精品解析：黑龙江省哈尔滨市美佳外国语学校2024-2025学年九年级上学期12月考数学试题

哈美佳外校九年级数学试卷（12.4） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的对称轴为，它与x轴的一个交点的坐标为，则它与x轴的另一个交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不一样的是（ ） A. B. C. D. 6. 圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinB的值是（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，在△ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线．若AD＝5，CD＝3，DE＝4，则BF的长为(　　) A. B. C. D. 9. 如图，的直径与的夹角为，切线与的延长线交于点D，若的半径为3，则的长为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 9 10. 小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了16分钟返回到家，则下列图象能表示小明离家距离与时间关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 太阳的半径约是69600千米，用科学记数法表示约是______千米． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 13. 函数中自变量的取值范围是______． 14. 不等式组的解集为________． 15. 某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的70元降到了56.7元，那么平均每次降价的百分率为______． 16. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕，则的长为______． 17. 如图，是的直径，是的切线，B是切点，，点E为垂足，若，，则的直径为_________． 18. 如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是__________． 19. 在矩形中，对角线与交于，过点作，垂足为点，若，，则_______． 20. 抛物线（、、为常数，）开口向下且过点，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的序号是______． 三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中 22. 如图，在的方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图： （1）在图1中，找到一格点，使与全等； （2）在图2中，在上找一点，使得． 23. 某区教委对该区部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生； （2）根据抽样调查结果，请你估计该区近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？ 24. 如图，在中，，以边为直径作，交边于点，过点作于点． （1）求证：为的切线； （2）已知：的半径为，，求的长． 25. 甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工. ⑴问乙单独整理多少分钟完工？ ⑵若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？ 26. 如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC＝4，∠OAC＝60度． (1)求∠AOC的度数； (2)在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长； (3)如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO＝S△CAO时，求动点M所经过的弧长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点C，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接，过点E作的垂线l，在l上截取线段，使，且点F在第一象限，过点F作轴于点M，设点P的横坐标为t，线段的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点E作交的延长线于点H，连接，点G为的中点，当直线经过的中点Q时，求点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈美佳外校九年级数学试卷（12.4） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数， 而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是无理数，选项正确； B、=2，是整数，是有理数，选项错误； C、是分数，是有理数，选项错误； D、是整数，是有理数，选项错误． 故选A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解题关键是熟记初中范围内学习的无理数：π，2π等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A.，故本选项错误； B.，故本选项错误； C.，故本选项正确； D.，故本选项错误． 【点睛】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题． 3. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故该选项符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 已知抛物线的对称轴为，它与x轴的一个交点的坐标为，则它与x轴的另一个交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性． 利用抛物线对称轴的性质，两个交点关于对称轴对称进行解答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为，且一个交点为， 设另一个交点为， 则， ∴， ∴， ∴另一个交点为． 故选：B． 5. 在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不一样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、左视图与主视图都是正方形，故A不符合题意； B、左视图与主视图不相同，分别是正方形和长方形，故B符合题意； C、左视图与主视图都是矩形，故C不符合题意； D、左视图与主视图都是等腰三 角形．故D不符合题意． 故选B． 6. 圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题要求圆锥的侧面积，已知圆锥底面半径和母线长，可先根据圆的周长公式求出底面圆的周长，再结合圆锥侧面积公式进行计算，最后与选项进行对比得出答案．本题主要考查了圆锥侧面积的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式（其中为底面半径，为母线长）以及圆的周长公式是解题的关键． 【详解】解：底面圆的周长． 圆锥侧面积． 故选：C． 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinB的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出直角三角形，然后由勾股定理得出，利用正弦函数的定义（对边比斜边）求解即可． 【详解】解：根据题意作图如下： ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查求锐角的正弦函数值，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 8. 如图所示，在△ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线．若AD＝5，CD＝3，DE＝4，则BF的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由AB∥DE可得△CDE∽△CAB，再由AD=5，CD=3，DE=4，可求AB的长．又CF为AB边上的中线，则F为AB的中点，问题可求． 【详解】∵AB∥DE，∴△CDE∽△CAB， ∵AD=5，CD=3，DE=4， ∴AC=CD+AD=8， ∴， ∴AB=； 又CF为AB边上的中线， ∴F为AB的中点， ∴BF==． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质及三角形的中线． 9. 如图，的直径与的夹角为，切线与的延长线交于点D，若的半径为3，则的长为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形的相关计算，熟练掌握相关性质为解题关键．连接，是直径，则，利用是切线求得，从而利用三角函数可求得的值． 【详解】解：如图，连接， 是直径，则， ， ， ． 故选：B． 10. 小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了16分钟返回到家，则下列图象能表示小明离家距离与时间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象．根据横轴和纵轴表示的量，结合题意选择正确图象即可． 【详解】解：看10分钟报纸，时间变化，但路程并没有变化，应从A、D选项中选择， 其中只有D选项在路程没有变化的情况下，停留了10分钟． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 太阳的半径约是69600千米，用科学记数法表示约是______千米． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义解得即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解即可； 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了分解因式，解题的关键是掌握分解因式的方法，分解因式的主要方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法． 13. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 14. 不等式组的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集． 分别求解两个不等式，然后确定它们的公共解集 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 所以不等式组的解集为． 故答案为：． 15. 某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的70元降到了56.7元，那么平均每次降价的百分率为______． 【答案】 【解析】 【分析】商品连续两次降价且每次降价量相等，设平均每次降价的百分率为x，则有商品原价降价后价格，化解求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，则有，解方程得，(舍去)． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题干列出方程式是解题的关键． 16. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换，勾股定理． 先根据勾股定理求出的长，再由图形折叠的性质可知，，故可得出结论． 【详解】解：∵是直角三角形，两直角边，， ∴， ∵由折叠而成， ∴． 故答案为：． 17. 如图，是的直径，是的切线，B是切点，，点E为垂足，若，，则的直径为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，用切线的性质和相似三角形的判定，解题关键是熟记相关性质，综合运用．由垂径定理可求出，根据勾股定理在求出，利用切线的性质和相似三角形的判定方法可证明，再利用相似的性质即可求出直径的长． 【详解】解：∵，垂足为点E， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线，B是切点， ∴， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 18. 如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，再由相似三角形的性质得，求得该古城墙的高度． 【详解】解：由题意知：入射光线与反射光线，， 又， ， 所以 即， 解得米． 故答案为：8 19. 在矩形中，对角线与交于，过点作，垂足为点，若，，则_______． 【答案】4或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，当如图1所示时，矩形的对角线相等互相平分可得OB＝OD，然后求出OE＝BE，然后判断出△ABO是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出边长AB即OB的长，然后根据BD＝2OB计算即可得解；当如图2所示时，根据ED＝3OE可知OD＝4OE，设OE＝x，则ED＝3x，故OA＝OD＝4x，在Rt△AOE中，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论． 【详解】解：如图1，在矩形ABCD中，OB＝OD， ∵ED＝3OE， ∴OE＝BE， ∴AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， 又∵OA＝OB， ∴△ABO是等边三角形， ∵AE＝， 设AB=2a，则BE=a， ∴（2a）2=a2+ 解得a=1(-1舍去) ∴OB＝AB=2， ∴BD＝2OB＝2×2＝4cm． 如图2所示， ∵ED＝3OE， ∴OD＝4OE， 设OE＝x，则ED＝3x，OA＝OD＝4x， 在Rt△AOE中， ∵AE＝，AO＝4x，OE＝x， ∴x2＋（）2＝（4x）2，解得x＝， ∴BD＝8x＝cm． 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了矩形的对角线相等且互相平分的性质，熟记性质是解题的关键． 20. 抛物线（、、为常数，）开口向下且过点，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、函数值、顶点坐标），二次函数与一元二次方程，结合抛物线与轴的交点分析对称轴、函数值的符号是解题的关键． 由抛物线开口向下且过点和（其中），可得，对称轴在轴负半轴，进而得，①通过在两交点之间，结合开口向下的抛物线交点间函数值为正，得；②利用化简，结合对称轴得；③代入化简式子，结合、、，得；④将方程转化为抛物线与直线的交点问题，结合顶点纵坐标公式与的不等号变换，得． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线过点和， ∴对称轴， ∵， ∴， ∴，即对称轴在负半轴， 由和对称轴位置，可得， 对于①，为时的函数值， ∵， ∴， ∴在交点与之间， ∵开口向下的抛物线，在两个交点之间的区域，函数值大于 ∴当时，即； 故①正确； 对于②，∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴为，，对称轴为， ∴， ∵， ∴不等式两边乘得， ∴，即； 故②错误； 对于③，∵， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故③正确； 对于④，方程有两个不相等的实数根，即有两个不等实根， ∵抛物线（、、为常数，）过点，， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴顶点纵坐标大于时，方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴； 故④正确； 综上，结论正确的序号是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用锐角三角函数值得出的值，代入计算可得． 【详解】解： 当时， 原式． 22. 如图，在的方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图： （1）在图1中，找到一格点，使与全等； （2）在图2中，在上找一点，使得． 【答案】（1） 如图1中，点即为所求； （2） 如图2中，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）构造平行四边形即可； （2）取格点，，连接交于点，连接即可（利用相似三角形的性质,证明:）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某区教委对该区部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生； （2）根据抽样调查结果，请你估计该区近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？ 【答案】（1）200 （2）17000 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． （1）由A级50人，占比，从而可得总人数； （2）由总人数乘以学习态度达标的百分比即可． 【小问1详解】 解：（名）； 【小问2详解】 解：估计该区近20000名初中生中大约有名学生学习态度达标． 24. 如图，在中，，以边为直径作，交边于点，过点作于点． （1）求证：为的切线； （2）已知：的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴为的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，中位线定理，等腰三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，由圆周角定理可得，再通过等腰三角形性质可得，然后由中位线定理可得，又，则，最后通过切线的判定方法即可求证； （）连接，，由圆周角定理可得，再通过等腰三角形性质可得，再由勾股定理得，根据，求出，最后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工. ⑴问乙单独整理多少分钟完工？ ⑵若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？ 【答案】（1）乙单独整理80分钟完工.（2）甲至少整理25分钟完工. 【解析】 【分析】（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可； （2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可． 【详解】（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得： ， 解得x=80， 经检验x=80是原分式方程的解． 答：乙单独整理80分钟完工． （2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得 ≥1， 解得：y≥25， 答：甲至少整理25分钟完工． 【点睛】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间． 26. 如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC＝4，∠OAC＝60度． (1)求∠AOC的度数； (2)在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长； (3)如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO＝S△CAO时，求动点M所经过的弧长． 【答案】(1)∠AOC＝60°；(2)PO＝8；(3)点M经过的弧长为或或或. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，∴∠AOC＝60° （2）由CP与⊙O相切，OC是半径．得CP⊥OC，∴∠P＝90°−∠AOC＝30°，∴PO＝2 CO＝8 （3）如图，当S△MAO＝S△CAO时，动点M的位置有四种． ①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1． ②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2， ③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3， ④当点M运动到C时，M与C重合， 求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长． 【详解】(1)∵在△ACO中，∠OAC＝60°，OC＝OA ∴△ACO是等边三角形∴∠AOC＝60°． (2)∵CP与⊙O相切，OC是半径． ∴CP⊥OC，又∵∠OAC＝∠AOC＝60°， ∴∠P＝90°﹣∠AOC＝30°， ∴在Rt△POC中，CO＝PO＝4， 则PO＝2CO＝8； (3)如图，①作点C关于直径AB的对称点M1． 易得S△M1AO＝S△CAO，∠AOM1＝60° ∴ ∴当点M运动到M1时，S△MAO＝S△CAO， 此时点M经过的弧长为． ②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，易得S△M2AO＝S△CAO． ∴∠AOM1＝∠M1OM2＝∠BOM2＝60° ∴ ∴当点M运动到M2时，S△MAO＝S△CAO，此时点M经过的弧长为． ③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，易得S△M3AO＝S△CAO ∴∠BOM3＝60°， ， ∴当点M运动到M3时，S△MAO＝S△CAO，此时点M经过的弧长为． ④当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO＝S△CAO， 此时点M经过的弧长为． 【点睛】本题利用了等边三角形的判定和性质，切线的性质，弧长公式，同底等高的三角形的面积相等的性质求解． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点C，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接，过点E作的垂线l，在l上截取线段，使，且点F在第一象限，过点F作轴于点M，设点P的横坐标为t，线段的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点E作交的延长线于点H，连接，点G为的中点，当直线经过的中点Q时，求点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接把A、B坐标代入求出a、c得值即可； （2）分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为K、L，易证，可得出，再代入可求得解析式； （3）先求得F、H的坐标，发现点P和点H的纵坐标相等，则与x轴平行，根据平行线截线段成比例定理可得G也是的中点，由此表示出点G的坐标并列式，求出t的值并取舍，计算出点F的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过、两点， 将点、代入，得 ， 解得 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 如解图，作轴于点，轴于点， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， . 点在第二象限，且其横坐标为， . 由，令，得， ，. ，即； 【小问3详解】 如解图，过点作轴于点，交于点，连接. 由知， ， ， 轴， ， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ∴ . 为的中点， ，. 由，解得，， 抛物线与轴的另一个交点， ， 为的中点， ，， ，， . 设， ，又， ， 即， ， 解得或（舍去）． 由（2）知得：， ， ． 【点睛】此题是二次函数的综合题，求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数与图形的综合问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $