精品解析：湖北荆州市公安县车胤中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷

公安县车胤中学2025-2026学年度上学期高三十月月考 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是 A. B. C. D. 5. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 6. 若，且，则的值为( ) A. B. C. D. 7. 已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2028 8. 已知(-3x)，若有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（ ） A. 在区间上是增函数 B. 的一条对称轴方程为 C. 的一个对称中心为 D. 方程在区间上有3个实根 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知等比数列的首项为，且，则__________. 13. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 14. 在中，，，依次成等差数列，，的取值范围为______． 四、解答题 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，，求的周长. 16. 已知等差数列的首项，等比数列的公比，且，. （1）求数列和数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式． 18. 在圆内接四边形中，. （1）求的大小； （2）若，求的面积最大值. 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； （2）讨论的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 公安县车胤中学2025-2026学年度上学期高三十月月考 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再利用集合交集的运算求解即可. 【详解】因为， ， 所以， 故选：D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复数，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数平方关系，结合必要不充分性的判断即可求解. 【详解】由，则，故充分性不成立， 由，则，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4. 在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出运动分钟时动点转动的角，再利用诱导公式可求得结果. 【详解】每分钟转动一周，则运动到分钟时，转过的角为. 设点的初始位置的坐标为，则，， 运动到3分钟时动点所处位置的坐标是. 由诱导公式可得，， 所以，点的坐标为. 故选：C. 【点睛】本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 5. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解. 【详解】由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量， 因此，又是单位向量，所以. 故选：B 6. 若，且，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦的二倍角公式、两角和的正弦展开式对进行化简可得，再两边平方得，再由三角函数的平方关系求得，从而得到. 【详解】因为， 所以，两边平方得， 因为，所以，所以， 所以. 故选：B． 7. 已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2028 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得 化简得，解得，， 又，故数列的通项公式为， 设数列的前项和为， 则， ， 从到共项，两两一组，可分为组， . 故选：. 8. 已知(-3x)，若有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的单调性和奇偶性，将问题转化为的图象与直线有三个不同的交点，利用导数求解的单调性，即可得解. 【详解】的定义域为， 且，所以是奇函数， 又， 而函数均为单调递增函数， 故为单调递增函数， 则为单调递减函数，结合为单调递增函数，故单调递减， 有三个零点， 等价于方程有三个不相等的实数根， 又是奇函数，可得，又单调递减， 所以有，即， 所以问题等价于方程在上有三个不同的实数根， 即函数的图象与直线有三个不同的交点， 由，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极大值为，极小值为， 要使的图象与直线有三个不同的交点， 则，即. 故选：A 二、多选题 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式性质判断A，取特殊值判断BC，利用作差法判断D. 【详解】由不等式的性质知，，则，故A正确； 当时，，但，故B错误； 当时，，但，故C错误； 因为，， 所以，，所以，即， 故D正确. 故选：AD 10. 已知，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（ ） A. 在区间上是增函数 B. 的一条对称轴方程为 C. 的一个对称中心为 D. 方程在区间上有3个实根 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数图象的平移得函数的解析式，再根据正弦型函数的性质，讨论的单调性、对称轴、对称中心和零点. 【详解】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， 则， 时，，不是正弦函数的单调递增区间，故A选项错误； 由，解得的对称轴方程为， 其中，时，B选项正确； 由B选项可知，不是的对称中心，C选项错误； 时，，其中，，，所以方程在区间上有3个实根，D选项正确. 故选：BD 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知等比数列的首项为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由等比数列的通项公式得到，进而得到，再根据等比数列的性质得到结果. 【详解】设等比数列的公比为，因为，根据等比数列的通项公式的计算得到：，所以.由等比数列的性质得到：. 故答案为128. 【点睛】这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础. 对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 13. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 14. 在中，，，依次成等差数列，，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，利用数量积公式得，进一步由正弦定理、结合三角恒等变换将所求转换为求三角函数值域即可. 【详解】根据题意，又， 所以， 而， 由正弦定理有， 所以， 所以 ， 而的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围是， 所以的取值范围是， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得到，得到； （2）由正弦定理和，得到，由（1）知，，由余弦定理得到方程，求出，进而，得到三角形周长. 【小问1详解】 由得， ， 即， 故， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 因为，所以； 【小问2详解】 ，由正弦定理得， 因为，所以， 由（1）知，，由余弦定理得， 解得，故，所以， 所以的周长为. 16. 已知等差数列的首项，等比数列的公比，且，. （1）求数列和数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先列方程求公差和，即可求得通项公式； （2），利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设数列的公差为，由已知，得， 即，∴， ∴，. 【小问2详解】 ， ， ， 两式相减得： 所以 . 17. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）当时,求出，写出当时与的表达式，两式相比得出的表达式，求出的表达式，即可证明结论； （2）求出的表达式，当时求出的表达式，验证当时是否为，即可求出的通项公式. 【小问1详解】 由题意证明如下，， 当时，，解得， 当时，因为①，则②， 由得， 整理得， 所以， ∴数列是首项为，公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在等比数列中，首项为，公比为2， ，则， 当时，， 当时，， ∴的通项公式为. 18. 在圆内接四边形中，. （1）求的大小； （2）若，求的面积最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理列出等式，然后化简可求得的大小. （2）首先利用正弦定理将表示出来，然后利用三角形面积公式和角的范围即可求出三角形面积的最大值. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，所以， 所以，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，所以是四边形外接圆直径，，   设，则， 在中，，由正弦定理得，即， 在中，，， 当且仅当时取等号，所以面积的最大值为. 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； （2）讨论的零点个数． 【答案】（1） （2） 令，解得或． 设函数． 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点． 当时，易证是R上的增函数， 因为，，所以有唯一的零点，则有两个零点． 当时，． 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 当时，，所以没有零点，则有唯一的零点； 当时，，所以有一个零点，则有两个零点； 当时，， 因为，， 所以有两个小于0的零点，则有三个零点． 综上，当时，有唯一的零点； 当或时，有两个零点； 当时，有三个零点． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，通过求导并代入已知条件可求出的值. （2）先根据零点概念计算得到或．再构造函数， 对进行分类讨论，借助导数研究函数单调性和最值，分析函数的零点情况即可. 【小问1详解】 由题意可得，则，解得． 【小问2详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $