精品解析：湖北省武昌实验中学2026-2027学年高一上学期10月阶段性训练数学试题

高一年级十月阶段性训练 数学 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 对于集合，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为1 B. 函数的最小值为2 C. 若且，则的最小值为2 D. 函数的最小值为 8. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B. “关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C. 真包含于 D. 命题“，”为假命题 10. 若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值可以为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 11. 已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则关于x的不等式的解集也为M B. 若，则的最小值是3 C. 若，则关于x的不等式的解集为或 D. 若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 13. 若对任意，不等式恒成立，则实数___________. 14. 设整数集，，且，若，满足，的所有元素之和为，求=________； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，且． （1）求的值； （2）设全集，求的子集的个数． 16. 已知，． （1）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若是的必要条件，求实数m的取值范围． 17. 解关于x的不等式. 18. 已知集合，. （Ⅰ）若，求的取值范围. （Ⅱ）若，求的取值范围. 19. 设集合是正整数集的非空子集，对任意，，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． （1）当时，写出集合的差倍集； （2）设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； （3）设，若存在两个正整数，使，中均恰有两个元素，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级十月阶段性训练 数学 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，因此 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，改变量词并否定结论即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3. 对于集合，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】考查集合的交集、并集运算和集合的包含关系，充要条件的判定. 【详解】，且， 故选：C. 4. 已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，， 因为， 所以， 即，故A错误. 对于B，若，，例如，，，， 此时，故B错误. 对于C，因为，所以，， 因为，所以，即，故C正确. 对于D，若，，例如，，， 此时，故D错误. 6. 已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式恒成立，故只需，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出的最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点睛：关键是对已知条件等式变形，利用基本不等式的乘“1”法，求出的最小值，从而即可顺利得解. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为1 B. 函数的最小值为2 C. 若且，则的最小值为2 D. 函数的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式的“一正二定三相等”与“和定积最大，积定和最小”的要求逐一推理判断各选项即可. 【详解】对于A，因，得，， 当且仅当时，即时等号成立，即的最大值为，故A错误； 对于B，因，， 由可得，方程无解，则，即函数的最小值不是2，故B错误； 对于C，由，，可得，即， 解得因，则得，即无最小值，故C错误； 对于D，设，因，则，，当且仅当，即时等号成立， 也即时，函数的最小值为，故D正确. 故选：D. 8. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B. “关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C. 真包含于 D. 命题“，”为假命题 【答案】BC 【解析】 【详解】A选项，当时，若，则，所以是的不充分条件， 反之，若，则必然成立， 所以是的必要条件，则是的必要不充分条件，所以A选项错误； B选项，关于的不等式恒成立等价于，解得：， 所以是不等式恒成立的充分不必要条件，所以B选项正确； C选项，设集合，集合， ，当时，为奇数， ，当时，为奇数或偶数， 所以真包含于，所以C选项正确； D选项，不妨设，由， 所以恒成立，则，为真命题，所以D选项错误. 10. 若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值可以为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】BC 【解析】 【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果. 【详解】由，可得， 由题意当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，与矛盾； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，可能为或， 当为时，则，且，无解， 当整数解为时，，且，则得； 综上，实数的取值范围是. 故选：BC. 11. 已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则关于x的不等式的解集也为M B. 若，则的最小值是3 C. 若，则关于x的不等式的解集为或 D. 若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据同号异号可判断A；根据解集可判断出的正负，根据韦达定理可得到它们之间的关系，代入后根据基本不等式可判断B，代入后解不等式可判断C；根据值域为，可得，从而可得的表达式，代入后换元，根据基本不等式可得最值，从而判断D. 【详解】当同号时，，即，亦即，此时解集相同； 当异号时，，即，亦即，显然一元二次不等式与的解集不同，故A错误. 若，即的解集为， 则是方程的两个根，所以， 所以， 所以， 又，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是3，故B正确. 若，即的解集为， 则是方程的两个根， 所以，所以， 则关于x的不等式，即， 两边同时除以负数a得，即，其解集为或，故C正确. 因为一元二次函数的值域为，且， 所以，所以， 所以，由知， 令，则，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 13. 若对任意，不等式恒成立，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】对参数的取值范围分类讨论，再由不等式恒成立得出相应方程即可求得实数的值. 【详解】当时，对任意可知， 若不等式恒成立，则对任意恒成立； 易知函数的图象以为对称轴，所以在上单调递增， 又因为，即与轴有两个交点，易知， 所以对任意不恒成立，不合题意； 当时， 易知时，,当时，； 令可得，又， 结合已有分析可知当时，，当时，； 若对任意，不等式恒成立，可知才能满足题意； 解得或(舍). 所以. 故答案为： 14. 设整数集，，且，若，满足，的所有元素之和为，求=________； 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，结合已知条件可得，然后分情况讨论，和时，利用集合元素的互异性和确定性即可求解. 【详解】由可得，所以， 因为，所以， 若，因为，所以， 所以，，，故 所以， 若则，可得或 与矛盾，所以此时不成立， 若，则，所以， 所以，所以即 显然，可得或， 因为与矛盾，所以，， 此时，，所以， 由题意知：，即，解得或（舍） 综上所述：，，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，且． （1）求的值； （2）设全集，求的子集的个数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因， 由，可得， 即是方程的解， 则， 解得或， 当时，，此时，不合题意，舍去； 当时，，满足. 所以. 【小问2详解】 由(1)可知，，，则， ， 所以的子集的个数为个. 16. 已知，． （1）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，可得集合是集合的真子集，根据集合的包含关系列式求解即可； （2）由题可得集合是集合的子集，根据集合的包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 ，即，解得， 由是的充分不必要条件， 可得集合是集合的真子集， 所以或，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 若是的必要条件，则集合是集合的子集， 当集合为空集时：，解得； 当集合不为空集时：，解得， 综上：实数的取值范围是. 17. 解关于x的不等式. 【答案】当时，原不等式的解集为：；当时，原不等式的解集为：；当时，原不等式的解集为：；当时，原不等式的解集为：；当时，原不等式的解集为： 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，分类讨论，求不等式的解集. 【详解】原不等式可化为：. 若，则不等式的解为：. 若，则，所以或. 若，则. 当，即时，不等式解集为：； 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解集为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 18. 已知集合，. （Ⅰ）若，求的取值范围. （Ⅱ）若，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）首先求出集合，及，再根据，得到不等式组，解得即可； （Ⅱ）首先求出，根据，则方程的小根大于，大根小于或等于，令，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为 因，即，即解得或 所以 表示的解集； （Ⅰ）因为，由题意知 所以方程的小根小于或等于，大根大于或等于，令 当则，不等式组无解， 当则，解得， 当则，解得 由此得． （Ⅱ） 由 所以方程的小根大于，大根小于或等于，令 所以解得 【点睛】解决集合的关系问题，一般先化简各个集合，然后利用交集、并集、补集的定义求出结果，属于中档题． 19. 设集合是正整数集的非空子集，对任意，，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． （1）当时，写出集合的差倍集； （2）设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； （3）设，若存在两个正整数，使，中均恰有两个元素，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）基础枚举法：差倍集问题只需按 枚举所有元素对，计算 后去重，即可得到差倍集；（2）分类讨论思想：含参数的差倍集元素个数问题，需按参数与集合已有元素的大小分类，通过“运算结果相等”建立方程求解参数；（3）一般化与函数值域：多参数范围问题先推导一般规律，将多参数统一为单一变量，结合约束条件利用函数单调性求值域. 【小问1详解】 根据“差倍集”定义：对任意且，计算，所有运算结果构成集合， 枚举中所有满足的元素对并计算： ：，：， ：， 对结果去重，得差倍集 【小问2详解】 由集合元素的互异性，且，按的大小分两类讨论， 当，此时正整数或， 若，，运算结果为：，，，去重得，恰有2个元素，符合条件； 若，，运算结果为：，，，去重得，有3个元素，不符合条件； 当，此时所有的运算结果为：，，， 三个结果中且，即是唯一最大值， 要使恰有两个元素，需剩余两个结果相等，即 ， 时，运算结果为，，恰有2个元素，符合条件； 综上，满足条件的的值为2和10. 【小问3详解】 先推导一般规律：对集合（，，），差倍集恰有两个元素的充要条件. 当，此时所有的运算结果为：，，， 其中是唯一最大值（且）， 要使差倍集恰有两个元素，需剩余两个结果相等，即 ， 此时差倍集为，恰有2个元素； 当，此时所有的运算结果为：，，，其中是唯一最大值（）， 要使差倍集恰有两个元素，需剩余两个结果相等，即， 此时需为正整数，即能被3整除（），差倍集为，恰有2个元素； 由题意，存在使两个集合的差倍集均恰有两个元素，因此必满足， 设（，由得），则较小值，较大值， 代入条件，得，展开整理得， 得，因为，且，故的取值集合为， ，该函数是关于的严格增函数， 当时，取最小值，当时，取最大值， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $