上海市复旦大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性教学质量评估数学试卷

复旦大学附属中学2026-2027学年第一学期高三年级 数学学科10月阶段性教学质量评估试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．设集合，，则                        ． 2．若向量、在向量方向上的数量投影分别为3和，则在向量方向上的数量投影为                        ． 3．已知，则                        ． 4．的展开式中，常数项为                        ． 5．若关于的方程在区间上有实数解，则实数的取值范围是                        ． 6．甲、乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲、乙两人中至少有一人破译这份密码的概率是                        ． 7．在中，角、、所对边分别为、、，若，，则                        ． 8．已知数列的通项公式为，数列是首项为1、公比为2的等比数列，则                        ． 9．设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为                        ． 10．如图，平行四边形的对角线、交于点，线段上一点满足，线段上一点满足，其中．设，，若，则的值为                        ． 11．如图是一座山的示意图，山体近似于圆锥．已知圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里， 是母线上一点，且公里．为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路．这条铁路从出发后先上坡，后下坡，则上坡段铁路的长度为                        公里． 12．已知，且．若存在不是常数列的无穷数列满足对任意正整数都有，且，则实数的取值范围为                        ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．样本数据4，5，6，7，8，9的第60百分位数为（ ）． A．5 B．6 C．7 D．8 14．设不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 15．对于三棱锥，“、、所在直线两两垂直且与平面所成角相等”是“三棱锥是以为顶点的正三棱锥”的（ ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 16．一个台风的中心正在匀速向西移动，台风在移动过程中始终保持圆形．已知该台风正在减弱，台风面积的减小的速率与台风的半径成正比，则更能反映台风影响范围（即台风扫过的区域）的图是（ ）． A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知，，函数在点处的切线方程为． （1）求函数的表达式； （2）求函数的单调区间与极值点（需说明是极大值点还是极小值点）． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知实数，函数的定义域为，若函数满足： ①对于任意，有；②对于任意，当时，恒成立， 则称为“积轴函数”． （1）设，证明：是“1积轴函数”； （2）设，且是“积轴函数”，求实数的值． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，，． （1）求的长； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，且直线与轴不重合． （1）求椭圆的焦距与离心率； （2）若轴上一点满足，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若，求的面积． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知圆上有三点，其中，． （1）若，，当在轴右侧时，求的取值范围； （2）已知点，若，，求，的取值范围； （3）若，且对于任意，，，，都存在使得且，求实数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $