湖北枣阳市第一中学2026-2027学年高三上学期10月学情诊断测评数学试题

2027届高三年级10月学情诊断测评 数学学科试卷答案 1~8.B B C B C D D A 9.AD 10.BCD 11.BCD 12. 13. 14. 　 11.【详解】对于A，由为的重心，得， 则，A错误； 对于B，由余弦定理得，而为的外心， 由正弦定理得，B正确； 对于C，由为的垂心，则为边上的高，由面积相等可得，则，C正确； 对于D，当为的内心时，为的角平分线，故， 由，可得，解得，D正确. 　14.【详解】记，。由三角不等式，；当介于、之间时取等号。 由于的值域为，故题设恒成立等价于。 令，由和差化积公式，得。 当时，右端小于1，不符合题意。取，， 则，，且，符合题意。所以的最小值为， 15.解：（1）由题意，可得，切点（0，﹣1）在切线2x+by﹣1＝0上， 则0﹣b﹣1＝0，即b＝﹣1，且， 而f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率为2，即f′（0）＝2，解得a＝1， 所以． （2）由（1）可知，， 则，且x∈[﹣1，3]，令f′（x）＞0，即﹣2x2+3x+2＞0，故， 令f′（x）＜0，即﹣2x2+3x+2＜0，故或x＞2， 所以f（x）在单调递减，在单调递增， 当时，f（x）有极小值，且， 当x＝2时，f（x）有极大值，且，且f（﹣1）＝0，， 所以f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值为，最小值为． 16. （1） （2） 【小问1详解】 因为在矩形CDEF中，，，所以， 因为△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，所以， 由，可得，由，得， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 因为，所以，所以， 所以时，. 17. （1）的定义域为，则 ， 因，由，解得， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； （2）由题设， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得， 令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 18. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得，又， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以. 因为，，所以, 所以或（舍去），所以. 又因为，所以， 因为，， ， 故. 法二：由余弦定理得，所以， 与联立得，，解得，故. 【小问2详解】 不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，为的角平分线，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 法二：不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，得， 所以，所以，得， 所以. 19.【1】（第（1）小问共4分） 时，，。 法（一）： ，令，， 则时；时；则在上单调递减，在上单调递增； 则，即。令，则， 则在上单调递增，则。（4分）则时，。 法（二）： ，令， 令，得。且时，，单调递减；时，，单调递增；则。所以时，，单调递减；时，，单调递增。所以，即证得时，。（4分 (2)法（一）： 。 令， 则时；时；则在上单调递减，在上单调递增； 则，即。（6分） 等价于。又因，则对恒成立。 令，，则在上单调递增； 则。所以，即。（8分） 法（二）： 等价于。由（1）知，则不等关系等价于。 令，，（6分） 令。 当时；当时； 则在上单调递减，在上单调递增； 则。所以当时；当时； 则在上单调递减，在上单调递增；则。 所以即。（8分） 法（三）： 由题意得，函数的定义域为，。 求导得， ①当时，因为，所以， 当时，；当时，。 故在处取极小值（也是最小值），。 因为，所以，即。（5分） ②当时，令，则，令得。 在递减，在递增，最小值。 因为，所以，，故（当且仅当且时等号成立）。 当时，；当时，。 故在处取极小值（最小值）。（7分） ③当时， ，时，；时，；且。 存在两个零点，且时；时，；时，。 所以时；时，；时，；时； 则必有，不符合恒成立。 所以即。（8分） 【3】（第（3）小问共9分） 由（2）可知：不符合题意；（9分） 当时，在递减，在递增， ，，，，， 有两个零点，，故， 则，，，单调递减，，，，单调递增， ，，，单调递减，，，，单调递增。（11分） 此时的极小值点为，且，。两边取对数得，，， 令，则，代入解得，，于是，（12分） 设，求导得， 令，， ，，单调递增，，，单调递减， ，，， 所以在内存在唯一零点，， 使得在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值。（15分） ， 又，则， 故整数的最大值为2。（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三年级10月学情诊断测评 数学学科试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.已知集合 ，，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知复数 满足 ，且 的虚部大于0，则 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限　　　 B．第二象限　　　 C．第三象限　 　　 D．第四象限 3. 已知，则x､y､z的大小关系为（ ） A. B. C D. 4.若不等式ex+a≥lnx﹣a恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[0，+∞） B．[﹣1，+∞） C． D．[﹣e，+∞） 5．将函数 的图象先向左平移 个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 在区间 上的值域为（ ） A． B． C． D． 6. 在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ） A. 10 B. 4 C. 7 D. 13 7．已知等比数列 的首项为3，公比为2。在 与 之间插入 个1（），所有项依原顺序组成新数列 ，则 的前25项和为（ ） A． B． C． D． 8. 已知直线分别与曲线和切于点，且与轴交于点，若，则( ) A. 　　 B. 　　 C. 1　 D. 2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9．若单位向量与垂直，且与共线，则（ ） A. 与平行 B. 与垂直 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 10. 在中，，点为内一点，的延长线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的内心，则 11. 已知函数，下列选项中正确的是( ) A. 若在上存在单调递增区间，则 B. 当时，在处的瞬时变化率为 C. 当时，若在区间上有最大值，则 D. 函数图象与直线相切，且满足条件的值有且只有3个，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，且，则__________ 13. 若函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是______. 14. 已知函数，若实数满足：，不等式恒成立，则的最小值为________　 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知函数，若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为2x+by﹣1＝0． （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）在区间[﹣1，3]上的最值． 16.（15分） △ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，且，，，记，△ABC的面积为. （1）写出的解析式； （2）求的最小值. 17. （15分）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 18. （17分）已知的角的对边是且. （1）求； （2）若为的中线，为的角平分线，求. 19.（17分）已知函数。 （1）当时，证明：。 （2）若恒成立，求的取值范围。 （3）若有两个极小值点，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $