精品解析：上海市闵行区鹤北初级中学2026-2027学年第一学期10月学情调研九年级数学试卷

鹤北中学2026学年第一学期10月学情调研九年级数学试卷26.0 一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 2. 已知，则下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知点D、E、F分别在的三边上，且，则下列等式不成立的是（） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，垂足分别是E，F．则图中的相似三角形有（ ）对． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7. 若的图像是抛物线，则a的值是________ 8. 抛物线的对称轴是______，顶点坐标是________． 9. 已知抛物线有最高点，那么的取值范围是___________． 10. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的表达式为_______ 11. 若抛物线的顶点在y轴上，则k的值是_______ 12. 若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是______． 13. 已知一个二次函数图像的对称轴是直线，在x轴上截得的线段长为4，与y轴交点的坐标为，则这个二次函数的表达式为________． 14. 如图，已知，，则的长为________． 15. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点（），则有．已知厘米，那么______厘米． 16. 如图，已知在中，点、在边上，点、在边上，分别平行于的直线和将分成面积相等的三部分，，则的长为________；与的相似比为________ 17. 如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是_______． 18. 如图，在矩形中，，将边绕点逆时针旋转，点落在处，连接、，若，则_______． 三、解答题（本大题共7题，19－22每题10分，23－24每题12分，25题14分，满分78分） 19. 如图，直线分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且，与交于点O，已知． （1）求的长； （2）当时，求的长． 20. 已知等边三角形的边长为4，点A的坐标为，点B在x轴负半轴上，点C在第三象限，边与y轴交于点D． （1）求B、C、D三点的坐标． （2）求图像经过B、C、D三点的二次函数的解析式． 21. 如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 22. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 23. 某校园超市销售甲、乙两款笔记本，下表是两次采购这两款笔记本的记录． 采购批次 甲款（本） 乙款（本） 总进价（元） 第一次 20 30 340 第二次 30 20 360 该超市每天销售的甲、乙两款笔记本共300本，且当天都能售完．已知甲款的售价为x（）元/本，乙款的售价为10元/本，甲款每天的销量y（本）与售价x（元/本）满足关系式，用w表示该超市每天销售这两款笔记本的总利润（单位：元）． （1）求甲、乙两款笔记本的进价分别为多少元/本； （2）求w关于x的函数表达式，并求当甲款的售价x为多少时总利润w最大，最大利润是多少元． 24. 如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． （1）求证： （2）联结，与相交于点O，若，求证：． 25. 如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） （1）求该抛物线的解析式 （2）求D，E两点的坐标 （3）“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤北中学2026学年第一学期10月学情调研九年级数学试卷26.0 一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为； 故选：A． 2. 已知，则下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 3. 已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵ ， ∴ ． 4. 如图，已知点D、E、F分别在的三边上，且，则下列等式不成立的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A和B；根据可判断C；根据，可判断D． 【详解】解：， ，故选项A成立； ， ，故选项B成立； ， ， ，故选项C成立； ，， ，而选项D中为，故选项D不成立． 5. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，相似三角形的判定，先根据直角三角形的两锐角互余得到，进而得到，即可得到，代入解题即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，，垂足分别是E，F．则图中的相似三角形有（ ）对． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，先得出，，再根据相似三角形的判定即可得． 【详解】解：如图，设交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 综上，图中的相似三角形有6对． 二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7. 若的图像是抛物线，则a的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】函数图像为抛物线说明该函数是二次函数，根据二次函数定义，二次项的次数为且二次项系数不为，据此列等式求解即可． 【详解】解：∵的图像是抛物线， ∴该函数为二次函数，需满足且， 由，得，即或 由，得 ∴ 8. 抛物线的对称轴是______，顶点坐标是________． 【答案】 ①. 直线 ②. 【解析】 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线，顶点坐标是． 9. 已知抛物线有最高点，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线有最高点，则抛物线开口向下，故二次项系数小于零，即，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的表达式为_______ 【答案】 【解析】 【分析】抛物线的开口方向和形状大小由二次项系数决定，两个抛物线开口方向、形状大小完全相同，则二次项系数相等，结合已知顶点坐标，利用顶点式即可写出抛物线表达式． 【详解】解：∵抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ∴抛物线的二次项系数为， ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线顶点式为，其中为顶点坐标， ∴代入得， 整理得． 11. 若抛物线的顶点在y轴上，则k的值是_______ 【答案】 【解析】 【分析】抛物线顶点在轴上，说明抛物线对称轴为轴，即对称轴，利用二次函数对称轴公式可得一次项系数为，据此求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴该抛物线的对称轴为轴，即对称轴为直线， 对于二次函数，对称轴为直线， 本题中，， 要使，需，即， 解得． 12. 若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】抛物线要求二次项系数不为，与轴有两个交点要求根的判别式大于，联立两个不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是抛物线，即二次函数， ∴二次项系数，解得． ∵抛物线与轴有两个交点， ∴根的判别式． 其中，，，代入得： ， 令，解得． 综上，的取值范围是且． 13. 已知一个二次函数图像的对称轴是直线，在x轴上截得的线段长为4，与y轴交点的坐标为，则这个二次函数的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称轴和x轴截得的线段长，可先求出二次函数与x轴的两个交点坐标，再设交点式解析式，代入y轴交点坐标求出系数，即可得到二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，在轴上截得的线段长为， ∴两个交点关于直线对称，每个交点到对称轴的距离为， ∴二次函数与轴的两个交点坐标为和， 设二次函数的表达式为， ∵二次函数图像过点， ∴将代入表达式得： ， 整理得， 解得， ∴二次函数的表达式为． 14. 如图，已知，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由 可得对应线段成比例，即 ，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴． 15. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点（），则有．已知厘米，那么______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性可得厘米，再根据黄金比值可得答案． 【详解】解：由题意得，厘米， ∵， ∴， ∴厘米． 16. 如图，已知在中，点、在边上，点、在边上，分别平行于的直线和将分成面积相等的三部分，，则的长为________；与的相似比为________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由 、 得 、 都与 相似；两条直线把 分成面积相等的三部分，故 、；再用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”分别求 的长与相似比． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，． ∵ 直线 、 把 分成面积相等的三部分， ∴ ，． ∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 同理 ， ∴ ， ∴ 与 的相似比为 ． 17. 如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，直线是第一象限的角平分线，故解析式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形边长和的坐标，即可得直线的解析式为，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长…，以此类推得出规律，即可得到第2024个正方形的边长． 【详解】解：根据题意，，即直线是第一象限的角平分线，则解析式为， 联立， 解得或． 故， ∴，，即第1个正方形边长为． ∵， ∴直线与直线平行， ∴直线的解析式中的x系数与直线的解析式中x系数相等，且经过． ∴直线的解析式为， 联立， 解得或． 故， ∴，，即第2个正方形边长为． ∵， ∴同理，直线的解析式中的x系数与直线的解析式中x系数相等，且经过， ∴直线的解析式为， 联立， ∴解得或． 故． ∴，即第3个正方形边长为． … 按此规律类推，第n个正方形的边长为． ∴第2024个正方形的边长是． 18. 如图，在矩形中，，将边绕点逆时针旋转，点落在处，连接、，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】过A作，设证明，根据相似三角形的性质得出，再运用勾股定理列方程解答即可； 【详解】解：将边绕点A逆时针旋转，如图所示，过A作于E， 则， 设 ∵ ∴ ， ， 又， ， ， ， ， 在中，， （负值已舍去）， ． 三、解答题（本大题共7题，19－22每题10分，23－24每题12分，25题14分，满分78分） 19. 如图，直线分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且，与交于点O，已知． （1）求的长； （2）当时，求的长． 【答案】（1）9 （2）4 【解析】 【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． (2) 利用平行线可证，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 20. 已知等边三角形的边长为4，点A的坐标为，点B在x轴负半轴上，点C在第三象限，边与y轴交于点D． （1）求B、C、D三点的坐标． （2）求图像经过B、C、D三点的二次函数的解析式． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，根据等边三角形的性质以及勾股定理即可求解坐标，再求解直线的表达式，即可求解点的坐标； （2）运用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：过点作轴于点， ∵等边的边长为 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 设直线，则代入点可得， 解得 ∴直线 当时， ∴； 【小问2详解】 解：设经过B、C、D三点的二次函数的解析式为 代入点，，， 则 解得 ∴解析式为． 21. 如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质、对顶角相等和三角形内角和即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一即可得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，根据等式的性质和等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】（1） （2）隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴将代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【解析】 【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． 【小问1详解】 解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴． 【小问2详解】 略 23. 某校园超市销售甲、乙两款笔记本，下表是两次采购这两款笔记本的记录． 采购批次 甲款（本） 乙款（本） 总进价（元） 第一次 20 30 340 第二次 30 20 360 该超市每天销售的甲、乙两款笔记本共300本，且当天都能售完．已知甲款的售价为x（）元/本，乙款的售价为10元/本，甲款每天的销量y（本）与售价x（元/本）满足关系式，用w表示该超市每天销售这两款笔记本的总利润（单位：元）． （1）求甲、乙两款笔记本的进价分别为多少元/本； （2）求w关于x的函数表达式，并求当甲款的售价x为多少时总利润w最大，最大利润是多少元． 【答案】（1） 甲款笔记本的进价为8元/本，乙款笔记本的进价为6元/本 （2） （）； 当甲款的售价x为20时总利润w最大，最大利润是2000元． 【解析】 【分析】（1）根据两次采购的数量和总进价，列二元一次方程组求解两款笔记本的进价； （2）结合总销量为300本的条件，用表示乙款的销量，再根据总利润的构成列函数表达式，结合二次函数的性质分析最值． 【小问1详解】 解：设甲款笔记本的进价为每本元，乙款笔记本的进价为每本元； 根据题意，得，解得， 答：甲款笔记本的进价为8元/本，乙款笔记本的进价为6元/本； 【小问2详解】 解：∵甲款每天的销量为，两款每天总销量为300本， ∴乙款每天的销量为本， 由题意， ； ∵ 二次函数的二次项系数为，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 故当甲款的售价x为20时总利润w最大，最大利润是2000元． 24. 如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． （1）求证： （2）联结，与相交于点O，若，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，则可证明，进而可证明； （2）证明，得到，则可证明，得到，证明，推出，则可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） （1）求该抛物线的解析式 （2）求D，E两点的坐标 （3）“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】（1） （2）， （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得，再将点代入二次函数的解析式可得，由此可得二次函数的解析式； （2）将抛物线表达式与直线联立求解可得点的坐标； （3）①设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点，先得出，再根据菱形的性质可得，，从而可得点的坐标，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，最后与抛物线的解析式联立求解即可得； ②设直线交轴于点，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，，再证出是等腰直角三角形，且，然后根据轴对称的性质可得，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将点代入抛物线得：， ∴该抛物线的解析式． 【小问2详解】 联立，解得或， ∵抛物线与直线交于，两点（点D在第二象限，点E在第四象限）， ∴，． 【小问3详解】 解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点， 对于直线， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形是菱形， ∴，， 由（2）已得：，， ∴，即， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∵点是上方的抛物线上的一动点，且，， ∴点的横坐标大于，且小于4， ∴点的坐标为． ②如图，设直线交轴于点，过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（1）可知，， ∵轴， ∴， ，关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $