精品解析：湖北武汉市第四中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

武汉四中2026～2027学年上学期高一月考 数学试卷 考试时间：2026年10月 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 3. 下列表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合各个选项，利用函数的定义，即可求解. 【详解】由A、B、C选项的图知，存在的值，不止一个与之对应， 由函数的定义知A，B，C选项对应的图形不表示函数， 对于D，由图知，每一个的值，有且只有一个值与之对应，所以D正确． 故选：D. 4. 下面四个不等式中解集为空集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出各选项中不等式的解，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，解不等式得，A不满足条件； 对于B选项，由得，该不等式的解集为，B不满足条件； 对于C选项，由可得，解得或，C不满足条件； 对于D选项，因为，故不等式的解集为空集，D满足条件. 故选：D. 5. 据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y（单位：百件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（ ） A. 80元 B. 8000元 C. 90元 D. 9000元 【答案】B 【解析】 【分析】根据“总利润=单件利润×销售量”建立利润函数，换元后利用基本不等式求解最小值. 【详解】设该超市每月销售该商品所获得的利润为元，由题意可知，每件商品的利润为元，每月销售量为件（的单位为百件）， 因此利润函数为， 令 ，由 得 ，且 ，代入得： ， 由基本不等式得，当且仅当 ， 即 ，（）时取等号，此时 元， 代入利润函数（元）. 6. 若不等式的解集是，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为， 当，即时，若不等式的解集是， 则，解得， 综上所述，的取值范围为． 7. 下列说法中正确的个数为（ ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】对于（1）函数的定义域不可取，的定义域为，故两者不是一个函数； 对于（2）函数的定义域为，函数的定义域为或，故不为同一个函数； 对于（3）函数的定义域为，函数的定义域为，故不是同一个函数； 对于（4）、（5）两者定义域均为，对应关系相同，故为同一个函数； 对于（6）函数的定义域为，函数定义域为，故两者不为一个函数. 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立. 【详解】因为， 所以由题意 ， 因为，所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立， 综上所述，的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 命题“若，则”为真命题． B. “”是“”的充分不必要条件． C. 空集是任何集合的真子集． D. 命题“若，则且”为真命题． 【答案】ABD 【解析】 【详解】当时，，A选项正确； 当时，，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件.B选项正确； 空集是任何非空集合的真子集，C选项错误； 因为，所以当，则且，所以D选项正确. 10. 若函数，则（ ） A. B. 的定义域为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】依次代入求值求定义域、计算复合函数、判断，逐一检验四个选项对错. 【详解】对于A：将代入，得，A正确； 对于B：由，解得或，所以定义域为，B正确; 对于C：由A得，则，C错误；  对于D：代入得，D错误. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可推出，故A正确；由， 及可推出，故B不正确；由及可推出，故C正确；由及可推出，故D正确. 【详解】因为，，所以， 所以，因为，所以，即，故A正确； 因为，，所以，故B不正确； 因为，，所以 ，故C正确； 因为，，所以，所以，，所以， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以，即，故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 程大位是我国明代著名数学家、珠算发明家．其杰作《算法统宗》里的一道题为：平地秋千未起，扳绳离地一尺，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．仕女佳人争蹴，终朝语笑欢戏，良工高士请言知，借问索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，此时踏板升高离地5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长为______尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】由题设，令，，，设绳索长度为尺，绳索顶端距踏板的竖直距离为尺，应用勾股定理列方程求长度. 【详解】根据题意，如图所示的几何图形，则，，， 设绳索长度为尺，则秋千被向前推10尺时，绳索顶端距踏板的竖直距离为尺， 此时，，刚好构成一直角三角形， 则根据勾股定理可列方程为，解得， 即绳索长度为14.5尺． 故答案为：14.5 14. 已知，，若，则实数的取值集合是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的性质以及交集的含义计算即可. 【详解】根据题意，当时，，解得，此时符合题意； 当时，； 当时，，此时符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，或，要使得， 则由于抛物线开口向上，经过定点，所以为了满足题意， 对称轴，解得，所以其解集为； 综上，实数的取值集合是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出命题为真时集合的范围，由交集结果得，代入方程求解，再回代检验舍去不符合条件的解； （2）由推出，分方程无实根、有实根且两根均小于两类，列不等式组求解的取值范围． 【小问1详解】 已知，，则，解得， 故集合， 集合， 已知，则，化简得， 解得或； 当时，方程为，解得或，则， 不合题意，舍去； 当时，方程为，解得或，则，符合题意； 综上可得，． 【小问2详解】 由可知，即方程的实根均小于或， 若，则，解得， 若，则，解得， 设方程的两根分别为、， 由题意可得，解得. 综上，实数的取值范围为． 16. 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． （2）请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 【答案】（1）采用策略①购买的产品总量为，总金额为；策略②购买的产品总量为，总金额为 （2）采用策略②比采用策略①更经济,理由如下： 采用策略①，两次购买物品的数量均为m，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为n，购买物品的数量为， 则两次平均价格为， 因为，，于是， 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当时，，采用策略②比采用策略①更经济． 【解析】 【分析】（1）代入数值计算，直观对比两种策略采购数据； （2）通用推导平均价格，作差比较大小判断经济性，再分情况讨论得出结论． 【小问1详解】 因为，，，， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为，， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为，，则策略②购买的产品总量为，总金额为． 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若，对任意，恒成立，求a的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由不等式的解集为，得到和是方程的两个根，结合韦达定理求解； （2）对分，进行分类，利用恒成立的不等式列式求解. 【小问1详解】 不等式的解集为，说明和是方程的两个根，且， 由韦达定理得：  ，解得； 【小问2详解】 当时，，一次函数不可能对任意都满足，不符合题意； 当时，二次函数对任意恒成立，需满足， 其中判别式， 由得，解得，结合，得， 综上，a的取值范围是. 18. 法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数、满足，，求的值； （3）已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用两个等式特征，可将可看作方程的两个异实数根，由韦达定理即可求出所求式的值； （2）由题设等式，可将可看作方程的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解即得； （3）由题意，使，求得，利用韦达定理求得，将所求式整理化简得，结合题设条件，即可求得的所有取值. 【小问1详解】 由，，， 可将可看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理，， 所以； 【小问2详解】 由，， 可将可看作方程的两个实数根， 由解得或， 则有或， ① 当时，； ② 当时，． 所以的值为22或37． 【小问3详解】 由题意和韦达定理，可得，， 且，解得， 故 因，又，故必为的因数， 则的值可能为， 则实数k的值可能为，又， 故k的所有取值为． 19. 已知关于的不等式为：； （1）若，解上述关于的不等式， （2）当时，解上述关于的不等式， （3），设（2）中不等式的解集是，若中有且只有三个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，化简得，再利用分式不等式即可求解. （2）不等式等价于，分，，，，五种情况讨论，即可求解. （3）由（2）可得到是中有且只有三个元素的必要条件，从而得，即可求解. 【小问1详解】 当时，，化简为， 即，解得或， 故时，关于的不等式解集为. 【小问2详解】 当时，由，可得， 即， 当时，，解得， 当时，由， 对于，可解得或， 当时，对于，可解， 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式解集， 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 由，且中有且只有三个元素，所以时不可能， 当时，，因为不符合题意，故舍去； 当时，， 因为中有且只有三个元素，所以，解得. 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉四中2026～2027学年上学期高一月考 数学试卷 考试时间：2026年10月 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 下列表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面四个不等式中解集为空集的是（ ） A. B. C. D. 5. 据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y（单位：百件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（ ） A. 80元 B. 8000元 C. 90元 D. 9000元 6. 若不等式的解集是，则的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中正确的个数为（ ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 命题“若，则”为真命题． B. “”是“”的充分不必要条件． C. 空集是任何集合的真子集． D. 命题“若，则且”为真命题． 10. 若函数，则（ ） A. B. 的定义域为 C. D. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则_________． 13. 程大位是我国明代著名数学家、珠算发明家．其杰作《算法统宗》里的一道题为：平地秋千未起，扳绳离地一尺，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．仕女佳人争蹴，终朝语笑欢戏，良工高士请言知，借问索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，此时踏板升高离地5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长为______尺． 14. 已知，，若，则实数的取值集合是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 16. 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． （2）请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若，对任意，恒成立，求a的取值范围； 18. 法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数、满足，，求的值； （3）已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 19. 已知关于的不等式为：； （1）若，解上述关于的不等式， （2）当时，解上述关于的不等式， （3），设（2）中不等式的解集是，若中有且只有三个元素，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $