精品解析：上海市上海财经大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月阶段测试数学试卷

上财附中2026学年第一学期高三数学10月阶段测试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由不等式解得，故， 且全集，所以. 2. 若一个幂函数的图象经过点，则它的单调递减区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法，结合题意求得函数解析式，根据幂函数的性质，可得答案. 【详解】设该幂函数的解析式为，由题意可得，解得， 故，易知其单调递减区间为. 故答案为：. 3. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【详解】函数需满足，解得， 所以函数的定义域为. 4. 已知正实数a，b满足，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式可求得答案. 【详解】因为，当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 5. 已知R、R，函数是偶函数，则=_________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据偶函数的性质进行求解即可. 【详解】因为该函数是偶函数，所以定义域必须关于原点对称，因此有， 设，由偶函数的性质可知： ，因此， 故答案为： 6. 已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是_______ 【答案】 【解析】 【分析】由函数奇偶性可得函数在上的解析式，做出图像即可求得值域. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 当时，，则时，， 所以， 作出函数图像如下图所示： 由图像可知：函数值域为. 故答案为： 7. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离），求出的最小值为，再将恒成立问题转化为最小值大于等于的不等式求解，即可得出实数的取值范围. 【详解】设， 由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到点的距离，表示点到点的距离， 所以表示数轴上点到点和点的距离之和， 根据“两点之间线段最短”，当点位于点和点之间（包含端点）时，取得最小值，最小值为点到点的距离，即， 要使不等式对任意 恒成立， 只需的最小值大于或等于，即， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是. 8. 设是定义在上且以2为周期的奇函数，当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数单调性确定的范围，再利用周期性及奇函数性质求出函数值. 【详解】由，得，而是定义在上且以2为周期的奇函数， 且当时，，则 . 9. 若偶函数在单调递减，则满足的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】偶函数f(x)在区间(−∞,0]上单调递减, 可得f(x)在区间上单调递增, 则由f(2x−1)<f()， 可得<,∴−<2x−1<,求得<x<， 故答案为. 10. 已知函数，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数的定义域与单调性，计算得，将不等式转化为关于的不等式组求解. 【详解】函数，故定义域为, 因为在上单调递减，在上单调递减， 两个减函数的和仍为减函数，因此在上单调递减， ， 所以等价于， 结合单调性和定义域，得不等式组， 解得或，解得,取两者交集得或, 所以不等式的解集为 . 11. 设函数，，记集合，，，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值域和定义域，进而求出集合和集合，再将转化为元素在集合中的问题，进而转化为方程解的问题，求出在每一段上的值域，再利用和有解，进行分类讨论，分别求出的范围即可. 【详解】，的定义域为， ， 因为，所以的值域为， 所以，， 因为，所以且， 即和有解， 当时，， 若：在处取最大值，无最小值，所以值域为， 若：在处取最大值，无最小值，所以值域为， 当时，，单调递增，所以值域为， 要使有解， 当时，，故此时不可能等于2， 所以只能在时取得，即，所以， 所以此时的取值范围是， 要使有解， 当时，， 若，值域为，有解，所以符合要求； 若，值域为，要使有解， 即，即， 当时，值域为，要使有解， 即，所以， 综上所述的取值范围是. 12. 设，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件变形可得，令，问题转化为与的图象共有3个不同的交点即可，作出的图象，数形结合得解. 【详解】令，即， 若函数恰有三个零点，即恰有3个不同的解， 即， 当时，显然方程不成立； 所以当时，可得； 令， 问题转化为与的图象共有3个不同的交点即可. 作出函数的图象，如图， 由图可得当时，与的图象共有3个不同的交点， 所以实数的取值范围为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分） 13. 下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合对数函数单调性、三角函数取值范围、完全平方公式、代数式取值范围逐一判断各选项不等式是否恒成立. 【详解】对于选项A：当时，，即， 又在上单调递增，故，当时等号成立，因此不恒成立，A错误； 对于选项B：当时，， 例如取，，左边为，不满足，B错误； 对于选项C：对任意，不等式变形为，即，该式恒成立，故C正确； 对于选项D：当时，，此时，不满足，D错误. 14. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，函数为奇函数，在定义域上无单调性，故错误； 对于B选项，函数为奇函数，当时，为减函数，故函数在定义域内为减函数，故B正确； 对于C，由于函数均为增函数，故在定义域内为单调递增函数，故C错误； 对于D选项，函数为非奇非偶函数，故错误. 故选：B 15. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解． 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A 16. 设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在区间上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”.下列函数中，不存在“和谐区间”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐项假设是“和谐区间”，先由单调性写出值域，再与对应端点比较，把问题转化为方程是否有解：A、B、C都能找出具体区间，而D化为，用的最小值为正说明无解. 【详解】对于A，在上单调递增，取， 则该区间上的值域为，存在“和谐区间”，A不符合题意. 对于B，在上单调递减，取， 则该区间上的值域为，存在“和谐区间”，B不符合题意. 对于C，的导函数为， 当时，故在上单调递增，取， 则该区间上的值域为，存在“和谐区间”，C不符合题意； 对于D，在上单调递增， 若是“和谐区间”，则该区间上的值域为， 故、，即方程有解. 令，则， 当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， 即恒成立，方程无解，故函数不存在“和谐区间”，D符合题意. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知且，函数，. （1）求函数的定义域及其零点； （2）若存在实数使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据真数大于求定义域，解方程即可求零点； （2）问题为，分两种情况讨论，求出复合函数的最小值即可. 【小问1详解】 ， 由得，所以的定义域为； 令，得，得或（舍）， 故的零点为. 【小问2详解】 ， 因为，的对称轴为，所以， 因为存在实数使得成立，所以， 若，则，得； 若，则，得，故， 综上，的取值范围为或 18. 已知函数，对任意，恒成立，且，函数的定义域为，且是奇函数，当时，. （1）当时，求函数的表达式； （2）当时，若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合对称性定义求出函数，再利用奇函数的定义求解. （2）由（1）中信息，分离参数并利用基本不等式求出最大值即可. 【小问1详解】 函数，对任意，恒成立， 则直线是函数的对称轴，即，解得， 由，得，则，因此， 当时，，而函数是定义在上的奇函数， 则当时，，， 所以函数的表达式为. 【小问2详解】 当时，方程有解， 而，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 19. 小明大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本4万元，每年生产万件，需另投入流动成本万元，且，每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小明在这一产品的生产中所获利润最大，并求最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为8万件时，最大利润为万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果；（2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可. 【小问1详解】 （1）因为每件产品售价为10元，所以万件产品销售收入为万元，固定成本4万元， 依题意得，当时，； 当时，， 所以. 【小问2详解】 （2）当 时， ， 当时，取得最大值为； 当时，对勾函数在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上为单调递减. 当时，取得最大值为. 由，则可知当年产量为8万件时，小明在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元． 20. 已知函数（常数）. （1）当时，解不等式； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）的定义域为，且. 若为偶函数，则对任意都有，即，故； 若为奇函数，则对任意都有，即，故. 所以当时为偶函数（此时）， 当时为奇函数（此时）， 当时既不是奇函数也不是偶函数. 【解析】 【分析】（1）令把不等式化为关于的分式不等式，求出后回代求； （2）分离参数得，再令转化为二次函数在闭区间上的最值问题； （3）分别考察与是否恒成立来确定的取值，其余情形即为非奇非偶. 【小问1详解】 当时，，不等式即. 令，则，两边同乘得，即，所以或. 因为，所以，即，解得，所以该不等式的解集为. 【小问2详解】 由得，两边同乘得，即. 令，当时，则恒成立，只需. 因为的图象开口向下、对称轴为，在上单调递减，所以时取最大值， 所以，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 21. 已知函数，，令. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当为正数且时，的最小值为，求的最小值； （3）若对一切都成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义得到切线斜率，求出切线方程； （2）求导，分，和三种情况，结合函数单调性，得到函数最小值，结合，求出的取值范围，得到最小值； （3）将条件式变形得到，令，则在上单调递增，其中，求导，分和讨论，得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 则，所以， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，， 所以， 由， 当时，即，有，故在上单调递减， 所以，又， 所以，解得， 而，即，这与矛盾，不合题意，舍去； 当时，即，当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 故在取得极小值，也是最小值，故， 所以，即， 令，， 则，即在上单调递减， 又，所以，即， 所以在上不能成立； 当时，有，故在上单调递增， 故； 综上，的取值范围是，的最小值为1. 【小问3详解】 由，，得， 令，则有， 故函数在上单调递增，且； 其中，，则， 若，则，即在上单调递增，合题意； 若，，即对恒成立， 令，对称轴为， 故要满足，解得； 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上财附中2026学年第一学期高三数学10月阶段测试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则________. 2. 若一个幂函数的图象经过点，则它的单调递减区间是________. 3. 函数的定义域为________. 4. 已知正实数a，b满足，则的最小值为____________． 5. 已知R、R，函数是偶函数，则=_________. 6. 已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是_______ 7. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________. 8. 设是定义在上且以2为周期的奇函数，当时，，则__________. 9. 若偶函数在单调递减，则满足的取值范围是____． 10. 已知函数，则不等式的解集为________. 11. 设函数，，记集合，，，若，则的取值范围是__________. 12. 设，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是_________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分） 13. 下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在区间上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”.下列函数中，不存在“和谐区间”的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知且，函数，. （1）求函数的定义域及其零点； （2）若存在实数使得成立，求的取值范围. 18. 已知函数，对任意，恒成立，且，函数的定义域为，且是奇函数，当时，. （1）当时，求函数的表达式； （2）当时，若关于的方程有解，求实数的取值范围. 19. 小明大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本4万元，每年生产万件，需另投入流动成本万元，且，每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小明在这一产品的生产中所获利润最大，并求最大利润. 20. 已知函数（常数）. （1）当时，解不等式； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）讨论函数的奇偶性，并说明理由. 21. 已知函数，，令. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当为正数且时，的最小值为，求的最小值； （3）若对一切都成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $