期末复习 探索与实践 评价与反思 知识清单-2026-2027学年数学六年级上册苏教版

《期末复习 探索与实践 评价与反思》知识清单 苏教版·2026-2027学年·数学六年级上册　（教材P117～P118） 一、知识梳理 本课是苏教版六年级上册期末复习的最后一课（教材P117～P118），由“探索与实践”和“评价与反思”两个板块组成。它没有新知识，而是把全册所学放进四件真实的事情里用一用：设计一张节日贺卡，用图形与几何；算两组特殊的分数算式，用数与运算；调一杯彩色水，用比；看一张地图说位置，用方向与距离。再加一道思考题“三堆围棋子”，考的是等量替换的眼光。最后对照六条目标评价自己、写反思。把全课要点整理成下表。 板块 任务 用到的知识 核心方法或结论 探索与实践 第24题 设计节日贺卡 长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的特征；周长与面积计算 至少用3种图形；说清每种图形的特征；选一个图形算周长或面积 探索与实践 第25题 算一算，你发现了什么 分数减法、分数乘法、通分 分子都是1、分母相差1的两个分数，差等于积：－＝× 探索与实践 第26题 调一调，彩色水 比的意义、按比分配 比表示份与份的关系；红:蓝＝1:1调出紫色，蓝:黄＝1:2调出偏蓝的绿 探索与实践 第27题 看地图，说位置关系 比例尺、用方向和距离确定位置 量图上距离→按比例尺换算→用“方向＋距离”描述；方向相反、距离不变 思考题 三堆围棋子 分数乘法、等量替换 第二堆黑子＝第三堆白子，所以第二堆白子＋第三堆白子＝一堆的枚数 评价与反思 对照目标评一评 全册知识回顾 六条目标，自己评、小组评各五颗星，每颗星要有依据 评价与反思 我的总结 反思与计划 收获写“会了什么”，不足写“错在哪一步”，计划写“每天做什么、做多少” 全册总览 三大板块 数与运算、图形与几何、综合与实践 分数四则运算、小数乘除法、比与按比例分配；圆的周长与面积、放大与缩小、方向与距离；会画图、会测量、会发现规律 用一句话记住本课：数学不只在课本里，动手做一做、动眼看一看、动脑想一想，知识就活了；回头评一评、认真改一改，学习就有了方向。 二、四个任务的要点 （一）第24题　设计节日贺卡 ① 三条硬指标：贺卡上至少用到3种学过的平面图形；向同学介绍每种图形有什么特征；选一个图形，说说它的周长或面积怎样算。 ② 图形特征要抓“边”和“角”：长方形对边相等、四个角都是直角；正方形四条边都相等、四个角都是直角；三角形有三条边、三个角，具有稳定性；平行四边形两组对边分别平行且相等；梯形只有一组对边平行；圆由一条封闭的曲线围成，没有角，从圆心到圆上任意一点的距离都相等。 ③ 常用公式：长方形周长＝(长＋宽)×2，面积＝长×宽；正方形周长＝边长×4，面积＝边长×边长；三角形面积＝底×高÷2；平行四边形面积＝底×高；梯形面积＝(上底＋下底)×高÷2；圆的周长＝3.14×直径，面积＝3.14×半径×半径。 ④ 做之前先画草图，想好每种图形放在哪里、需要量哪几条边；做之后要能指着作品把特征和算式说清楚，这才算完成了数学任务。 （二）第25题　算一算，你发现了什么 ① 两组算式：－＝，×＝；－＝，×＝。每组上下两式的得数相等。 ② 规律：分子都是1、分母相差1的两个分数，它们的差等于它们的积。 ③ 字母表示：－＝×，得数都等于分母相乘的积的倒数。 ④ 再写几组：－＝＝×；－＝＝×；－＝＝×。 ⑤ 应用（裂项相消）：＋＋＋＝(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＝1－＝。 （三）第26题　调一调，彩色水 ① 准备工作：红色、蓝色、黄色水各500毫升，取用时不能超过这个量。 ② 红:蓝＝1:1，红色水1份、蓝色水1份，两种水同样多，调匀后是紫色。各取50毫升、100毫升还是200毫升，只要比是1:1，调出的都是紫色，变的是总量，不是颜色。 ③ 蓝:黄＝1:2，蓝色水1份、黄色水2份，黄色水多，调匀后是绿色，偏蓝的绿。 ④ 按比分配的方法：先求总份数，再求每份是多少，最后按各自的份数求各部分。如配300毫升绿色水（蓝:黄＝1:2）：1＋2＝3（份），300÷3＝100（毫升），蓝100毫升、黄200毫升。 ⑤ 还能想到的：红:黄＝1:1调出橙色；红:蓝:黄＝1:1:1三色混合偏灰暗；蓝:黄＝1:3比1:2更偏黄。比变，颜色就变。 （四）第27题　看地图，说位置关系 ① 三步：量图上距离→按比例尺换算成实际距离→用“方向＋距离”描述位置。 ② 方向要规范：先说南北、再说偏东西，写作“北偏东40°”“南偏西30°”，角度从指名的第一个方向量起。 ③ 换算：图上1厘米表示500米，图上3厘米就是500×3＝1500（米），也就是1.5千米。 ④ 反向描述：方向相反、距离不变。学校在我家北偏东40°方向1500米处，则我家在学校南偏西40°方向1500米处。原因是观测点不同——家看学校，学校看家。 （五）思考题　三堆围棋子 ① 题目：三堆围棋子，每堆60枚，第一堆有是白子，第二堆的黑子与第三堆的白子同样多，求三堆一共有多少枚白子。 ② 第一步：60×＝20（枚），求出第一堆的白子。 ③ 第二步（关键）：第二堆白子＋第二堆黑子＝60（枚）；因为第二堆黑子与第三堆白子同样多，把第二堆黑子换成第三堆白子，得第二堆白子＋第三堆白子＝60（枚）。 ④ 第三步：20＋60＝80（枚）。答：三堆一共有80枚白子。 三、算理剖析 ① 为什么“差等于积”？以和为例。减法要通分：－＝－＝，分子上的4－3正好是1，分母是3×4。乘法不用通分：×，分子1×1＝1，分母3×4＝12，也得。两个结果都等于，所以相等。一般地，－与×都等于1除以n与(n＋1)的积，所以两式恒等。 ② 为什么条件里必须有“分子都是1、分母相差1”？少了任何一条都不成立。比如与，分母相差2：－＝，×＝，不相等。又比如与，分子不是1：－＝，×＝，也不相等。所以规律不是“碰巧”，是有条件的。 ③ 为什么可以用“裂项”求和？因为规律反过来用：一个分数只要能写成×的形式，就能拆成－的差。把每个加数都拆成两个分数的差，相加时前一项的“减”和后一项的“加”正好抵消，只剩首尾。如＋＋＋＝(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＝1－＝。加数越多，抵消得越多，算起来反而越快。 ④ 为什么“比”能决定颜色？比刻画的是份与份的关系，不规定具体多少毫升。红:蓝＝1:1，说明红色水与蓝色水同样多，所以调出紫色；蓝:黄＝1:2，说明蓝色水1份、黄色水2份，黄色占得多，绿色就偏黄一些。反过来，蓝:黄＝1:3时黄色占3份，绿色更偏黄。可见决定颜色的是份数关系，取多取少只改变总量。 ⑤ 为什么两个地点互相看时“方向相反、距离不变”？因为两点之间的位置关系是相互的：从A看B，B在A的某个方向；从B看A，A就在B的正相反方向。方向转了180°，所以“北偏东”变“南偏西”、“北偏西”变“南偏东”，度数不变；两点之间的距离与从哪头量无关，所以距离不变。 ⑥ 为什么围棋子问题要“合起来算”？因为题目只给了“第二堆黑子与第三堆白子同样多”，没有给具体枚数，第二堆、第三堆各自的白子数无法确定。但两堆合起来是一整堆60枚，而第一堆的白子能单独算出，所以“能算的算出来，不能算的合起来”，这正是等量替换的价值。 四、易错警示 ✗ 错误：算圆的面积时把直径当半径，直径6厘米代成3.14×6×6＝113.04。 → ✓ 正确：先求半径，6÷2＝3（厘米），再算3.14×3×3＝28.26（平方厘米）。做题前先在图上把半径标出来。 ✗ 错误：在长方形里剪最大的圆，圆的直径取长边。如长20厘米、宽12厘米的纸，取直径20厘米。 → ✓ 正确：最大圆的直径受短边限制，应取12厘米，半径6厘米。取20厘米圆就超出纸宽，剪不下来。 ✗ 错误：把“差等于积”当成所有分数都成立，用与去验证还怪规律不对。 → ✓ 正确：规律有前提——分子都是1、分母相差1。条件不满足就不成立，－＝，而×＝。 ✗ 错误：读“蓝:黄＝1:2”时以为蓝色水多，因为1在前。 → ✓ 正确：1:2是蓝色水1份、黄色水2份，份数多的那种水多，所以黄色水多。读比一定要看清冒号前后分别是谁。 ✗ 错误：按1:2配300毫升绿色水，直接算300×＝150、300×＝150。 → ✓ 正确：先求总份数1＋2＝3（份），再求每份300÷3＝100（毫升），蓝色水100毫升、黄色水200毫升。按比分配不能拿总量直接乘比的项。 ✗ 错误：把图上量得的3厘米直接说成“3米”，或者把20千米画成20厘米。 → ✓ 正确：必须按比例尺换算。图上1厘米表示500米，3厘米就是500×3＝1500（米）；图上1厘米表示10千米，20千米只能画20÷10＝2（厘米）。 ✗ 错误：反向描述位置时方向不变，说“我家也在学校的北偏东40°方向”。 → ✓ 正确：观测点换了，方向要反过来。北偏东40°的反方向是南偏西40°，距离不变。记住八个字：方向相反、距离不变。 ✗ 错误：评价时六条全打五颗星，写不足只写“我太粗心”。 → ✓ 正确：每颗星都要有依据，说得出“凭什么事”；不足要写清“错在哪一步”，如“看地图时把观测点弄反了”；计划要写清“每天做什么、做多少”，如“每天画2个位置图，先写观测点再写方向”。 五、典型例题 例1　设计并介绍一张贺卡（教材P117第24题） 题目：利用学过的平面图形设计节日贺卡，赠送给同学。要求至少用到3种学过的平面图形，介绍每种图形的特征，并选一个图形说说它的周长或面积怎样算。 解：贺卡画面设计为“新年窗花”。窗户用长方形做窗框，长16厘米、宽10厘米；窗格用4个边长5厘米的正方形拼成；窗户上方贴一个直径8厘米的圆做太阳；下方用两个底6厘米、高4厘米的三角形做小树。三种以上图形：长方形、正方形、圆、三角形。特征：长方形对边相等、四个角都是直角；正方形四条边都相等；圆有一条封闭的曲线、没有角，从圆心到圆上任意一点距离都相等；三角形有三条边、三个角。选圆计算：直径8厘米，半径4厘米，周长＝3.14×8＝25.12（厘米），面积＝3.14×4×4＝50.24（平方厘米）。 点睛：三条要求要一条一条对上——图形够不够3种、特征说不说得清、算式对不对。只做得好看而说不清特征，数学任务就没完成。 例2　发现“差等于积”的规律（教材P117第25题） 题目：先计算并观察每组算式的得数，再说说你有什么发现。(1) －，×；(2) －，×。你能根据发现的规律再写几组这样的算式吗？ 解：(1) －＝－＝，×＝；(2) －＝－＝，×＝。发现：每组算式里，两个分数的差正好等于它们的积。再写几组：－＝＝×；－＝＝×；－＝＝×。规律成立的条件是分子都是1、分母相差1，用字母表示：－＝×。 点睛：说理比举例更重要。－通分后分子上的4－3＝1、分母是3×4，而×的分子是1×1＝1、分母也是3×4，两式自然相等。 例3　按比调配彩色水（教材P118第26题） 题目：红色、蓝色、黄色水各500毫升。(1) 按1:1取适量红色水和蓝色水；(2) 按1:2取适量的蓝色水和黄色水。调匀后，水各是什么颜色？你还能想到什么？ 解：(1) 红色水与蓝色水的比是1:1，两种水同样多，如各取100毫升，调匀后是紫色。(2) 蓝色水与黄色水的比是1:2，蓝色水1份、黄色水2份，如蓝色水100毫升、黄色水200毫升，调匀后是绿色，偏蓝的绿。还能想到：红:黄＝1:1调出橙色；红:蓝:黄＝1:1:1三色混合偏灰暗；蓝:黄＝1:3比1:2更偏黄。要配300毫升绿色水（蓝:黄＝1:2），1＋2＝3（份），300÷3＝100（毫升），蓝色水100毫升、黄色水200毫升。 点睛：比是“份与份的关系”，不是具体的量。取50毫升还是200毫升，只要比不变，颜色就不变；份数比一变，颜色就跟着变。 例4　看地图说位置，再反过来说（教材P118第27题） 题目：看看地图，先量一量，再说说你家和学校的位置关系。图上1厘米表示实际500米，量得图上距离3厘米，学校在我家的北偏东40°方向。 解：实际距离＝500×3＝1500（米），也就是1.5千米。学校在我家的北偏东40°方向1500米处。反过来，我家在学校的南偏西40°方向1500米处——观测点由“我家”换成“学校”，方向相反、距离不变。如果同一幅图上量得2.5厘米、比例尺改为图上1厘米表示400米，则实际距离＝400×2.5＝1000（米）。 点睛：先量、再算、后说，三步不能乱。反向描述时不要重新量，只要把方向反过来、距离照抄，因为两点之间的距离只有一个。 例5　三堆围棋子（教材P118思考题） 题目：三堆围棋子，每堆60枚。第一堆有是白子，第二堆的黑子与第三堆的白子同样多。这三堆围棋子中一共有多少枚白子？ 解：第一堆白子：60×＝20（枚）。第二堆白子＋第二堆黑子＝60（枚）；因为第二堆黑子与第三堆白子同样多，把第二堆黑子换成第三堆白子，得第二堆白子＋第三堆白子＝60（枚）。所以三堆白子共20＋60＝80（枚）。检验：设第二堆白子30枚，则第二堆黑子30枚、第三堆白子30枚，白子共20＋30＋30＝80（枚）；设第二堆白子10枚，则第三堆白子50枚，白子共20＋10＋50＝80（枚）。两次结果相同。答：一共有80枚白子。 点睛：这题的关键不是“求出每一堆”，而是“合起来求”。能算的（第一堆）先算出来，不能算的（第二、三堆）合成一个整体，这就是等量替换。 例6　用规律求和 题目：计算＋＋＋＋。 解：因为＝1－，＝－，＝－，＝－，＝－，所以原式＝(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＝1－＝。 点睛：这是“差等于积”规律的逆用——×可以拆成－。加数越多，抵消得越干净，最后只剩头尾两项，比通分快得多。 六、拓展延伸 ① 关于“数的运算本质上的一致性”。这一学期我们学了整数、分数、小数的运算，看起来方法不同，其实道理相通：分数除法是“乘倒数”，小数除法是“化成整数除法”，比的化简是“前项后项同时乘或除以相同的数”，背后都是“单位统一”与“等量代换”。复习时不妨问自己一句：这个算法为什么可以这样算？想通了，三种数就串成了一条线。 ② 关于“图形的放大与缩小”。把长6厘米、宽4厘米的长方形按2:1放大，长变成12厘米、宽变成8厘米，周长扩大到原来的2倍，面积却扩大到原来的4倍。这与“半径扩大2倍、面积扩大4倍”是同一个道理：长度按倍数变，面积按倍数的平方变。设计贺卡时如果想放大图案，就要留意这个差别，否则图案会“撑破”卡纸。 ③ 关于“评价与反思”。教材P118的六条目标，其实就是这一册书的六张“成绩单”。打星不是为了排名，而是为了找出“下一步该往哪儿走”。建议的做法是：先翻作业本和试卷，找出这一学期真正错过的题，按知识点分类；再看哪一类错得最多，那一条就少打一颗星；最后针对这一类写一条能天天做到的小计划，比如“每天3道圆的面积题，做题前先标半径”。一个月后回头看，星星有没有变多。 ④ 关于“带着数学眼睛过假期”。假期里可以做三件事：一是设计一张平面图形贺卡送给家人，把用到的图形和算式写在背面；二是用红黄蓝三色颜料按不同的比调配颜色，把“比—颜色”记成一张表，看看能调出多少种颜色；三是画一张从家到常去地点的路线图，标上方向标和比例尺，用“北偏东几度方向多少米”向家人介绍。开学后把这三件事的成果带来，就是一份最好的假期作业。 七、本课小结 1. 第24题设计贺卡：至少用3种平面图形，说清每种图形的特征，选一个图形算周长或面积。长方形周长＝(长＋宽)×2、面积＝长×宽；圆的周长＝3.14×直径、面积＝3.14×半径×半径。 2. 第25题发现规律：分子都是1、分母相差1的两个分数，差等于积，即－＝×；反过来可用于裂项求和，如＋＋＋＝1－＝。 3. 第26题调配彩色水：比表示份与份的关系；红:蓝＝1:1调出紫色，蓝:黄＝1:2调出偏蓝的绿；按比分配先求总份数、再求每份、最后求各部分。 4. 第27题看地图：量图上距离→按比例尺换算→用“方向＋距离”描述；两个地点互相看，方向相反、距离不变（北偏东↔南偏西，北偏西↔南偏东）。 5. 思考题三堆围棋子：第一堆白子60×＝20（枚）；第二堆黑子＝第三堆白子，所以第二堆白子＋第三堆白子＝60（枚）；一共20＋60＝80（枚）。 6. 评价与反思：对照六条目标如实打星，每颗星有依据；收获写“会了什么”，不足写“错在哪一步”，计划写“每天做什么、做多少”。数学在课本里，更在生活里。 学科网（北京）股份有限公司 $