广东江门市鹤山市昆仑学校2026-2027学年度九年级第一学期10月学情自测数学卷

鹤山市昆仑学校2026-2027学年度第一学期综合训练 九年级数学试卷 一、选择题(共10题，每题3分，共30分) 1．下列方程中，不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根是（    ） A． B．， C． D．， 3．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 5．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．已知抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 7．将二次函数化为的形式，结果为（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 9．已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(共5题，每题3分；共15分) 11．若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 12．已知一元二次方程的两根为，那么的值为__________． 13．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 14．已知点都在抛物线 上，则 的大小关系为___________． 15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A(﹣3，y1)、点B(﹣，y2)、点C(7，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论有_____． 三、解答题(共3题，每题8分，共24分) 16．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 17．（本题8分）已知关于x的一元二次方程 (1)当方程有实数根时，求m的取值范围； (2)设方程的两个实根分别是，，且满足，求m的值． 18．（本题8分）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 四、解答题(共3题，每题9分；共27分) 19．（本题9分）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点． (2)当m为何值时，该函数的图象经过原点． (3)若函数图象的顶点在第二象限，求m的取值范围． 20．（本题9分）如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．求这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A的水平距离x（单位：m）的函数解析式． 21．（本题9分）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 五、解答题(共2题，每题12分；共24分) 22．（本题12分）类比探究题：    (1)【旧知复习】一次函数和方程（组）以及不等式之间有着密切的联系，通过一次函数图象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解等，所含的数学思想是_________，如图1，直接写出方程的解为_________；不等式的解集为_________；如图2，写出二元一次方程组的解为 ，不等式的解集为_________； (2)【类比应用】类比一次函数的学习，可以延伸到其他函数，通过图象解决方程及不等式的问题． 已知，如图3，函数的图象与x轴的交点为，则方程的解为_________；不等式的解集为_________； (3)【拓展拔高】如图4，函数的图象与过且平行于x轴的直线交于两点，根据图象求： ①方程的解； ②不等式的解集． 23．（本题12分）综合与探究 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观表示．把方程变形为，即．配方的过程可以看成将一个长为，宽为，面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 配方的过程： ，（如图（1）） ，（如图（2）、（3）） ，（如图（4）） ．（如图（5）） 【初步应用】 (1)如图（6）是利用矩形割补对方程配方的结果，则______________；由图（6）可知方程配方的结果是______________． 【综合应用】 (2)如图（7），将面积为8的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求出的值． 【迁移应用】 (3)现有长为，宽为，面积为的矩形（，，），，为常数，如图（8），请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画图时，将，标在对应线段旁）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C D C D B A C 1．C 【分析】根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0）逐项判断即可． 【详解】解：A．，是一元二次方程，故该选项不符合题意； B．方程写成一般形式为，是一元二次方程，故该选项不符合题意； C．方程，左边是分式形式，不是一元二次方程，故该选项符合题意； D．方程，写成一般形式为，是一元二次方程，故该选项不符合题意． 2．B 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解： ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解答的关键． 3．C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 4．C 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 5．D 【分析】根据x个队参赛，每队与其余个队各赛1场，每两队仅赛1场，总场数为36，列出方程即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意可列方程为： ， 整理得：． 6．C 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数顶点式性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，结合选项情况进行分析，即可作答． 【详解】解：∵中的 ∴函数的开口向下， 故A选项不符合题意； ∵， ∴对称轴是，顶点坐标为， 故B选项不符合题意；C选项符合题意； ∵函数的开口向下，对称轴是， ∴当时，y随x的增大而增大， 故D选项不符合题意； 故选：C． 7．D 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，熟知配方法是解题的关键． 先提取二次项系数2，再根据完全平方公式整理即可． 【详解】解：， 故选：D． 8．B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 9．A 【详解】解：∵图像开口向上 ∴ （A 正确）； ∵对称轴在右侧， ∴， ∴ （B 错）； ∵与 轴交于正半轴 ∴ （C 错）； ∵ 时， ， ∴（D 错）． 10．C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 11． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 即． 12． 【分析】根据一元二次方程根与系数关系和根的定义得到再整体代入即可求出答案． 【详解】解：一元二次方程的两根为 ． 13． 【分析】根据二次函数图像平移规则“左加右减，上加下减”，按平移顺序依次计算即可得到结果． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得到的抛物线的解析式为． 14． 【分析】分别将、、代入函数表达式计算，再比较函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故 15．（1）（2）（5） 【分析】根据抛物线的对称轴为直线x＝2，则有4a+b＝0，可得（1）正确；根据二次函数的对称性得到当x＝3时，函数值大于0，则9a+3b+c＞0，即9a+c＞﹣3b，可得（2）正确；由于x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，易得c＝﹣5a，所以8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有7a﹣3b+2c＜0，可得（3）错误；利用抛物线的对称性得到（﹣3，y3）在抛物线上，然后利用二次函数的增减性可得（4）错误；作出直线y＝﹣3，然后依据函数图象进行判断可得（5）正确；综上即可得答案． 【详解】∵x＝﹣＝2， ∴4a+b＝0，故（1）正确． ∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=2， ∴另一个交点为（5，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当x＝3时，y＞0，即9a+3b+c＞0， ∴9a+c＞﹣3b，故（2）正确． ∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0 ∵b＝﹣4a， ∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a， ∴7a﹣3b+2c＝7a+12a﹣10a＝9a， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴7a﹣3b+2c＜0，故（3）错误； ∵抛物线的对称轴为x＝2，C（7，y3）在抛物线上， ∴点（﹣3，y3）与C（7，y3）关于对称轴x＝2对称， ∵A(﹣3，y1)在抛物线上， ∴y1=y3， ∵﹣3＜﹣，在对称轴的左侧，抛物线开口向下， ∴y随x的增大而增大， ∴y1＝y3＜y2，故（4）错误． 方程a（x+1）（x﹣5）＝0的两根为x＝﹣1或x＝5， 过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根， ∵x1＜x2，抛物线与x轴交点为（-1，0），（5，0）， ∴依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故⑤正确． 故答案为：（1）（2）（5） 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查公式法，因式分解法求一元二次方程， （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）先将等于右边提取公因数2，然后移项，再提取公因式，根据因式分解法求一元二次方程的解方法即可求解 【详解】（1）解：， ∴，， ∴， 解得，； （2）解：， 等于右边提取公因式得，， 移项得，， 提取公因式得，，即， ∴或， 解得，． 17．(1)的取值范围为 (2)的值为 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数关系得到，由得到，再解方程，然后根据（1）中m的取值范围确定m的值． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 即m的取值范围为； （2）解：根据根与系数关系得，， ， ∴， 解得：，， ， 的值为． 18．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 19．(1) 证明：∵二次函数的表达式为， ∴， ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质； （1）计算二次函数的判别式，即可证明不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）将把代入二次函数解析式即可求出m的值； （3）根据抛物线的解析式求出抛物线的顶点坐标，然后根据顶点在第二象限即可求出m的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：把代入中， 得，解得 ∴当时，该函数的图象经过原点 （3）解：抛物线的对称轴为直线， 把代入中，得， ∴抛物线的顶点为 ∵函数图象的顶点在第二象限， ∴． 20． 【分析】先建立直角坐标系，再设函数解析式为，然后将点代入解析式可得答案． 【详解】解：如图所示，以点A为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，由题意可知点，其过点， 设球的竖直高度y关于水平距离x的函数关系式为， ∴， 解得， ∴函数解析式为． 21．（1）①；②的长为 10 米；（2）一只鸡每天平均传染7只鸡 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意建立方程模型并求解． （1）①根据建筑材料总长和门的宽度，结合矩形边长关系用含的代数式表示的长；②根据面积公式建立方程求解的长； （2）根据传染问题的数量关系建立方程求解一只鸡平均每天传染的鸡的数量； 【详解】解：（1）①∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为 240 平方米，此时的长为 10 米； （2）解：设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． 22．(1)数形结合思想，，， (2)或1， (3)①方程的解为：或0；②不等式的解集为：或 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数与不等式的解集的关系，涉及了函数思想以及类比思想： （1）利用数形结合思想解答，即可求解； （2）根据题意可得当时，或1，再利用数形结合思想解答，即可求解； （3）①根据题意可得当时，或0，即可求解；②观察图象可得当时，或，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：所含的数学思想是数形结合思想， 观察图象得：当时，， ∴方程的解为； 当时，， ∴不等式的解集为； 观察图象得：当时，函数的图象在的图象的上方， ∴不等式的解集为； 故答案为：数形结合思想，，， （2）解：∵函数的图象与x轴的交点为， ∴当时，或1， ∴方程的解为或1； 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的上方， ∴不等式的解集为； 故答案为：或1； （3）解：①∵函数的图象与过且平行于x轴的直线交于两点， ∴当时，或0， ∴方程的解为或0； ②观察图象得：当时，或， ∴不等式的解集为或． 23．(1)， (2)；或 (3)解：根据题意，画图如下： ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据题意，得，再把3平均分成2份，一份图形的面积为，根据，解得即可；根据题意，得配方结果为，结合已知确定答案即可． （2）类比上述方法，结合正整数解的意义，估算求解即可． （3）先根据一个矩形的面积为，得到四个矩形的面积为，再应用给出的方法拼成一个边长为的大正方形，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故， 解得； ， ， ． （2）解：根据题意，得， ， ， ， 故方程的正数解为， 由方程有正整数解，且， ， 故x的正整数值为1或2； 或． （3）解：略． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $