精品解析：湖北省九师联盟2026-2027学年高三上学期10月考试数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先把全称量词改为存在量词，范围不变，再否定结论即可. 【详解】∵命题：， ∴否定为. 2. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 3. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，或. 又函数在单调递减，要求指数，所以. 4. 已知为实数，：，：，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式不等式求出对应的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】不等式，等价于，解得. 对应的集合是，对应的集合是. 若成立，取，代入，分母等于 0，不成立，故充分性不成立； 若成立，则必有，一定满足，必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 5. 已知某省的人口总数约为，该省省会人口总数约为，则下列与的值最接近的数是（ ）（参考数据：，，） A. 14 B. 10 C. 9 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先设比值，根据两边取常用对数，然后利用对数运算性质展开代入已知数据，求得的值，接下来分别算出四个选项的对数值，将它们与对比，发现和计算结果最为接近，由此确定的接近数即可. 【详解】解：令， 则 ∵ 则：与几乎相等， ∴最接近. 6. 已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数在上递增，指数函数在 上递增，左段在处的函数值右段在处的函数值. 【详解】，开口向下，对称轴为， 因为在递增，所以对称轴,解得, 因为单调递增，所以， 因为在上单调递增， 所以, 解得,即， 则实数的取值范围是，即实数的取值范围是，即. 7. 已知函数，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】易得函数为增函数，且时，，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】因为函数均为增函数， 所以函数为增函数，而时，， 则时，， 此时函数为减函数，则； 时，， 此时函数为增函数，则. 综上所述，的最小值是18. 8. 设，，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到两个因式的零点，要使乘积恒小于等于，两个零点必须相同，得到约束关系；将二元表达式转化为单变量二次函数，求二次函数最小值. 【详解】由题意得，恒成立， ①分析： 当时，， 当时，， 当时，， ②分析： 当时，， 当时，， 当时，， 要使乘积对恒成立， 两个因式的变号点必须重合，即， 将代入， ， 该式为关于b的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，，取得最小值： ， 故的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式性质判断，选项A，利用不等式两边同减一个数，不等号方向不变求解；选项B，反例法求解； 选项C，利用正数越大倒数越小求解；选项D，利用作差法求解. 【详解】选项A，因为，所以，A正确； 选项B,若，则，不满足，B错误； 选项C，因为，所以，C正确； 选项D，， 因为，所以， 因为，所以的符号不定，故不能判断，D错误. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由题意得：，所以，即， 当时，等号成立，故A正确； 由，所以，当时，等号成立，故B正确； 由，所以，所以， 当时，等号成立，故C错误； 由， 当时，即时，等号成立，故D正确. 11. 已知函数，的定义域均为，且，．若直线是图象的一条对称轴，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称 C. 4是的一个周期 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据题意条件相互转换求得函数的周期，再利用周期，对称的性质逐项求解即可. 【详解】对于C选项，由得， 代入得， 又因为的图像关于直线对称，则，于是， 令，得到即 可得，所以的周期为4. 从而的周期也为4. 对于B选项，由，令换为，得， 结合对称轴得， 于是，所以图像关于对称. 对于D选项，由，及得， 由对称性且得，于是. 因此一个周期内的和为， 又，所以. 对于A选项，，， 若关于对称，则，矛盾. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是偶函数，则实数的值为__________． 【答案】0 【解析】 【详解】∵函数是偶函数，定义域分析可得为，且， ∴ 对任意恒成立, ∴ ，即对任意恒成立, ∴ . 13. 若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】∵ 函数的二次项系数为， ∴ 函数图象为开口向上的抛物线. ∵ 的两个零点分别位于区间与内， ∴ . 解得. 14. 若函数的图象与函数的图象有4个不同的交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题研究分段函数与含参绝对值函数的图像交点个数问题，将图像交点问题转化为方程实数解的个数问题；对参数分类讨论，结合绝对值的定义拆分方程，利用一元二次方程判别式与根的分布，判断根的个数与根所在区间，进而求出参数的取值范围． 【详解】函数的图象与函数的图象有4个不同的交点等价于有个不同的实数解， 当时，对于，，解得或，对于，，解得（舍去），故有个不同的实数解，不满足题意； 当时， 对于，，则或化简为或，两个实数解不同且小于零，满足条件， 对于，，易知是方程的解，当时，可转化为， 又该一元二次方程，所以化简后的方程有两个不相等的实数解，且一个为正实数解，一个为负实数解（舍去）， 故有个不同的实数解； 当时， 对于，，即，解得或，均不满足，该区间无解， 对于，，易知是方程的解，当时，可转化为，即或， 一元二次方程的，其有两个不相等的实数解，取其中正实数解，该解落在区间符合条件，负实数解舍去， 欲使有个不同的实数解，则有两个不相等且大于的正实数解，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知：，；：，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为为真命题，所以， 又，所以的最小值为， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是； 【小问2详解】 若为真命题，则， 又，所以，即，所以， 因为和中至少有一个为真命题， 所以有三种情况：真假，假真，与都为真命题， 当真假时，，所以， 当假真时，或，所以， 当，均为真命题时，，所以， 综上所述，实数的取值范围是． 16. 已知函数． （1）求，的值； （2）令，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式代入运算可得，； （2）根据（1）可得，，结合题意运算求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 且． 【小问2详解】 因为， 则，，，，， 可得， 又因为， 则，，，，， 所以， 两式相减可得， 且，，， 即，所以． 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集与二次方程的实根的关系以及韦达定理分析求解即可； （2）利用求出的值，然后利用分类讨论法解含参数的不等式即可. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，且， 根据韦达定理得：， 解得：. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以， 当时，，所以的解集为， 当时，因为，所以的解集为， 当时，因为，所以的解集为， 当时，因为，所以的解集为， 当时，因为，所以的解集为． 18. 已知函数，的定义域都为，为偶函数，为奇函数，且． （1）求与的解析式； （2）若，求的值； （3）若，，求实数的取值范围． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性，用替换原方程联立解出； （2）由得到，平方求出，进一步算出；方法一利用立方和公式整体代换求； 方法二通过两式相乘展开、整体代换求出，最后代入求值； （3）代入解析式化简不等式，换元结合基本不等式求分式最大值，得到的取值范围. 【小问1详解】 因为为偶函数，为奇函数，所以，． 因为①，所以，即②． 由①②，得，． 【小问2详解】 因为，所以． 因为，所以． 因为，，所以． 方法一：． 方法二：因为，所以， 所以，即． 【小问3详解】 因为在上恒成立，所以在上恒成立． 因为，所以在上恒成立． 令，则， 所以， 当且仅当即时，等号成立，即． 所以，即实数的取值范围是． 19. 若定义域为的函数满足：对，，存在正整数，使得，则称为“阶利普希茨函数”．已知对任意闭区间，“阶利普希茨函数”在上必有最大值与最小值，记最大值为，最小值为，规定． （1）若，，证明：不是“3阶利普希茨函数”； （2）若，为“2阶利普希茨函数”，且，，求的解析式； （3）若，，其中，为“阶利普希茨函数”，令．证明：“对，任意正数，，恒成立”的充要条件是“在上单调”． 【答案】（1）证明：不妨设，，且， 因为，在上单调递增，所以在上单调递增，， 所以，即， 故存在，，使得，即不是“3阶利普希茨函数”． （2）当时，；当时，． （3）证明：先证充分性：在上单调可以分为两种情况：在上单调递增，在上单调递减． 当在上单调递增时，因为，所以，，，所以． 又， 所以． 当在上单调递减时，因为，所以，，，所以． 又， 所以． 综上所述，当在上单调时，对，任意正数，，恒成立，充分性得证． 再证必要性：（反证法）假设在上不单调，因为，，，则必存在，，且，使得或． 当且是函数在区间上的最大值时，设函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为，设，中最小值为，最大值为． 所以，，即， 又，所以． 又，，， 所以，即， 记，中最大值为，则，与矛盾． 当且是函数在区间上的最小值时，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，设，中最小值为，最大值为． 所以，，所以， 又，所以． 又，，， 所以，即， 记，中最小值为，则，与矛盾． 综上所述，假设不成立，即在上单调． 综上所述，“对，任意正数，，恒成立”的充要条件是“在上单调”． 【解析】 【分析】（1）借助函数单调性去掉绝对值，对化简，可找到使得不等式不成立，证明不是3阶利普希茨函数； （2）由极差条件和利普希茨不等式，确定最值在区间端点取得，再列出绝对值不等式，夹逼求出函数表达式； （3）分充分性、必要性两部分证明.充分性按函数单调递增、递减分类验证极差关系式；必要性采用反证法，假设函数不单调推出矛盾，完成充要条件证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由知当时，，即存在，，使得， 由为“2阶利普希茨函数”，得，所以，即． 不妨设，又，，所以且， 又，，所以，即或． 由为“2阶利普希茨函数”，得当时， 当时，即所以； 当时，即所以． 综上所述，当时，；当时，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为实数，：，：，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知某省的人口总数约为，该省省会人口总数约为，则下列与的值最接近的数是（ ）（参考数据：，，） A. 14 B. 10 C. 9 D. 7 6. 已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 18 8. 设，，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，的定义域均为，且，．若直线是图象的一条对称轴，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称 C. 4是的一个周期 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是偶函数，则实数的值为__________． 13. 若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 14. 若函数的图象与函数的图象有4个不同的交点，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知：，；：，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求，的值； （2）令，求的值（用含的代数式表示）． 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若，解关于的不等式． 18. 已知函数，的定义域都为，为偶函数，为奇函数，且． （1）求与的解析式； （2）若，求的值； （3）若，，求实数的取值范围． 19. 若定义域为的函数满足：对，，存在正整数，使得，则称为“阶利普希茨函数”．已知对任意闭区间，“阶利普希茨函数”在上必有最大值与最小值，记最大值为，最小值为，规定． （1）若，，证明：不是“3阶利普希茨函数”； （2）若，为“2阶利普希茨函数”，且，，求的解析式； （3）若，，其中，为“阶利普希茨函数”，令．证明：“对，任意正数，，恒成立”的充要条件是“在上单调”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $