第一章有理数-绝对值与平方的非负性拓展培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

【绝对值与平方的非负性】讲义（学生版） 班级：____________　姓名：____________　日期：____________ 一、课堂目标 · 理解绝对值与平方（偶次方）的非负性：，，； · 掌握核心结论：若几个非负数之和为 ，则每一个都等于 ，并会用它求字母的值； · 会用非负性求含绝对值或平方的代数式的最大值、最小值，并说明取最值时字母的取值； · 在「互为相反数」「整体代入」等变形中体会转化思想，提升运算能力与逻辑推理能力。 二、知识讲解 1. 绝对值与平方的非负性 【知识点】绝对值的非负性：任何数的绝对值都大于或等于 ，即 ，也就是说绝对值具有「非负性」。 【知识点】平方的非负性：任何数的平方都大于或等于 ，即 ，也就是说平方具有「非负性」。 【拓展】偶次方的非负性：任何数的偶次方都是非负的，即 （ 为正整数）。 非负性示意 方法总结｜为什么「和为 」就能「各自为 」？ 因为每一个加数都 ：只要有一个加数为正，总和就为正，不可能等于 ； 所以总和为 时，只能每个加数同时为 。 【知识点】非负性的两种常见考法： · ① 和为零型：若 ，则 且 ，即 ，； · ② 互为相反数型：若 与 互为相反数，则 ，同样得 ，。 注意：非负数之和为 时，每一个式子内部的整体都要为 ，例如由 得 ，而不是 。 例题 1　已知 与 互为相反数，则 的值为 ______。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  练习 1　若 ，求 的值。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  例题 2　回答下列问题： （1）若 ，求 、 的值。 （2）若 ，则 ______。 （3）已知 、、 都是负数，并且 ，则 ______ （填「」「」或「」）。 （4）若 ，求 的值。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  练习 2　若 ，求 的值。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  选做　若 ，求 的值。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  2. 非负性与最值 【知识点】解题关键：让平方或绝对值等于 ，即求出最值。 · ： 有最小值 （当 时取得）；： 有最大值 （当 时取得）； · ： 有最小值 （当 时取得）， 的最小值为 （当 时取得）； · 于是： 有最小值 ； 有最大值 。 的最小值 的最大值 例题 3　整式 的最小值是 ______。 　　  　　  　　  　　  　　  练习 3　当式子 取最小值时， 等于（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 　　  　　  　　  　　  例题 4　已知 的最大值为 ，则 ______。 　　  　　  　　  　　  　　  练习 4　用字母 表示一个有理数，则 一定是非负数，也就是它为正数或 ，所以 的最小值为 ；而 一定是非正数，即它的值为负数或 ，所以 有最大值 。根据这个结论完成下列问题： （1） 有最 ______ 值 ______； （2） 有最 ______ 值 ______； （3）当 ______ 时， 有最 ______ 值 ______。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  三、方法总结 【知识点】常用结论 · 非负性三兄弟：，，（ 为正整数）； · 和为零：若几个非负数之和为 ，则每一个都等于 （反之也成立）； · 非负数 常数有最小值： 的最小值是 （此时 ）； · 常数 非负数有最大值： 的最大值是 （此时 ）； · 看式子时先把它整体看作非负数（如 、），不必急着拆括号；系数（如 ）不影响零点位置。 【易错】 ① 见到「互为相反数」忘记先转化为和为 ，直接分类讨论。 ② 把「整体为 」错当成「字母为 」：由 应得 ，而不是 。 ③ 把 的最值当成 的最值： 的最小值在 处取得，但 本身可以任意大或任意小。 ④ 求最值时方向写反： 求的是最大值， 求的是最小值。 四、小测验 1.　若 ，则 的值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 　　  　　  　　  　　  2.　若 与 互为相反数，则 ______。 　　  　　  　　  　　  3.　 的最大值是 ______；当它取最大值时， 与 的关系是 ______。 　　  　　  　　  　　  4.　代数式 的最大值是 ______，此时 与 的关系是 ______。 　　  　　  　　  　　  学科网（北京）股份有限公司 $ 【绝对值与平方的非负性】讲义（教师版） 一、课堂目标 · 理解绝对值与平方（偶次方）的非负性：，，； · 掌握核心结论：若几个非负数之和为 ，则每一个都等于 ，并会用它求字母的值； · 会用非负性求含绝对值或平方的代数式的最大值、最小值，并说明取最值时字母的取值； · 在「互为相反数」「整体代入」等变形中体会转化思想，提升运算能力与逻辑推理能力。 二、知识讲解 1. 绝对值与平方的非负性 【知识点】绝对值的非负性：任何数的绝对值都大于或等于 ，即 ，也就是说绝对值具有「非负性」。 【知识点】平方的非负性：任何数的平方都大于或等于 ，即 ，也就是说平方具有「非负性」。 【拓展】偶次方的非负性：任何数的偶次方都是非负的，即 （ 为正整数）。 非负性示意 方法总结｜为什么「和为 」就能「各自为 」？ 因为每一个加数都 ：只要有一个加数为正，总和就为正，不可能等于 ； 所以总和为 时，只能每个加数同时为 。 【知识点】非负性的两种常见考法： · ① 和为零型：若 ，则 且 ，即 ，； · ② 互为相反数型：若 与 互为相反数，则 ，同样得 ，。 注意：非负数之和为 时，每一个式子内部的整体都要为 ，例如由 得 ，而不是 。 例题 1　已知 与 互为相反数，则 的值为 ______。 【答案】 【解析】 与 互为相反数，。 又 ，，，， ，， 。 练习 1　若 ，求 的值。 【答案】 【解析】，，且 ， ，，，， 。 例题 2　回答下列问题： （1）若 ，求 、 的值。 （2）若 ，则 ______。 （3）已知 、、 都是负数，并且 ，则 ______ （填「」「」或「」）。 （4）若 ，求 的值。 【答案】（1），；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）由非负性得 ，，，。 （2）由非负性得 ，，，，，， 。 （3）由非负性得 ，，。、、 都是负数，，，， （两个负数、一个正数相乘得正）。 （4）由非负性得 ，，。 练习 2　若 ，求 的值。 【答案】 【解析】由非负性得 ，，， ，，，， 。 选做　若 ，求 的值。 【答案】 【解析】，。 左边 ；若 ，则 ，矛盾，，此时 。 ，得 ，， 。 2. 非负性与最值 【知识点】解题关键：让平方或绝对值等于 ，即求出最值。 · ： 有最小值 （当 时取得）；： 有最大值 （当 时取得）； · ： 有最小值 （当 时取得）， 的最小值为 （当 时取得）； · 于是： 有最小值 ； 有最大值 。 的最小值 的最大值 例题 3　整式 的最小值是 ______。 【答案】 【解析】，， 当 即 时取等号， 最小值为 。 的图象 练习 3　当式子 取最小值时， 等于（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【答案】 【解析】要使 最小，只需 最小，即 ，解得 。故选 C。 例题 4　已知 的最大值为 ，则 ______。 【答案】 【解析】，，当且仅当 时取到最大值。 ，，此时最大值为 ， 。 练习 4　用字母 表示一个有理数，则 一定是非负数，也就是它为正数或 ，所以 的最小值为 ；而 一定是非正数，即它的值为负数或 ，所以 有最大值 。根据这个结论完成下列问题： （1） 有最 ______ 值 ______； （2） 有最 ______ 值 ______； （3）当 ______ 时， 有最 ______ 值 ______。 【答案】（1）小；；（2）大；；（3）；大； 【解析】（1） 的最小值为 ， 有最小值 。 （2） 的最大值为 ， 有最大值 。 （3）当 时 ， 取得最大值 ， 有最大值 。 三、方法总结 【知识点】常用结论 · 非负性三兄弟：，，（ 为正整数）； · 和为零：若几个非负数之和为 ，则每一个都等于 （反之也成立）； · 非负数 常数有最小值： 的最小值是 （此时 ）； · 常数 非负数有最大值： 的最大值是 （此时 ）； · 看式子时先把它整体看作非负数（如 、），不必急着拆括号；系数（如 ）不影响零点位置。 【易错】 ① 见到「互为相反数」忘记先转化为和为 ，直接分类讨论。 ② 把「整体为 」错当成「字母为 」：由 应得 ，而不是 。 ③ 把 的最值当成 的最值： 的最小值在 处取得，但 本身可以任意大或任意小。 ④ 求最值时方向写反： 求的是最大值， 求的是最小值。 四、小测验 1.　若 ，则 的值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【答案】 【解析】由非负性得 ，，，，，选 C。 2.　若 与 互为相反数，则 ______。 【答案】 【解析】 与 互为相反数，，由非负性得 ，，。 3.　 的最大值是 ______；当它取最大值时， 与 的关系是 ______。 【答案】；（ 与 互为相反数） 【解析】，，；当 即 时取最大值 。 4.　代数式 的最大值是 ______，此时 与 的关系是 ______。 【答案】； 【解析】，；当 即 时取最大值 。 学科网（北京）股份有限公司 $