出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向C运动，点从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动．若同时出发，运动的时间为秒，过点作交于点，连接，求的面积与之间的函数关系． （3）在（2）的条件下如图所示，连接，过点作于点，作于点，连接，，求此时的值？ 【答案】（1）． （2），即当 时 ；当 时 ． （3）． 【解析】 【分析】（1）先由 求 、 的坐标，由 确定点 的坐标，再用待定系数法求直线 的解析式； （2）用 表示 、，由 用相似求 、，得 ，再用面积法求点 到 的距离，从而表示 的面积； （3）由 、 得 、、、 四点共圆，得 ；把 转化为 的平分线 与 的夹角，延长 、 交于点 ，用同位角相等得 ；再用角平分线的性质与面积法求出 的坐标、写出 的解析式，由 及点 、 的坐标列方程求 ． 【小问1详解】 解：∵ 直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ， ∴ ，，∴ ，． ∵ 点 在 轴上，且 ，设 ， ∴ 且 ， ∴ ，∴ ． 设直线 的解析式为 ， 把 、 代入，得 ， 解得 ，， ∴ 直线 的解析式为 ． 【小问2详解】 解：∵ 点 从点 沿 以每秒 个单位向 运动，点 从点 沿 以每秒 个单位向 运动， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ，∴ ． ∴ ． 设点 到 的距离为 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 即当 时，； 当 时，． 【小问3详解】 解：∵ 于点 ， 于点 ， ∴ ， ∴ 点 、、、 在以 为直径的圆上， ∴ ． 设 平分 ，交 轴于点 ， 则 ． ∵ ， ∴ ． 延长 、 交于点 ，则点 在线段 上． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ 平分 ，且点 、 在 轴上， ∴ 点 到 的距离等于它到 的距离，即等于 ． 设 ，则 ， 即 ， 又 ， 即 ， ∴ ，解得 ， ∴ ． 设直线 的解析式为 ， 把 代入，得 ， ∴ 直线 的解析式为 ． ∵ ， ∴ 可设直线 的解析式为 ． ∵ 在直线 上， ∴ ， ∴ ． ∵ 点 在 上，且 ，，点 、， ∴ ． ∵ 点 在直线 上， ∴ ， 解得 ． ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、面积法求点到直线的距离，以及四点共圆与角的转化；解题关键是三个小问都用 表示线段长，把点的坐标都写成含 的式子；第三问先把 转化为 的平分线与 的夹角，由四点共圆把 转化为 ，再延长 、 交于点 ，用同位角相等得到 与这条角平分线平行，再用角平分线的性质与面积法求出该角平分线与 轴的交点，最后由 列方程求 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $