精品解析：上海市上海音乐学院实验学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

上音实验九年级期初数学试卷 一、单选题 1. 下列各组线段的长度，成比例的是（ ） A. 1，3，3，6 B. 2，3，4，5 C. ，，， D. ，，2，3 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. （，是常数） D. （，是常数） 3. 如果二次函数的图像的顶点在坐标轴上，那么的值不可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4. 下列关于二次函数（为常数）的图像，有以下四个结论，其中正确的是（ ） ①开口向上；②一定过点；③一定与轴有两个交点；④顶点一定在抛物线上 A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 5. 一位运动员掷出铅球，铅球离地高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为，此运动员这一掷的成绩是（ ） A. 9米 B. 8米 C. 7米 D. 6米 6. 某过原点的抛物线如图所示，有以下四个结论，其中正确的有（ ）个 ①；②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 7. 若，则______． 8. 如图，点P是线段的黄金分割点，且．如果，那么_______． 9. 已知点、分别在的边、上，且，如果，，那么的长为__________． 10. 已知抛物线上的两个点，，如果，那么_____0．（填“>”、“<”或“=”） 11. 将抛物线平移到抛物线的最短距离是_____． 12. 二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 13. 如图，计划用10米长的栅栏和一面长度大于10米的墙围成一个矩形活动区域．栅栏围三面，墙作为第四面．则活动区域的最大面积是_____平方米． 14. 下表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的负实数根介于哪两个相邻的整数：_____和_____． … … … … 15. 新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是_____．（请化为一般式） 16. 如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE//BC，BD=2AD，那么SΔDEB:SΔEBC==_____________. 17. 如图，已知在中，，，是边上的中线，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，则的值为______； 三、解答题： 18. 已知：．当时，求a、b、c的值． 19. 如图，梯形中，点E、F分别在边、上，，，如果，，求的长． 20. 已知线段、、，通过尺规作图，求作点，把线段分成两部分，使 21. 如图，在中，是的中线，点D在上且，求的值． 22. 讨论函数的图像与轴交点的个数，并求出对应的常数的取值范围． 23. 北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆．某经销商以每个60元的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售．调查发现，线下每周销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）（）满足一次函数关系，而且当销售单价为105元时，每周销售量为150个；当销售单价为115元时，每周销售量为50个．线上销售单价为100元． （1）求关于的函数表达式； （2）该经销商共购进1000个“冰墩墩”，一周内可以全部销售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？ 24. 已知二次函数的图像经过点、．设该函数图像的顶点为，与轴的另一个交点为点． （1）求这个二次函数的表达式和点、的坐标； （2）求证：； （3）如果抛物线上有一点，使得是以为直角边的直角三角形，求点的坐标，直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上音实验九年级期初数学试卷 一、单选题 1. 下列各组线段的长度，成比例的是（ ） A. 1，3，3，6 B. 2，3，4，5 C. ，，， D. ，，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，若最小与最大线段的乘积等于中间两线段的乘积，则该组线段成比例． 【详解】解：A． 排序得，，，，，，，不成比例． B． 排序得，，，，，，，不成比例． C． 排序得，，，，，，，成比例． D． 排序得，，，，，，，不成比例． 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. （，是常数） D. （，是常数） 【答案】D 【解析】 【分析】含括号的选项先展开化简，结合二次项系数非零及整式要求判断． 【详解】解：选项A：中是分式，不是整式函数，不符合二次函数定义． 选项B：化简得，最高次数为1，不符合． 选项C：当时，二次项系数，不是二次函数，不符合． 选项D：展开得，二次项系数为，符合二次函数定义． 3. 如果二次函数的图像的顶点在坐标轴上，那么的值不可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过配方得到二次函数的顶点坐标，再分顶点在轴、轴两类情况列方程求解的可能值． 【详解】解：将二次函数配方，得， ∴ 顶点坐标为． ∵ 图像的顶点在坐标轴上， ∴ 分两种情况讨论： ①顶点在轴上时，顶点横坐标为， ∴ ． ②顶点在轴上时，顶点纵坐标为， ∴ ， 解得或． 综上，的可能值为，，，即的值不可能是． 4. 下列关于二次函数（为常数）的图像，有以下四个结论，其中正确的是（ ） ①开口向上；②一定过点；③一定与轴有两个交点；④顶点一定在抛物线上 A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次项系数可判断开口方向，则可判断①；求出时的函数值可判断②；利用判别式可判断③；求出顶点的横纵坐标，再把顶点的横坐标代入中求出对应的函数值即可判断④． 【详解】解：①∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，结论①正确． ②将代入函数解析式，， ∴函数图像一定过点，结论②正确． ③令，则， ， 当时，，函数图像与轴只有一个公共点， ∴结论③错误． ④二次函数顶点的横坐标为， 纵坐标为， 将代入， 得，与顶点纵坐标相等， ∴结论④正确． ∴结论正确的有①②④． 5. 一位运动员掷出铅球，铅球离地高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为，此运动员这一掷的成绩是（ ） A. 9米 B. 8米 C. 7米 D. 6米 【答案】A 【解析】 【分析】掷铅球的成绩为铅球落地时的水平距离，需求解时的正根． 【详解】解：当铅球落地时，， 代入函数表达式，得， 两边同乘，得， 因式分解，得， 解得，， ∵水平距离为正数， ∴舍去，即成绩为9米． 6. 某过原点的抛物线如图所示，有以下四个结论，其中正确的有（ ）个 ①；②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口朝向可以确定a的符号，再根据抛物线经过原点，可得，根据对称轴确定a、b的数量关系，再逐项判断即可． 【详解】解：抛物线开口朝下，即有， 抛物线经过原点，即，则， 由图可知抛物线的对称轴为：，即， ∴， ∴，即①正确； ∵，， ∴，即②错误； ∵，， ∴，即③正确； ∵，， ∴，即④错误； 即正确的有2个． 二、填空题 7. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，由，可设，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴可设，， ∴， 故答案为：． 8. 如图，点P是线段的黄金分割点，且．如果，那么_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为可得，据此求解即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9. 已知点、分别在的边、上，且，如果，，那么的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，则，由可得对应线段成比例列比例求出，再计算的长度即可． 【详解】解：设，，则， ∵ ∴，即， ∵ ∴，解得， ∴． 10. 已知抛物线上的两个点，，如果，那么_____0．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和增减性，再根据判断的大小关系，进而得到与的关系． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当，随的增大而减小． ∵，点、都在抛物线上， ∴， ∴． 11. 将抛物线平移到抛物线的最短距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先将两个抛物线整理为顶点式，得到各自的顶点坐标，抛物线平移的最短距离等于两个顶点之间的直线距离，用两点间距离公式计算即可． 【详解】解：整理原抛物线得，其顶点坐标为， 平移后抛物线的顶点坐标为 ， ∵抛物线开口和形状都相同，平移的最短距离为两个顶点之间的距离， ∴根据两点间距离公式，得平移最短距离：． 12. 二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】设二次函数与轴交点横坐标为，根据根与系数的关系得到，根据交点距离得到，利用完全平方公式变形列方程求解，验证判别式后得到结果． 【详解】解：设二次函数与轴交点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵ 两个交点间的距离为， ∴ ， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， ∴， 整理得， 解得或， 验证判别式：， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 综上所述，的值为或． 13. 如图，计划用10米长的栅栏和一面长度大于10米的墙围成一个矩形活动区域．栅栏围三面，墙作为第四面．则活动区域的最大面积是_____平方米． 【答案】 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长x米，则平行于墙的一边长米，活动区域的面积为S平方米，根据矩形的面积公式列出S关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长x米，则平行于墙的一边长米，活动区域的面积为S平方米， 由题意得，， ∵墙的长度大于栅栏的长度， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为， ∴活动区域的最大面积是平方米． 14. 下表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的负实数根介于哪两个相邻的整数：_____和_____． … … … … 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】一元二次方程的根是二次函数中对应的值，利用二次函数对称性和函数值的符号变化即可判断根的区间． 【详解】解：一元二次方程的根是二次函数中对应的值， 由表格可知，时，时，两者函数值相等， 二次函数的对称轴为直线， 时，关于对称轴的对称点为， 时， 又时，函数值在到之间由负变正， 对应的负根介于和之间． 15. 新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是_____．（请化为一般式） 【答案】 【解析】 【详解】解：， 与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是。 化为一般式得． 16. 如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE//BC，BD=2AD，那么SΔDEB:SΔEBC==_____________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：要求SΔDEB:SΔEBC的值，根据两个三角形底边DE和BC上的高相等，则只需要知道DE：BC即可，再根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，得出DE：BC，便可求解. 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴, ∵BD=2AD，∴， ∴=, ∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h， ∴S△DBE：S△EBC===, 故答案为． 17. 如图，已知在中，，，是边上的中线，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，则的值为______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的混合运算，垂直平分线的性质，连接，，过作于，与交于点，设，，，则，， ，，，再根据是的垂直平分线，得到，，， 然后在中，利用解得；中，利用，解得；中，利用勾股定理得到， 中，，则，最后代入计算即可． 【详解】解：连接，，过作于，与交于点， 设，，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴，，， 中，，则，解得（舍）或； 中，，则，解得（舍）或； ∴中，， 中，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题： 18. 已知：．当时，求a、b、c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．设，则，，，代入得到关于k的方程，解出k的值，进而即可求解． 【详解】解：设， 则，，， ， ， 解得， ，，． 19. 如图，梯形中，点E、F分别在边、上，，，如果，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．首先延长，，根据得，，即可求得，，又由，可设，则，即可求得与的值，继而求得的值． 【详解】解：延长，，相交于K， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 20. 已知线段、、，通过尺规作图，求作点，把线段分成两部分，使 【答案】作射线，在射线上依次截取，， 连接，过点作，交于点． 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理来进行尺规作图即可． 【详解】略 21. 如图，在中，是的中线，点D在上且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，过D作交于H，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过D作交于H， ∴，， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 讨论函数的图像与轴交点的个数，并求出对应的常数的取值范围． 【答案】 （1）当且时，函数图像与轴有2个交点； （2）当或时，函数图像与轴有1个交点； （3）当时，函数图像与轴没有交点. 【解析】 【分析】按二次项系数是否为0分一次函数、二次函数两类讨论，二次函数通过判别式的符号判断与轴的交点个数． 【详解】解：分两种情况讨论： 当，即时， 函数解析式为，为一次函数， 与轴有1个交点； 当，即时，函数为二次函数， ， 当时，则，解得， ∴当且时，函数图像与轴有2个交点； 当时，则，解得，满足， ∴当时，函数图像与轴有1个交点； 当时，则，解得，满足， ∴当时，函数图像与轴没有交点； 综上所述， 当且时，函数图像与轴有2个交点； 当或时，函数图像与轴有1个交点； 当时，函数图像与轴没有交点． 23. 北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆．某经销商以每个60元的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售．调查发现，线下每周销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）（）满足一次函数关系，而且当销售单价为105元时，每周销售量为150个；当销售单价为115元时，每周销售量为50个．线上销售单价为100元． （1）求关于的函数表达式； （2）该经销商共购进1000个“冰墩墩”，一周内可以全部销售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） 线下销售100个，线上销售900个时利润最大，最大利润为41000元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解一次函数解析式； （2）根据总利润的构成列二次函数关系式，结合自变量取值范围求最大值． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， ∵，且销售量，即，解得， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设全部售完后获得的总利润为元，线下销售量为个，则线上销售量为个， 由（1）变形得，线下单个利润为元，线上单个利润为元， 则     ，  ∵，且由（1）知， ∴当时，取得最大值，最大值为41000元， 此时线上销售量为（个）， 答：线下销售100个，线上销售900个时，获得的利润最大，最大利润是41000元． 24. 已知二次函数的图像经过点、．设该函数图像的顶点为，与轴的另一个交点为点． （1）求这个二次函数的表达式和点、的坐标； （2）求证：； （3）如果抛物线上有一点，使得是以为直角边的直角三角形，求点的坐标，直接写出答案． 【答案】（1），， （2）证明：如图，过点作轴于点，过点作于点，设抛物线的对称轴交轴于点，则， ，，， ，，， ，，，， ，， ， ，， 设，则， ，， ， 解得， ， ， ； （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的表达式，再将函数解析式化为顶点式可得的坐标，令，求出对应的值，可得的坐标； （2）过点作轴于点，过点作于点，设抛物线的对称轴交轴于点，则，，根据点的坐标可求出，，，，，推出，根据勾股定理求出，，，设，则，由列方程求出，最后根据三角函数值得出的度数，即可得证； （3）设，分两种情况：当时，过点作轴于点，当时，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的判定与性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点、代入二次函数得， ，解得， 二次函数的表达式为， 令，则，解得，， ， ， 顶点坐标； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， 如图，当时，过点作轴于点，则， ，， ，， ， ， ，即， 解得（舍去）或， ； 当时，过点作轴于点，则， ，， ， ， ，即， 解得（舍去）或， ； 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $