精品解析：江苏省淮安市清江浦区2025--2026学年八年级上学期数学第二次月考卷

2025-2026学年八年级数学上学期第二次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. （－3，－2） B. （3，－2） C. （3，2） D. （－3，2） 2. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 估计在哪两个相邻整数之间（　　） A. B. C. D. 4. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 6. 已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是的高，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 比较大小：3__________． 10. 祖冲之是我国杰出的数学家，他首次将圆周率精算到小数第七位，即，取近似值是精确到______位． 11. 的算术平方根是______． 12. 函数 ，当_______时，正比例函数y随x的增大而增大． 13. 已知，是直线上的两个点，则______．（填“＞”“＜”或“＝”） 14. 已知点在第二象限，则的取值范围是_____________． 15. 如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为，，则边长的值为________． 16. 如图，等腰直角三角形中，，点在线段上，点在线段上，且．若，则的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算、求值： （1）计算：； （2）求的值：． 18. 如图，，，，点D在边上，与相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 已知的算术平方根是3，的立方根是，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 20. 已知点，解答下列各题． （1）点P在y轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； （3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求a的值． 21. 已知y﹣2与3x﹣4成正比例，且当x＝2时，y＝3． （1）求出y与x之间的函数解析式； （2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值． 22. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）画出关于轴对称的；标出的坐标 （2）求出的面积 （3）在y轴上画出点P，使得最小． 23. 如图，在中，，垂足分别为点D，点E，点F为中点，连接． （1）求证：． （2）已知，求的度数． 24. 如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： （1）试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； （2）求观景台与观景台之间距离的长． 25. 【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，，则的面积为______； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第二次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. （－3，－2） B. （3，－2） C. （3，2） D. （－3，2） 【答案】C 【解析】 【分析】关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标一样． 【详解】解：关于y轴对称的点的坐标是． 故选：C． 【点睛】本题考查点坐标的对称，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点坐标的特点． 2. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的概念．算术平方根为非负数，而立方根可为负数．选项A、B、C均混淆了算术平方根与平方根的区别，选项D正确。 【详解】解：A、∵，∴A错误； B、∵，∴B错误； C、∵，∴C错误； D、∵，∴D正确。 故选：D． 3. 估计在哪两个相邻整数之间（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是找出与15相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的单调性确定范围． 找出小于15和大于15的最接近的完全平方数，分别求出它们的算术平方根，即可确定所在的相邻整数区间． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， 故选：C． 4. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的定义以及根据图象判断是否为的函数，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：选项A：当取一个在圆水平直径对应区间内的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 选项B：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，满足函数定义，符合题意； 选项C：当取一个在圆水平直径对应区间内的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 选项D：当取一个大于的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 故选B． 5. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 6. 已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同，根据的长度，得计算B点的纵坐标即可． 本题考查了点的坐标特征，平行坐标轴直线上两点间的距离，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：根据A点的坐标为，轴， 得到， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故B点的坐标为或， 故选：C． 7. 若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先根据题意得出，进而可得出结论． 【详解】解：正比例函数经过第二、四象限， ， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 8. 如图，在中，是的高，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的“三线合一”得到平分，，再利用斜边上的中线性质可对①进行判断；由于垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，则利用可判断，从而得到与不全等，于是可对②进行判断；由得到，而，所以，接着证明，则利用三角形外角性质可对③进行判断；连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，在中利用勾股定理得到，然后利用等线段代换可对④进行判断． 【详解】解：∵，，是的高， ∴平分，， ∴为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴，所以①正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴与不全等，所以②错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，所以③正确； 连接，如图， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∵，， ∴，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 比较大小：3__________． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据实数的大小比较可进行求解． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为＜． 【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键． 10. 祖冲之是我国杰出的数学家，他首次将圆周率精算到小数第七位，即，取近似值是精确到______位． 【答案】百分 【解析】 【分析】根据近似数的精确度，近似值的最后一位数字4位于百分位，因此精确到百分位． 【详解】解：的近似值中，数字4在百分位上，故精确到百分位． 故答案为：百分． 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 函数 ，当_______时，正比例函数y随x的增大而增大． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，根据一次函数增减性求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据函数 是正比例函数及正比例函数y随x的增大而增大，列出不等式组求解． 【详解】解：∵是正比例函数，正比例函数y随x的增大而增大， ∴，，， 解得：， 故答案为：3． 13. 已知，是直线上的两个点，则______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的性质当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵，是直线上的两个点，， ∴， 故答案为：． 14. 已知点在第二象限，则的取值范围是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了点坐标所在的象限，熟练掌握平面直角坐标系中的点坐标的特征是解题关键．根据第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为，，则边长的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，再结合正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，正方形的面积为边长的平方， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 16. 如图，等腰直角三角形中，，点在线段上，点在线段上，且．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、二次根式的应用、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．作于点，交于点，利用等腰直角三角形的性质得到，利用平行线的性质得到，结合推出，利用等腰三角形的判定得到，设，表示出，列出方程求出的值，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：作于点，交于点， 等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， 又， ，， ， ， 设，则， ，， ，， ， ， 解得：， ，， ， ， 的长为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算、求值： （1）计算：； （2）求的值：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根的运算及利用立方根解方程，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，准确进行开方运算． （1）先分别计算、、的值，再进行加减运算； （2）通过移项将方程化为立方形式，利用立方根的定义求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 解得． 18. 如图，，，，点D在边上，与相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明： ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证即可求解； （2）由全等三角形的性质可得，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∵，， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．熟记相关知识点即可． 19. 已知的算术平方根是3，的立方根是，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根的定义，无理数整数部分的估算以及平方根的计算，熟练掌握这些定义和估算方法是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义，以及无理数整数部分的确定方法来求解、、的值．对于，利用算术平方根的定义建立方程；对于，依据立方根的定义构建方程；对于，通过估算的范围确定其整数部分． （2）先将（1）中求得的、、的值代入计算出结果，再根据平方根的定义求出该结果的平方根． 【小问1详解】 解：的算术平方根是（算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根 ） 的立方根是（立方根的定义：若一个数的立方等于，即，则叫做的立方根 ） 把代入得： （比较与完全平方数、的大小 ） 即 的整数部分 综上，，， 【小问2详解】 解：把，，代入得： （平方根的定义：若（），则叫做的平方根， ） 的平方根是 即的平方根是 20. 已知点，解答下列各题． （1）点P在y轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； （3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求a的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离： （1）根据在y轴上的点横坐标为0求出a的值即可得到答案； （2）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同求出a的值即可得到答案； （3）点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点Q的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵到x轴、y轴的距离相等，， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，则 当时，，则 综上所述，点P的坐标为或． 21. 已知y﹣2与3x﹣4成正比例，且当x＝2时，y＝3． （1）求出y与x之间的函数解析式； （2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】（1）y＝x；（2）﹣2 【解析】 【分析】（1）根据正比例的定义设y−2＝k（3x−4），然后把x＝2时，y＝3代入计算求出k值，再整理即可得解； （2）将点（a，−3）代入（1）中所求的函数的解析式求a的值． 【详解】解：（1）设y−2＝k（3x−4）， 将x＝2、y＝3代入，得：2k＝1，解得k＝， ∴y−2＝（3x−4），即y＝x； （2）将点P（a，−3）代入y＝x，得：a＝−3， 解得：a＝−2． 【点睛】本题综合考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． 22. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）画出关于轴对称的；标出的坐标 （2）求出的面积 （3）在y轴上画出点P，使得最小． 【答案】（1） 即为所求， （2）4 （3） 点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）利用分割法计算即可． （3）连接，交轴于点P，则点P即为所求． 本题考查了点关于y轴对称，线段和最小，熟练掌握对称是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，， 得的面积为：． 故答案为：4． 【小问3详解】 略 23. 如图，在中，，垂足分别为点D，点E，点F为中点，连接． （1）求证：． （2）已知，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴． （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质解答即可． （2）根据题意，得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质得． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： （1）试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； （2）求观景台与观景台之间距离的长． 【答案】（1）是，理由如下： 在中，∵，， ∴ ∴，即 根据垂线段最短， ∴是露营区到湖边的最短路径； （2）观景台与观景台之间距离的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴在中，由勾股定理得 解得： 答：观景台与观景台之间距离的长为． 25. 【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，，则的面积为______； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 【答案】（1）50；（2）①点的坐标为；②的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据得到，，再利用计算即可； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且，过点B作轴于．先求出点A、点C的坐标，再证明，得到，，即可求出点B的坐标； ②由题意设点P的坐标为，设点Q的坐标为．再根据为等腰直角三角形分情况讨论，构造“K形图”求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ， 故答案为：50； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且； 如图，过点作轴于． 当时，则， 点的坐标为，即： 当时，则， 解得， 点的坐标为，即， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为； ②由题意设点的坐标为，设点的坐标为． 分以下三种情况讨论： 情况1．如图，当，时， 过点作轴，过点作轴交于，过点作轴交于，则， 则点的坐标为，点的坐标为， ， ， ，， ， 解得，， 此时点的坐标为； 情况2．如图，当，时，过点作轴于点，过点作轴于点，则， 则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ，， ，， 解得， 此时点的坐标为， 情况3．如图5，当，时，过点作轴于点，过点作于点，则， 则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ，， ，， 解得，， 此时点的坐标为． 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $