精品解析：江苏淮安市清河开明中学2026-2027学年八年级上学期数学练习一（10月）

八年级数学练习一 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义．无限不循环小数叫做无理数；分数、整数、能开得尽方的数都是有理数． 【详解】解： A．是分数，属于有理数，故不符合题意； B．是无限不循环小数，属于无理数，故符合题意； C．，是整数，属于有理数，故不符合题意； D．是整数，属于有理数，故不符合题意． 2. 下列各点中，位于第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各点横纵坐标在平面直角坐标系中的符号特征逐一进行判断． 【详解】解：选项，在轴上，不符合题意； 选项，在轴上，不符合题意； 选项，横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限，符合题意； 选项，横坐标为正，纵坐标为负，位于第四象限，不符合题意． 3. 下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（ ）． A. 2，2，3 B. 60，80，100 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为2，2，3不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为60，80，100可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴三边长为4，5，6不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴三边长为5，6，7不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据算术平方根和立方根的定义，逐项判断正误即可． 【详解】A、，原式子错误，不符合题意； B、，原式子错误，不符合题意； C、，原式子正确，符合题意； D、，原式子错误，不符合题意； 故选C． 5. 若点和点关于x轴对称，则的值是（ ） A. B. C. 7 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中，两点关于轴对称的特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此进行计算即可． 【详解】解：点和点关于x轴对称， ， ； 故选：B． 【点睛】此题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握两点关于轴对称的点的坐标的特点是解答此题的关键． 6. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 【答案】D 【解析】 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理． 7. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数是，且点在点右侧， ∴点表示的数为：， 故选：． 8. 如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，若，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据大角对大边即可判断． 【详解】 解：在中，所对的边是，所对的边是 即． 10. 将点向右平移5个单位长度得到点，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点平移的坐标规律，向右平移横坐标增加对应单位长度，纵坐标不变，据此计算即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点向右平移时，横坐标增加平移的单位长度，纵坐标不变 ∵点向右平移个单位长度得到点 ∴． 11. 2025年8月16日，第九轮“苏超”联赛在无锡举行，本场比赛观众人数为21095人，用四舍五入法将21095人精确到1000人，所得的近似数为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的近似数，将21095精确到1000人，即四舍五入到千位，需看百位数字．百位数字为0，，故舍去，即可得到近似数． 【详解】解：用四舍五入法将21095人精确到1000人，所得的近似数为． 故答案为：． 12. 已知点P的坐标为，则点P到x轴的距离为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为． 13. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的腰长为________． 【答案】 【解析】 【分析】等腰三角形未明确腰长，需分两种情况讨论，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合条件的情况即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，，． ∵，不满足三角形两边之和大于第三边． ∴此种情况不能构成三角形，舍去． 当腰长为时，三角形三边长为，，． ∵，满足三角形三边关系． ∴此种情况可以构成三角形，该等腰三角形的腰长为． 14. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 _________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 15. 如图，A、B两点坐标分别为、，点C在线段上，将线段沿翻折，点O落在边上的点D处．点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，由折叠的性质得出，，，从而求出的长，设，在Rt中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵A、B两点坐标分别为、， ，． 在中，， 由折叠的性质可知，，， ，． 设，则，， 在Rt中，即， 解得， 点的坐标为． 16. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了构造全等三角形来求线段最小值，同时也考查了所对直角边等于斜边的一半及垂线段最短等知识点．连接，由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证，推出，再由垂线段最短可知当时，值最小，利用含的直角三角形的性质定理可求的值． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形，，， ，，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 当时，值最小， 此时，，， ， 故答案为：2． 三、解答题（本题共10小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别化简算术平方根、立方根、绝对值，再合并计算． （2）分别化简零指数幂、算术平方根、立方根，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 求下列各式中的x的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）移项整理后，利用平方根的定义求解； （2）先把式子变形，再根据立方根的定义开立方求解． 【小问1详解】 解： 所以； 【小问2详解】 解： ． 19. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求出a，b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用正数的两个平方根互为相反数列方程求，根据立方根的定义列等式求． （2）将，的值代入计算，再求计算结果的平方根． 【小问1详解】 解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，解得． ∵的立方根为， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：把，代入，得． ∵， ∴的平方根为． 20. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． 在和中， ， ． （2）5 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）： ①作边的垂直平分线，交边于点E，交边于点M； ②作的平分线，交边于点F； （2）连接，若，则_____ （用含x的代数式表示）． 【答案】（1）如图所示，所作即所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据用尺规作线段的垂直平分线及角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线定义可得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，再由垂直平分线的性质可得，即，即可得出的度数． 【小问1详解】 解：①如下图， 分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P、Q，连接，交边于点E，交边于点M，则即为的垂直平分线； ②如上图， 以点C为圆心，任意长为半径画弧，交边、于点G、H，分别以点G、H为圆心，大于为半径画弧，两弧在内部交于点K，作射线交边于点F，则即为的平分线； 【小问2详解】 解：如下图， ，， ， 由作图知：垂直平分，平分， ，， ， ． 22. 如图中，是边上的高线，是边上的中线，点G为中点，． （1）求证：； （2）若的面积为，，则的面积为________． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵ 是 边上的高线， ∴ ，即 是直角三角形． ∵ 是 边上的中线， ∴ 点 是 的中点，即 是 斜边 上的中线， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． ∵ 点 是 的中点， ∴ ． （2）． 【解析】 【分析】（1）由 知 是直角三角形，点 是斜边 的中点，由"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"得 ，结合 得 ，故 是等腰三角形，再由三线合一得 ； （2）设 、，由 的面积求出 ； 是 的中线，得 ； 是 的中线，得 ；两者相减得 ，再由 是 的中点得 ． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ 设 ，，则 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 是 边上的中线， ∴ ． ∵ 点 是 的中点， ∴ 是 的中线， ∴ ． ∴ ． ∵ 点 是 的中点， ∴ ， ∴ 的面积为 ． 23. 如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； 【小问2详解】 解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 24. 如图，平面直角坐标系中，已知点和点满足，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角． （1）________；________； （2）点C的坐标为________； （3）在x轴上是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）过点作轴于点，证明，即可求解； （3）可得，由题意设，则，，然后分两种情况讨论，利用平方根解方程即可． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，，则， 过点作轴于点，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 由题意设， 则，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴当时，， ， ， 解得或， 当时，与点重合，无法构成三角形，故舍去， ∴； 当时，， ， 解得， ∴或； 综上，存在，或或． 25. 定义：如图1，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点P为关于点C的勾股点． （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则点P是不是关于点A的勾股点________（填“是”或“不是”）； （2）如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点D是外一点，且点C是关于点A的勾股点，，则的长为________； （3）如图4，是等边三角形，点P为内一点（不与点A、B、C重合），若，证明：点P是关于点A的勾股点． 【答案】（1）是． （2）． （3）证明：以 为边作等边三角形 ，使射线 在 的内部，连接 ． ∵ 是等边三角形， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．① ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在 与 中， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点 是 关于点 的勾股点． 【解析】 【分析】（1）由方格纸用勾股定理分别算出 、、，按定义检验 与 是否相等； （2）由定义得 ，由 得 ，结合 求出 ，再由等腰三角形三线合一得 ，在 中用勾股定理求 ； （3）以 为边构造等边三角形 ，把 的角拆出 ，使 、 成为同一个直角三角形的两条直角边，再用“SAS”证 ，把 转化为该直角三角形的斜边 ，从而 ． 【小问1详解】 解：由方格纸可知， 是直角边分别为 、 的直角三角形的斜边，、 都是直角边分别为 、 的直角三角形的斜边． ∵ ，，， ∴ ， ∴ 点 是 关于点 的勾股点， 故填：是． 【小问2详解】 解：∵ 点 是 关于点 的勾股点， ∴ ． ∵ ， 是 边上的中线， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 在 中，， ∴ 的长为 ． 【小问3详解】 略． 【点睛】本题考查新定义的理解、勾股定理、等腰三角形三线合一、等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质；解题关键是紧扣定义“到某顶点的距离的平方等于到另两个顶点的距离的平方和”进行转化；第三问通过构造等边三角形把 的角拆出 ，使 、 成为同一个直角三角形的两条直角边，再用“SAS”全等把 转化为该直角三角形的斜边，勾股定理得以直接应用． 26. “数形结合”和“建模思想”是很重要的数学思想方法，阅读并解决以下问题． 【提出问题】求的最小值． 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边为和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，，，问题就转为“在上求点B，使最小”问题． 如图2，连接交于点B，此时的最小值即为的长度．将延长至点H，使得，连接．则，，…… （1）【解决问题】的最小值为________； （2）【知识应用1】代数式的最小值为________； （3）【知识应用2】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为________． （4）【思维拓展】已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）． （2）． （3） km． （4）． 【解析】 【分析】（1）按题干模型， 的最小值等于 的长，在直角边为 、 的直角三角形中用勾股定理求 ； （2）把 、 看作两条共线直角边 、 上的斜边，最小值等于直角边为 与 的直角三角形的斜边长； （3）桥长固定为河宽 ，把点 沿垂直于河岸的方向平移一个河宽，用“两点之间线段最短”求 的最小值，再加上桥长； （4）是模型的逆向运用：把 、 看作斜边为 、、公共直角边为 的两个直角三角形的另一条直角边，由 用勾股定理的逆定理与等积法求 ． 【小问1详解】 解：如图，由题干的模型，，，， 的最小值即为 的长． ∵ ，，， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 【小问2详解】 解：如图，在直线 上取 ，作 于点 ，；作 于点 ，，点 、 在 的两侧． 在 上取点 ，使 ，则 ， ∴ ，， ∵ ，当点 在线段 上时取等号， ∴ 代数式的最小值即为 的长． 过点 作 ，交 的延长线于点 ， 则四边形 是长方形，，，， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 【小问3详解】 解：∵ 桥 垂直于河岸，河宽 ， ∴ ，从 到 的路程为 ． 如图，将点 沿垂直于河岸的方向向对岸平移 ，得点 ，连接 、． ∵ ，且 km， ∴ 四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ，当 、、 三点共线时取等号． 过点 作 于点 ，其中 是过点 的河岸垂线， ∵ 平移的距离等于河宽， ∴ 点 到北岸的距离等于点 到南岸的距离，即 ， ∵ 点 到北岸的距离为 km，且点 、 在北岸的两侧， ∴ ()， ，， ∴ ()， ∴ 最短路程为 ()． 【小问4详解】 解：如图，把 看作斜边为 、一条直角边为 的直角三角形的另一条直角边，把 看作斜边为 、一条直角边为 的直角三角形的另一条直角边． 构造两个直角三角形，使它们有公共直角边 ，直角顶点重合于点 ，且点 、 在直线 的两侧，连接 、，则 ，，，，，且点 、、 在同一条直线上． ∵ ， ∴ ，即 ． ∵ ， ∴ （勾股定理的逆定理）， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ． 经检验，当 时，，符合题意， ∴ ． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、“两点之间线段最短”，以及构造直角三角形求最值的方法；解题关键是读懂题干的模型：两条被开方数对应共线直角边上的两条斜边，其和的最小值等于以“水平总长”与“竖直线段之和”为直角边的直角三角形的斜边长；第（4）问是模型的逆向运用，由 得直角三角形，再用等积法求出公共直角边 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习一 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列各点中，位于第二象限的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（ ）． A. 2，2，3 B. 60，80，100 C. 4，5，6 D. 5，6，7 4. 下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若点和点关于x轴对称，则的值是（ ） A. B. C. 7 D. 1 6. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 7. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，若，则________（填“”、“”或“”）． 10. 将点向右平移5个单位长度得到点，则m的值为________． 11. 2025年8月16日，第九轮“苏超”联赛在无锡举行，本场比赛观众人数为21095人，用四舍五入法将21095人精确到1000人，所得的近似数为__． 12. 已知点P的坐标为，则点P到x轴的距离为________． 13. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的腰长为________． 14. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 _________ 15. 如图，A、B两点坐标分别为、，点C在线段上，将线段沿翻折，点O落在边上的点D处．点C的坐标为________． 16. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为_____________． 三、解答题（本题共10小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 求下列各式中的x的值： （1） （2） 19. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求出a，b的值； （2）求的平方根． 20. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）： ①作边的垂直平分线，交边于点E，交边于点M； ②作的平分线，交边于点F； （2）连接，若，则_____ （用含x的代数式表示）． 22. 如图中，是边上的高线，是边上的中线，点G为中点，． （1）求证：； （2）若的面积为，，则的面积为________． 23. 如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 24. 如图，平面直角坐标系中，已知点和点满足，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角． （1）________；________； （2）点C的坐标为________； （3）在x轴上是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． 25. 定义：如图1，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点P为关于点C的勾股点． （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则点P是不是关于点A的勾股点________（填“是”或“不是”）； （2）如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点D是外一点，且点C是关于点A的勾股点，，则的长为________； （3）如图4，是等边三角形，点P为内一点（不与点A、B、C重合），若，证明：点P是关于点A的勾股点． 26. “数形结合”和“建模思想”是很重要的数学思想方法，阅读并解决以下问题． 【提出问题】求的最小值． 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边为和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，，，问题就转为“在上求点B，使最小”问题． 如图2，连接交于点B，此时的最小值即为的长度．将延长至点H，使得，连接．则，，…… （1）【解决问题】的最小值为________； （2）【知识应用1】代数式的最小值为________； （3）【知识应用2】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为________． （4）【思维拓展】已知正数x满足，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $