精品解析：湖北省武昌实验中学2025-2026学年高一上学期十二月月考数学试卷

湖北省武昌实验中学高一年级十二月月考 数 学 试 卷 命题教师：高一数学组 考试时间：2025年12月22日14:00—16:00 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点在幂函数的图像上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值. 【详解】由于函数为幂函数，则，解得，则， 由已知条件可得，得，因此，. 故选：A. 2. 化简的值得(   ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用指数与对数的运算法则求解即可. 【详解】由 ，故选D. 【点睛】本题考查了对数的运算法则、指数的运算法则，考查了推理能力与计算能力以及应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 3. 在n＝log(m－3)(6－m)中，实数m的取值范围是 A. m>6或m <3 B. 3< m <6 C. 3< m <4或4< m <6 D. 4< m <5 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得∴3<m<6且≠4. 考点：对数的定义. 4. 函数在上单调递增，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域求得的取值范围. 【详解】由复合函数单调性遵循“同增异减”可知，因为在上单调递增，且在上单调递增， 故在上也单调递增，且在恒成立， 由此可得：，解得， 故选：A. 5. 若函数有最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可. 【详解】设，则，，有最小值. 当时，二次函数开口向下，无最小值； 当时，无最小值； 当时，若在上有最小值，则对称轴，解得. 故选：A 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，由此可排除两个选项，再取特值计算所对函数值正负即可判断作答. 【详解】显然的定义域为，且， 于是得为偶函数，其图象关于y轴对称，选项B和C不满足； 而，显然选项D不满足， 所以函数的图象大致为A. 故选：A 7. 已知函数，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为奇函数，然后对函数表达式进行有理化化简，再用“同增异减”法则结合奇偶性判断复合函数单调性，以及利用指数，对数函数的单调性，进而可得解. 【详解】函数的定义域为, ,所以函数为奇函数， 又 ， 在单调递增，可以得到函数在上单调递增， ：因为单调递减，所以，即； ：因为，，即； ：因为，，且，， 要证，等价于证； 因，则等价于证， 因为，不等式两边同乘（不等号方向不变）， 只需证： 因为；；， 结合，得，故， 将上述式子代入，展开得： ， 则= ， 因，即， 因是单调递增函数，故，即， 因此，即，原不等式成立， 因，且单调递增，故，综上， 所以：， 因为单调递增，所以. 故选：A. 8. 设分别是函数和的零点，其中，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据零点的定义得到的关系，再利用函数的单调性求出的取值范围. 【详解】因为分别是函数和的零点， 所以有，分别化简可得. 因为，所以. 因为与互为反函数，其图像关于直线对称，且的图像也关于直线对称， 由，令，可得，即，故. 又因，所以，因此，即. 因此，令， 设，则， 所以在上单调递增，所以，即 所以的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】运用换底公式，结合根式与分数指数幂的互化公式、指数幂的运算公式、指数式与对数式的互化公式逐一判断即可. 【详解】A：根据对数的换底公式，可知，所以本选项运算不正确； B：因为，所以本选项运算正确； C：因为，所以， 因此，所以本选项运算不正确； D：因为，所以本选项运算正确， 故选：BD 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. B. C. 函数有唯一零点 D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，将代入解析式，化简整理即可判断A正确； 对于B选项，通过代入作差，计算可得，故B错误； 对于C选项，令，化简可得，即，方程无解，故C错误； 对于D选项，化简不等式，可得，即，解不等式即可，故D正确. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以，故A选项正确； 对于B，根据解析式，得 ， 所以，所以，故B选项错误； 对于C，令，即， 则，即，所以，方程无解，故C选项错误； 对于D，不等式，即，化简得， 即，所以，所以， 所以，即，所以，解不等式得，即，故D选项正确. 故选：AD 11. 已知函数，函数，则下列结论正确的是（    ） A. 若，则有个零点 B. 若，则有6个零点 C. 若有5个零点，则的取值范围为 D. 存在，使得没有零点 【答案】AB 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用函数与方程的思想并由换元法令，将函数零点个数问题转化为函数图象交点个数的问题，讨论参数的取值与零点个数的关系即可得出结论. 【详解】作出函数的图象如下： 令，则由可得， ①当时，则方程有1个根，且，此时方程只有1解，所以只有1个零点； ②当，则方程有两个根或， 由图知仅有一解，有2解，所以可知有个零点； ③当时，则方程有三个根，且， 当时，此时方程只有1解，当时，此时方程有2解， 当时，此时方程有2解，所以此时有5个零点； ④当时，则方程有三个根分别为， 易知方程有1解，方程有2解，方程有3解，所以此时有6个零点； ⑤ 当时，方程有两个根，且， 当时，此时方程有2解，当时，此时方程有3解，所以有5个零点， ⑥当时，则方程有1个根为4，此时方程有2解，所以有2个零点， ⑦ 当时，方程有1个根且，由可得方程仅有1解，，所以有1个零点， 综上所述，若，则有个零点，即A正确； 若，则有6个零点，可知B正确； 若有5个零点，则实数的取值范围为，因此C错误； 结合已有分析可知，对任意实数，都有零点，因此D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算性质化简求值即可. 【详解】，. 故答案为：. 13. 已知函数，正实数满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得到函数的图象关于点对称，进而求得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】， 易知函数为奇函数， 由于时,单调递增且函数值恒正，所以在上递减， 故在上是减函数，因此是减函数. ，即， 因此， 当且仅当时，即取得. 故答案为：. 14. 对任意的，不等式恒成立，则实数_________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数有意义可得：，将不等式等价转化为在上恒成立，构造函数 ，由函数在上单调递增，故时，则，当时， ，则，再根据二次函数的图象和性质即可求出实数的值，最后取交集即可求解. 【详解】由题意可知：且成立，则， 因为对任意的，不等式恒成立， 也即在上恒成立， 记，则在上单调递增， 当时，，即恒成立，则，所以，解得：； 当时，不等式显然成立； 当时，，即在恒成立， 则，因为在上单调递减，所以时，，解得：， 因为对任意的，不等式恒成立， 则综上可知：实数的值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知， （1）用区间表示A和B； （2）已知函数，，求的最大值，并写出此时x的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据对数型复合函数的定义域及单调性求解即可； （2）根据对数的运算化简可得，进而结合的取值范围求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得且，即， 由，得，即. 【小问2详解】 由， ， 因为，则， 则，即时，取得最大值. 16. 设函数（，）， （1）若，求使不等式恒成立的的取值范围； （2）若，，且在上的最小值为，求m的值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）先得函数是上的奇函数，且函数是减函数，进而转化问题为不等式恒成立，进而结合求解即可； （2）先由求得，再令，则根据其单调性可得，，进而根据二次函数的性质讨论即可求解． 【小问1详解】 当时，，， 则，所以是奇函数， 因为为减函数，为增函数， 所以是减函数， 由不等式，可得， 则，即恒成立， 所以，即，解得， 故的取值范围是. 【小问2详解】 由，得，解得或（舍）， 所以， 令，当时，， 所以，开口向上，对称轴为， ①当即时，，解得（舍去） ②当即时，，解得，符合题意. 综上所述，. 17. 我们一般使用分贝（符号是）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为，科学研究表明，它们满足关系：，其中为修正系数（常数），为普通人能听到的声音的最小强度（常数），清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为，上学高峰时汽车川流不息声音强度达到，经某科技爱好者用分贝测试仪测得声音等级分别为和. （1）求与的值，并求当测得同学们早读声音等级为时，早读的声音强度； （2）某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？ 【答案】（1），； （2）倍. 【解析】 【分析】（1）利用给定条件求解出，再分别代入求值即可. （2）利用给定条件建立方程得到，利用对数的运算性质求解出，得到答案即可. 【小问1详解】 当时，，当，， ，， 两式解得，即， ， 即， 所以早读声音强度为； 【小问2详解】 设平时中午的声音强度为，今天中午的声音强度为， ，，即， ，解得， 所以平时中午的声音强度是今天的倍. 18. 已知函数（且）． （1）求的定义域； （2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围； （3）是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解； （2）根据题意分析可知在上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解； （3）根据定义域和值域可得，且，结合单调性分析可知有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解. 【小问1详解】 由，得或． 所以的定义域为． 【小问2详解】 令，可知在上为增函数， 可得，且，可知的值域为， 因为，则在定义域内为减函数，可得， 所以函数在上的值域为， 又因为函数在有且只有一个零点， 即在上有且只有一个解， 所以b的范围是． 【小问3详解】 存在，理由如下： 假设存在这样的实数a，使得当的定义域为时，值域为， 由且，可得，且． 令，可知在上为增函数， 因为，则在定义域内为减函数， 所以在上为减函数， 可得， 可知在上有两个互异实根，可得， 即有两个大于1相异实数根． 则，解得， 所以实数a的取值范围. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法 （1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解． 19. 设常数. （1）已知的图象过点，求实数的值； （2）当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个实数根，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，求出值即可； （2）将，代入解析式，得，利用换元法结合二次函数的单调性求出函数的最小值，根据已知条件有，即可求解； （3）利用换底公式化方程为，利用换元法及韦达定理得，根据解出的范围即可. 【小问1详解】 因为图象过点，所以， 所以，解得. 【小问2详解】 当时，， 因为，所以， 令，则有，， 函数的对称轴为，所以， ，所以， 因为对任意，都有恒成立， 所以，所以，即实数的取值范围为：. 【小问3详解】 因为，则， 化为， 整理有：， 因为，所以， 所以原式可化为：， 令，则有， ， 所以方程有两个根，设为、，且，， 所以，， ， 又因为， 所以，因为，所以， 所以，即，， ，，，， 又因为，所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换底公式以及换元法得到：，然后利用解出的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省武昌实验中学高一年级十二月月考 数 学 试 卷 命题教师：高一数学组 考试时间：2025年12月22日14:00—16:00 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点在幂函数的图像上，则（ ） A. B. C. D. 2. 化简的值得(   ) A. B. C. D. 3. 在n＝log(m－3)(6－m)中，实数m的取值范围是 A. m>6或m <3 B. 3< m <6 C. 3< m <4或4< m <6 D. 4< m <5 4. 函数在上单调递增，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 若函数有最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则（    ） A. B. C. D. 8. 设分别是函数和的零点，其中，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. B. C. 函数有唯一零点 D. 不等式的解集为 11. 已知函数，函数，则下列结论正确的是（    ） A. 若，则有个零点 B. 若，则有6个零点 C. 若有5个零点，则的取值范围为 D. 存在，使得没有零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则的值为________． 13. 已知函数，正实数满足，则的最小值为________． 14. 对任意的，不等式恒成立，则实数_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知， （1）用区间表示A和B； （2）已知函数，，求的最大值，并写出此时x的值． 16. 设函数（，）， （1）若，求使不等式恒成立的的取值范围； （2）若，，且在上的最小值为，求m的值. 17. 我们一般使用分贝（符号是）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为，科学研究表明，它们满足关系：，其中为修正系数（常数），为普通人能听到的声音的最小强度（常数），清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为，上学高峰时汽车川流不息声音强度达到，经某科技爱好者用分贝测试仪测得声音等级分别为和. （1）求与的值，并求当测得同学们早读声音等级为时，早读的声音强度； （2）某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？ 18. 已知函数（且）． （1）求的定义域； （2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围； （3）是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 设常数. （1）已知的图象过点，求实数的值； （2）当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个实数根，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $