精品解析：新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州第一中学2026-2027学年高二第一学期期初质量监测数学试题

昌吉州第一中学2026-2027学年第一学期期初质量监测 高二年级数学试题卷 考试时长：120分钟 满分：150 分 一、单选题 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可. 【详解】. 故选：C. 2. 用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果. 【详解】 过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是. 故选：A. 3. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算 【详解】. 故选：B 4. 函数（，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】解：根据函数（其中，的图象， 可得，， 再根据五点法作图，可得，，． 故把图象向右平移个单位长度，可得到的图象， 故选：D． 5. 若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到或，然后利用数量积的运算律求模即可. 【详解】设的夹角为，则或， ，，， ， 当时，， 当时，. 故选：C. 6. 设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ） A. 6 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案. 【详解】不妨设，如图所示， 根据题意则， 即点O是△A1B1C1的重心，所以有k， 又因为， 那么， ， 故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据重心的性质可得k，再由三角形面积公式可得，即，同理可得其他三角形面积，再利用即可求解，属于难题. 7. 已知是方程的两个实根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意把两根代入方程得两个式子，再结合韦达定理联立两个式子化简变形即可. 【详解】是方程的两个实根， ， ①， ②， ①式②式得：， 即， ，即，得. 故选：. 8. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由，可求得、的值，由题意得出函数的最小正周期，可求得的值，然后由结合的取值范围可得出的值，由此可得出与时间（单位：）之间的关系式. 【详解】设， 由题意可知，，，解得，， 函数的最小正周期为， 则， 当时，，可得， 又因为，则，故， 故选：A. 二、多选题 9. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 向量夹角为60° 【答案】AC 【解析】 【分析】运用向量的垂直，模长，夹角相关公式，结合数量积定义可解. 【详解】，又因为，所以，故，所以A正确，D不正确； ，故，所以B不正确，，所以，正确． 故选：． 10. 如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（ ） A. 是定值 B. 是定值 C. 是定值 D. 是定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意建立以为原点的坐标系，设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为，对选项中的表达式进行化简可得选项ABD中的表达式可写成只含有和的式子，结果为定值，而C选项中的结果最终含有，即与点位置有关，不是定值. 【详解】根据题意，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 不妨设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为； 则可得，且； 易知； 所以对于A选项，，为定值，即A正确； 对于B选项， ，为定值，所以B正确； 对于C选项，易知表达式中不能表示成只含有边长和半径的式子， 即与有关，故其不是定值，所以C错误； 对于D选项， ，为定值，故D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的直角坐标系，将向量坐标化，再由向量数量积的坐标表示求解是否为定值. 11. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 三、填空题 12. 已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求得，根据投影向量的概念，即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 所以，而，则， 故， 则在方向上的投影向量为， 即在方向上的投影向量的坐标为， 故答案为： 13. 已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，讨论余弦函数的单调性求得当且时函数图象与直线有2个交点，即可求解. 【详解】， 由，得， 设，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，所以， 得，要使方程在上有2个实根， 则函数图象与直线在上有2个交点， 当且，即时，函数图象与直线有2个交点， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意可得，当三点共线时，取得最值，结合图形可求得结果. 【详解】连接，则，， 因为，所以, 因为点是圆及其内部任意一点， 所以，且当三点共线时，取得最值， 当取得最大值时，以为对角线，以为邻边方向作平行四边形, 则和为等边三角形， 所以， 所以， 所以的最大值为， 同理可求得的最小值为， 所以， 故答案为： 四、解答题 15. 已知的三个内角满足：. （1）求的值； （2）求角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可求的值. （2）先求出，再利用两角和的正切公式及诱导公式可求，故可求角的大小. 【小问1详解】 ， 因为， ，故为锐角且. 所以. 【小问2详解】 因为，，故为锐角且， 故，故， 而，故. 16. 已知函数. （1）若，求的值. （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出的值，再利用与的关系进行求值； （2）先利用余弦定理求出角,化简，利用的范围进行求解. 【详解】（1） 由可得：. . （2）由余弦定理得：，整理可得：， ，， 又，，， ，则， ，即的取值范围为. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数和解三角形知识的综合应用问题，涉及到三角函数关系式的化简、边角关系式的化简、三角函数值的求解与诱导公式的应用、正弦型函数值域的求解等知识，是对于三角函数部分知识的综合考查，属于常考题型. 17. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. （1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； （2）分别求事件A，B，C发生的概率； （3）求事件A，B，C中至少有一个发生的概率. 【答案】（1） （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可； （2）根据古典概型概率计算公式计算即可； （3）根据古典概型概率计算公式计算即可. 【小问1详解】 样本空间，共有12个基本事件； 【小问2详解】 事件A的基本事件为：共6个基本事件，所以， 事件B的基本事件为：共3个基本事件，所以， 事件C的基本事件为：共4个基本事件，所以， 【小问3详解】 事件A，B，C中至少有一个发生的基本事件为：共9个基本事件， 所以. 18. 函数的部分图像如图所示， （1）求函数的解析式和单调递增区间； （2）将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最低点求得的值，根据图象得到函数的周期，并求得的值，代入点求得的值，由此求得函数的解析式；再利用余弦函数的性质，即可求出函数的单调增区间； （2）令，则，利用的图象可得，，又，从而得到，再利用，即可求得结果. 【小问1详解】 由图易知，，得到，所以， 又图象过点，所以，故，得到， 又，所以，故函数的解析式为， 由，得到， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由题知，又因为，所以， 令，则， 由的图象知，，且， 得到，又由图知，所以 又，得到， 所以， 又因，所以. 19. 如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记. （1）将矩形的面积表示成关于的函数的形式； （2）求的最大值，及此时的角. 【答案】（1）（） （2）时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）借助三角函数定义及几何性质即可求解； （2）借助三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 在中，，， ，， ， ， （）； 【小问2详解】 ， ， ， 因为， ， 当，即时， 取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌吉州第一中学2026-2027学年第一学期期初质量监测 高二年级数学试题卷 考试时长：120分钟 满分：150 分 一、单选题 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ） A. B. 4 C. D. 3. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 4. 函数（，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 1或2 6. 设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ） A. 6 B. C. D. 4 7. 已知是方程的两个实根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 向量夹角为60° 10. 如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（ ） A. 是定值 B. 是定值 C. 是定值 D. 是定值 11. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为________. 13. 已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为______. 14. 如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是__________． 四、解答题 15. 已知的三个内角满足：. （1）求的值； （2）求角的大小. 16. 已知函数. （1）若，求的值. （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 17. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. （1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； （2）分别求事件A，B，C发生的概率； （3）求事件A，B，C中至少有一个发生的概率. 18. 函数的部分图像如图所示， （1）求函数的解析式和单调递增区间； （2）将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值. 19. 如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记. （1）将矩形的面积表示成关于的函数的形式； （2）求的最大值，及此时的角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $