精品解析：上海市浦东新区杨思高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

上海市杨思高级中学2026学年10月阶段评估 高二数学试卷 满分100分 考试时间90分钟 命题人：马笛笛 审卷人：程蕾 一、填空题 1. 用集合符号表示直线l在平面上______ 2. 空间中，直线与直线所成角的范围是________（用弧度制表示）. 3. 若平面内任意一条直线均平行于平面，则平面与平面的位置关系是______． 4. 圆柱的底面积是，高是3，则该圆柱的体积为________. 5. 在正方体中，异面直线与所成角的大小是_______. 6. 一个圆锥形草垛高为米，底面圆的半径为2米，则该圆锥形草垛的侧面积为________. 7. 在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为________ 8. 水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 _____. 9. 过所在平面外一点，作平面ABC，垂足为，连接PA，PB，PC．若，，垂足都为，则点是的____________心． 10. ，分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为________. 11. 如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 12. 在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图， 在堑堵中，，，堑堵的顶点到直线的距离为m，到平面的距离为n，则的取值范围是________. 二、选择题 13. 已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列结论正确的是（ ） A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 15. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，AB是底面圆O的直径，，，，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. 3 D. 16. 在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（　　） A. 平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45° C. 平面α与平面β平行 D. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为60° 三、解答题 17. 如图，三棱柱中，底面是正三角形，平面．求： （1）若，求三棱柱体积． （2）若是中点，求证：平面． 18. 如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱BC的中点． 求该三棱柱的表面积； 求异面直线AB与所成角的大小． 19. 如图，在边长为3的正方体中，点，分别在，上，，求证： （1）直线与直线异面； （2）平面平面. 20. 如图，正四棱锥中，棱长均为2，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 21. 设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，. （1）求与平面所成角的正切值； （2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市杨思高级中学2026学年10月阶段评估 高二数学试卷 满分100分 考试时间90分钟 命题人：马笛笛 审卷人：程蕾 一、填空题 1. 用集合符号表示直线l在平面上______ 【答案】 【解析】 【分析】直线l在平面上，利用集合与集合的关系符合表示即可. 【详解】直线l在平面上，即直线l包含于平面，利用集合与集合的关系表示为. 故答案为： 2. 空间中，直线与直线所成角的范围是________（用弧度制表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与直线所成角的定义求解即可. 【详解】根据直线与直线所成角的定义可知， 空间中，直线与直线所成角的范围是， 故答案为： 3. 若平面内任意一条直线均平行于平面，则平面与平面的位置关系是______． 【答案】平行 【解析】 【分析】刚刚平面与平面平行的定义判断即可. 【详解】平面与平面平行的定义为：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行； 所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点， 即一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行， 所以若平面内任意一条直线均平行于平面，则平面与平面平行； 故答案为：平行 4. 圆柱的底面积是，高是3，则该圆柱的体积为________. 【答案】 【解析】 【详解】圆柱的底面积，高是， 则该圆柱的体积. 5. 在正方体中，异面直线与所成角的大小是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线所成角定义，平移直线到使其与相交，解三角形即可． 【详解】如图， 在正方体中， 因为，所以为异面直线为与所成角， 又因为是以为直角的等腰直角三角形，所以， 即异面直线与所成角为． 故答案为：． 6. 一个圆锥形草垛高为米，底面圆的半径为2米，则该圆锥形草垛的侧面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的几何结构特征，求得圆锥的母线长为，结合圆锥的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥的高，底面圆的半径为， 可得， 所以圆锥形草垛的侧面积为. 7. 在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】由异面直线所成的角可求得长方体的高，即可得出结果. 【详解】如下图所示： 由长方体性质可知与平行， 所以即为异面直线与CD所成的角，即， 又因为为直角三角形，， 又，所以； 可得， 易知到底面ABCD的距离为. 故答案为： 8. 水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 _____. 【答案】5 【解析】 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得. 【详解】把直观图还原为原图形，如图所示， 则， 所以. 故答案为：5. 9. 过所在平面外一点，作平面ABC，垂足为，连接PA，PB，PC．若，，垂足都为，则点是的____________心． 【答案】垂 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面,得到，再由平面ABC推得，进而证得平面,即得，同理可得，从而得出结论. 【详解】因为平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可得，，则点是的垂心． 10. ，分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形关系找出一个面垂直于，从而得到点的轨迹，进而得到点的轨迹所围成图形的面积. 【详解】取中点，连接，设， 则，，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 因为正方体中面，面， 所以， 因为面，， 所以面， 因为正方体中面，面， 所以， 所以点的轨迹为矩形， 在直角中， 所以矩形面积为. 即点的轨迹所围成图形的面积为. 故答案为： 11. 如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过展开图，计算弧长和圆心角，蚂蚁所爬的最短路径为展开图中直线的距离，通过余弦定理直接计算边长. 【详解】将圆锥展开如图所示，因为底面直径 所以，因为， 所以， 在中，， 由余弦定理得：， 所以. 蚂蚁所爬的最短路径长为. 12. 在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图， 在堑堵中，，，堑堵的顶点到直线的距离为m，到平面的距离为n，则的取值范围是________. 【答案】. 【解析】 【分析】设，，利用等面积法和等体积法求出m，n关于a的不等式，根据a的范围得出的值． 【详解】设，， 则，，，且B到平面的距离为． ，， ， 又， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题． 二、选择题 13. 已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的定义可知必要性成立，举出反例可得充分性不成立，得到答案 【详解】“”，则“与内所有直线垂直”，故“与内无数条直线垂直”，必要性成立， 若“与内无数条直线垂直”，但这些直线均平行，则无法得到“”，充分性不成立， 故“与内无数条直线垂直”是“”的必要不充分条件. 14. 下列结论正确的是（ ） A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【答案】D 【解析】 【分析】根据三棱锥、圆锥、棱锥、圆锥母线的定义及几何性质，逐一判断各选项的正确性。 【详解】对选项A：棱锥的定义为“有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形”，若将两个全等的三棱锥底面重合拼接，所得几何体各面均为三角形，但不存在所有侧面共有的公共顶点，不是三棱锥，故A错误； 对选项B：仅当旋转的三角形为直角三角形，且旋转轴为直角边所在直线时，其余两边旋转围成的几何体才是圆锥；若三角形为非直角三角形，或旋转轴为斜边，所得几何体均不是圆锥，故B错误； 对选项C：若存在侧棱长与底面边长相等的六棱锥，其底面必为正六边形，底面中心到各顶点的距离等于底面边长，设棱锥顶点在底面的投影为中心，侧棱长为，则，与侧棱长等于底面边长矛盾，故不存在这样的六棱锥，C错误； 对选项D：由圆锥母线的定义可知，圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，故D正确。 15. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，AB是底面圆O的直径，，，，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将异面直线所成的角转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成角为或其补角， 因为为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， ,, 所以 所以异面直线与所成角的正切值为3. 16. 在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（　　） A. 平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45° C. 平面α与平面β平行 D. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为60° 【答案】A 【解析】 【详解】设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足 ∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1）， ∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足 同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足 因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足 ∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2， ∴点Q1与Q2重合于同一点 由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角 ∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直 故选A 三、解答题 17. 如图，三棱柱中，底面是正三角形，平面．求： （1）若，求三棱柱体积． （2）若是中点，求证：平面． 【答案】（1） （2） 根据线面垂直的判定定理，只需证明垂直于平面内的两条相交直线. 因为是正三角形，是中点，由正三角形三线合一得； 又平面，平面，因此. 由于，且平面，因此平面. 【解析】 【分析】（1）由 平面得高为，正三角形面积公式求底面积，代入柱体体积公式即得； （2）正三角形中；由底面得；两条相交直线确定平面，故平面​. 【小问1详解】 已知平面，因此三棱柱的高， 底面是边长为的正三角形，其面积， 三棱柱体积公式为，代入得. 【小问2详解】 略. 18. 如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱BC的中点． 求该三棱柱的表面积； 求异面直线AB与所成角的大小． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】根据棱柱的表面积公式直接求解即可； 先取AC中点E，连结DE，，根据题意可得是异面直线AB与所成角(或补角)，解三角形即可. 【详解】解：正三棱柱的各棱长均为2， 该三棱柱的表面积： ． 取AC中点E，连结DE，， 为棱BC的中点，，， 是异面直线AB与所成角或所成角的补角， ， ， ， 异面直线AB与所成角的大小为． 【点睛】本题主要考查几何体的表面积公式以及异面直线所成的角，在几何体中通过平移直线作出异面直线所成的角即可，属于基础题型. 19. 如图，在边长为3的正方体中，点，分别在，上，，求证： （1）直线与直线异面； （2）平面平面. 【答案】（1）由直线平面， 又平面， 所以直线与直线异面； （2）由，得，在正方体中，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）利用异面直线的判定定理即可得证； （2）利用面面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，正四棱锥中，棱长均为2，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）连结于点，连结， 正四棱锥中，底面是正方形，所以是的中点， 因为为棱的中点，所以在中，， 又平面，平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线构造中位线，利用线线平行证明线面平行； （2）几何法：证明是二面角的平面角，再通过余弦定理解三角形即可求解； 向量法：建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用空间向量夹角的余弦公式即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 几何法： 由题意可知，， 所以是全等的等边三角形，是等腰三角形， 因为为棱的中点，是的中点， 所以， 根据二面角的定义可得是二面角的平面角， ， 在中，由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值为； 向量法： 以为坐标原点，过点分别作，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 易得， ， 设平面的一个法向量为， 由，得，取，可得， 因为平面， 所以平面，即是平面的一个法向量， ， 因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为． 21. 设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，. （1）求与平面所成角的正切值； （2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 【答案】（1）；（2）存在，；（3）三点共线，. 【解析】 【分析】 （1）由线面垂直的判定定理可得平面，得到与平面所成角为，在直角中，即可求解直线与平面所成角的正切值； （2）假设边上存在一点满足题设条件，作，得到平面，求得，得到，即可得到答案. （3）延长到，使，由线面垂直的判定定理,可得平面，得出是点C关于面的对称点，连接交面于H，得到点H是使的值最小时，进而求得的长度. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为底面是矩形，所以， 由线面垂直的判定定理可得平面，所以与平面所成角为， 在直角中，，可得, 又由,在直角中，可得， 即直线与平面所成角的正切值为. （2）假设边上存在一点满足题设条件，作， 又因为，可得平面， 所以，此时点为的中点，所以 故存在点G，当时，使点D到平面的距离为 . （3）延长到，使得， 因为平面，平面，所以， 又因为底面是矩形，所以， 由线面垂直的判定定理,可得平面， 则是点C关于面的对称点， 连接，交面于H，则点H是使的值最小时，在面上的一点. 作于M，则点M是AD的中点， 连接交AB于N，连接HN，则，所以， 又，所以，而， 所以. 【点睛】 本题主要考查了空间几何体的结构特征，线面位置的关系的判定及应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $