上海市敬业中学2026-2027学年度第一学期高二年级10月阶段性练习数学试卷

敬业中学2026学年度第一学期高二年级10月阶段性练习 数学试卷 2026.10. （满分120分，考试时间90分钟） 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共21道试题，满分120分；考试时间90分钟． 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．请写出公理2及其三个推论中的一条：________确定一个平面． 2．正方体中，直线与的位置关系为________．（选填“相交”、“平行”或“异面”） 3．过所在平面外一点，作，垂足为，连接、及．若、及，则点是的________心． 4．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则________． 5．如图，在四面体中，，，两两垂直，，，则二面角的大小为________． 6．若平面与平面、都相交，则这三个平面的交线可能有________条．（写出所有可能结果） 7．已知斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱与底面所成的角的大小是，在平面上的射影在的平分线上，若侧面的面积为4，则此三棱柱的高为________． 8．一张纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为________．（结果精确到） 9．如图，平面的一条斜线与交于点，是在上的投影，是上过点的另一条直线．与所成的角的大小为，与所成的角的大小为，则点到直线的距离与点到直线的距离的比值为________． 10．若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题成为“可换命题”．下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一平面的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．（请将所有正确的序号都填上） 11．如图，在长方体中，，，经过点和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为________． 12．如图，已知四面体的棱平面，且，，，四面体以所在的直线为轴旋转弧度，且始终在水平放置的平面的上方，如果将该四面体在平面内投影面积看成关于的函数，记为，则该函数的值域为________． 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 13．如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（ ）． A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 14．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线与是异面直线的是（ ）． A． B． C D． 15．下列关于棱柱的说法中正确的是（ ）． A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形是棱柱 C．有一个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 D．在斜棱柱的侧面中，可有超过3个矩形 16．正方体透明容器的棱长为1，将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为（ ）． A． B． C． D． 三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分8分）本题共2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分． 如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是弧的中点． （1）求该圆柱的表面积； （2）求异面直线与所成角的正切值． 18．（本题满分10分）本题共2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分． 如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点． （1）证明：平面平面； （2）若是线段的中点，求证：平面． 19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分． 如图，，且，，，且，且，平面，．点、分别为、的中点． （1）设为上一点，确定点的位置，使平面平面，并证明； （2）求点到平面的距离． 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 端午节吃粽子，用箬竹叶包裹而成的三角粽是上海地区常见的一种粽子，假设其形状是一个正四面体（各棱长均相等的四面体），如图记作正四面体，设棱长为． （1）求箬竹叶折出的二面角的大小； （2）用绳子捆扎三角粽，要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合．请设计一种捆扎三角粽的方案，使绳子长度最短（不计打结用的绳子），请在图中作出绳子捆扎的路径，并说明理由． 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 如图，在矩形中，、分别是线段、的中点，，．将沿翻折，在翻折的过程中点记为点． （1）从翻折至的过程中，求点运动的轨迹长度； （2）设为的中点，当点的投影在直线上，求直线与平面所成角的大小； （3）翻折过程中，设二面角的平面角为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $