专题03相反数、绝对值、有理数的大小比较同步培优讲义（重点知识梳理+9大核心题型+分层练习） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题03相反数、绝对值、有理数的大小比较同步培优讲义 ✺知识框架 本节以数轴为基础，掌握相反数、绝对值两大核心概念，依托概念掌握有理数大小比较，是初中代数化简、计算的基础必考内容。本节核心知识分为三大模块： 1.相反数：定义、几何意义、性质、符号化简 2.绝对值：定义、几何意义、代数法则、非负性、化简 3.有理数大小比较：数轴法、分类比较法、负数比较技巧 ✺知识梳理 知识点一、相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 特别规定：0 的相反数是 0。 2.几何意义：数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称，且到原点的距离相等。 3.核心性质： （1）若 a、b互为相反数，则 a + b = 0；反之若两个数之和为0，则这两个数互为相反数。 （2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 （3）任意有理数有且只有一个相反数。 4.多重符号化简规则 化简结果由负号个数决定：偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负，正号不改变数的符号。 示例：-(-5)=5，+(-3)=-3 知识点二、绝对值 1.定义：数轴上表示数a的点到原点的距离，叫做数a的绝对值，记作 |a|。 2.几何意义：绝对值的本质是距离，距离不能为负数，因此任意数的绝对值满足|a|≥ 0。 3.绝对值代数法则 （1）正数的绝对值是它本身：当a＞0时，|a|=a （2）0 的绝对值是0：当a=0时，|a|=0 （3）负数的绝对值是它的相反数：当a＜0时，|a|=-a 4.必考核心性质 （1）非负性：|a| ≥ 0。 若 |a|+|b|=0，则a=0，b=0 （2）互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a| （3）若|a|=|b|，则a=b 或 a=-b 5.化简步骤：先判断绝对值内部式子的正负 → 再套用绝对值法则 → 去掉绝对值符号化简 知识点三、有理数的大小比较 1.数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的数大。 2.大小比较基本法则 （1）正数＞0＞负数 （2）正数大于一切负数 （3）两个正数：绝对值大的数大 （4）两个负数：绝对值大的数反而小（重难点） 3.负数比较标准步骤：第一步：求出两个负数的绝对值；第二步：比较绝对值大小；第三步：绝对值大的负数更小。 示例：比较 -5 和 -2。 |-5|=5，|-2|=2。 因为 5＞2，所以 -5＜-2。 易错点梳理 1.0 的相反数是本身，相反数不一定一正一负。 2.绝对值一定是非负数，不存在负数的绝对值。 3.负数去掉绝对值符号后结果为正数。 4.两个负数比较大小，不能直接看绝对值，绝对值越大，原数越小。 5.多个绝对值相加为 0，则每一个绝对值里面的数都等于0。 速记口诀 相反数：符号相反、数值相同，和为零。 绝对值：距离原点、恒不为负，正留负变。 负数比大小：绝对值越大，数越小。 ✺题型精讲 题型1.相反数的定义 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，可知的相反数是. 【详解】解：的相反数是. 2．如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______． 【答案】 【分析】利用互为相反数的定义进行求解． 【详解】解：∵、互为相反数且它们之间的距离为6， ∴， ∴， ∴点表示的数为． 3．在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示． (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【答案】(1)如图所示： (2) 【详解】（1）解：略 （2） 解：由数轴知． 题型2.化简多重符号 1．下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 2．___________． 【答案】 【分析】根据多重符号化简法则，判断负号的个数，进而得出结果． 本题主要考查了多重符号的化简，熟练掌握多重符号化简法则（当负号的个数为奇数时，结果为负；当负号的个数为偶数时，结果为正）是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．规律探索： (1)当前面有99个负号时，化简后的结果是________；当前面有100个负号时，化简后的结果是________； (2)通过上面探索，你能总结出什么规律？ 【答案】(1)，； (2)若一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果等于它的相反数；若有偶数个负号，则化简后的结果等于它本身． 【分析】（1）依次添加符号得出规律求解即可． （2）根据（1）得出规律即可． 【详解】（1）解：当前面有1个负号时，则， 当前面有2个负号时，则， 当前面有3个负号时，则结果为 当前面有4个负号时，则结果为5， …… 若一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果等于它的相反数；若有偶数个负号，则化简后的结果等于它本身． 则当前面有99个负号时，化简后的结果是， 当前面有1个负号时，则， 当前面有2个负号时，则， 当前面有3个负号时，则结果为5 当前面有4个负号时，则结果为， …… 若一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果等于它的相反数；若有偶数个负号，则化简后的结果等于它本身． 则当前面有100个负号时，化简后的结果是， （3） 解：略； 题型3.相反数应用 1．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】解：， 故选：B． 2．用“”与“”表示一种法则：，，如：，则________． 【答案】 【分析】本题为新定义运算题，先根据运算法则计算两个括号内的结果，再计算外层运算得到最终结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式转化为， ∵， ∴． 3．已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)为负数，为正数 (2)的对应点的位置，如图所示． (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上两点间的距离： （1）根据数在原点的哪一侧，进行判断即可； （2）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，标出点的位置即可； （3）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数； （2）略． （3）因为与的对应点相隔2024个单位长度， 所以与的对应点都距离原点1012个单位长度． 又因为为负数， 所以． 题型4.绝对值的几何意义 1．已知，a、b是不为0的有理数，且，，，那么用数轴上的点来表示a，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用数轴上的点表示有理数，根据，，，得到a为负数，在原点的左侧，b为正数，在原点的右侧，且a到原点的距离大于b到原点的距离，进行判断即可． 【详解】解：，b是不为0的有理数，且，，， 为负数，在原点的左侧，b为正数，在原点的右侧，且a到原点的距离大于b到原点的距离， 故选：C． 2．的最大值是______． 【答案】3 【分析】通过分析绝对值表达式的不同情况，利用数轴上的距离关系来求解最大值． 【详解】解：设表示数的点为点A，表示数2的点为点B，表示数x的点为点P， 则，，． 当点P在点A左边时，如图， ∴ 当点P在线段上时，如图， ∴ ． ； 当点P在点B右边时，如图， ∴ ． 综上，， ∴的最大值是3． 3．定义：已知点M，N，Q为数轴上三点，我们规定：点Q到点M的距离是点Q到点N的距离的K倍，则称Q是的“K倍点”，记作∶．例如∶若点Q表示的数为0，点M表示的数为，点N表示的数为1，则Q是的“2倍点”，记作∶．应用：如图有一条数轴，A、B、P为数轴上三点，分别对应，5，． (1)①P、B两点之间的距离是 ； ②求的值； (2)若点C在数轴上且，求点C表示的数； (3)若点D是数轴上一点，且，直接写出点D表示的数． 【答案】(1)①8；②4 (2)2 (3)11或3 【分析】（1）①根据两点间距离的意义计算两数的差求绝对值即可；②根据Q是的“K倍点”的定义列式计算； （2）根据“K倍点”的定义得等式求解即可； （3）由，根据“K倍点”的定义列等式求解即可． 【详解】（1）解：已知： ， ①P、B距离∶ ； ② ； （2）解：由， 得 ， 得（不合题意）或， 得； （3）解：由， 得，得或 解得：或． 题型5.求一个数的绝对值 1．如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 2．若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了已知绝对值求这个数，根据数轴比较大小． 先根据绝对值求出，，再根据数轴得到，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧 ∴ 即， ∴或 故答案为：或 3．在数轴上把下列各数表示出来，并从小到大排列出来．，，，，0 (1)在数轴上表示上面各数． (2)并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 【答案】(1)在数轴上表示各数： (2) 【分析】（1）先化简各数，再在数轴上表示各数即可； （2）根据数轴上点的位置比较各数大小即可； 【详解】（1）解：，， 图略； （2） 解：由数轴得：． 题型6.绝对值非负性 1．式子的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性这一性质．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴A、B、C选项不符题意，D选项符合题意， 故选：D． 2．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为：且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 3．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 题型7.绝对值其他应用 1．有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 【详解】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 2．数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 (1)如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是_________； 【解决问题】 (2)①直接写出式子的最小值为_________； ②若代数式的最小值是4，则m的值为_________； ③若代数式，则x的值为_________； 【实际应用】 (3)如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为300米．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，3个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这9个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问：汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1)3 (2)①13；②或；③或10 (3)汇合地点M设置在点G，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为 【分析】（1）根据分析解答即可； （2）根据代数式的几何意义，结合（1）的方法求解即可； （3）E、F、G、H分别在数轴上表示，，0，300，设M表示的数为x，距离之和为s，根据题意可知，当M在点G上时，E、F、G、H到M的距离之和最小，则E、F、G、H到M的最小距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是的长，即为3． （2）解：①式子的几何意义是表示x的点到表示的点与表示5的点的距离之和，由（1）同理可得，当表示x的点在表示的点与表示5的点之间时，距离之和最小，最小值为表示的点与表示5的点之间距离，该距离为，因此的最小值为13； ②代数式的几何意义是表示x的点到表示的点与表示6的点的距离之和，当表示x的点在表示的点与表示6的点之间时，距离之和最小，最小值为表示的点与表示6的点之间距离，该距离为， ∵的最小值是4， ∴， ∴或． ③代数式的几何意义是表示x的点到表示的点与表示7的点的距离之和， 若表示x的点在表示的点与表示7的点之间，则距离之和为表示的点与表示7的点之间的距离，为，不满足， ∴表示x的点在表示的点左侧，或在表示7的点的右侧，即或， 当时，可化为，解得； 当时，可化为，解得； 综上所述，x的值为或10． （3）解：如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 它表示x所对应的点到表示、、、、、、、、这九个点的距离之和， 由（1）同理可得，当表示x的点在正中间的点时，s有最小值，即时，， ∴汇合地点M设置在点G，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为． 题型8.有理数大小比较 1．下列有理数中最小的数是（   ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】利用有理数比较大小的基本规则即可求出结果． 【详解】解：∵有理数大小比较规则为：正数大于0，0大于所有负数；两个负数比较，绝对值大的数反而小. ∴四个数中，，，，只需比较与的大小， ∵，，， ∴， 因此可得四个数的大小关系为 ， ∴最小的数是． 2．比较大小∶用“”，“”或“”填空∶_______． 【答案】 【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：​​，​ ∵​，即​​​， ∴​． 3．按要求解答下列问题： (1)已知有理数，写出的相反数，并说明理由． (2)比较与的大小． 【答案】(1)的相反数是．理由： 根据相反数的定义，和为0的两个有理数互为相反数． ， 的相反数是． (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）利用相反数的定义，通过验证两数和为0推导结果． （2）通过作差法得到两式的差为$2a$，结合的正负性分类讨论比较大小． 【详解】（1）略 （2）解： 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故． 综上所述，当时，；当时， ；当时，． 题型9.有理数大小比较的实际应用 1．哈尔滨市谷雨的白昼时长约为小时03分，哈尔滨市立秋的白昼时长约为小时18分，哈尔滨市白昼时长约为小时20分的节气可能是（     ） A．立春 B．小满 C．秋分 D．冬至 【答案】B 【分析】北半球哈尔滨的白昼时长在夏至日达到最长，二十四节气中谷雨在夏至前，立秋在夏至后，离夏至越近白昼时长越长，结合选项中节气的位置和白昼时长规律即可判断. 【详解】解：∵ 哈尔滨位于北半球，一年中夏至日白昼时长最长，谷雨在夏至前，立秋在夏至后，   已知谷雨白昼长小时分，立秋白昼长小时分， 所求白昼长小时分，比两者更长， 说明该节气比谷雨、立秋更靠近夏至， 立春在春分前，白昼短于小时，秋分接近昼夜平分，白昼约小时，冬至白昼最短，均不符合要求； 小满位于谷雨与夏至之间，更靠近夏至，符合白昼长度要求. 2．小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 3．某种食品包装袋上标注质量为，对6袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： ， 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 【答案】 解：检测结果为的那袋食品实际质量更接近标注质量，理由如下： ，，，，，， ∵偏差的绝对值表示实际质量与标注质量的相差程度，绝对值越小，实际质量越接近标注质量， ， ∴最小， ∴检测结果为的那袋食品实际质量更接近标注质量． 【分析】偏差的绝对值表示实际质量与标注质量的相差程度，绝对值越小，实际质量越接近标注质量，据此求解即可． 【详解】略 ✺分层练习 一、单选题 1．下列说法：①与4互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①∵与只有符号不同， ∴二者互为相反数，①正确． ②∵当时，， ∴不一定是负数，②错误． ③∵的相反数是，不满足符号相反， ∴互为相反数的两个数符号不一定相反，③错误． ④∵的相反数是， ∴与不互为相反数，④错误． ⑤∵任何有理数都有相反数， ∴⑤正确． 综上，正确的说法共2个． 2．下列各数是负整数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负整数的定义即可求解． 【详解】解：，是正整数； ，是负整数； 是负分数，不是整数； 不是整数． 3．若a，b为有理数，，，那么a，b，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴大小比较即可． 【详解】解：由数轴可知，且， ∴，， ∴． 4．我国地势西高东低，呈三级阶梯分布，下表是我国三级阶梯上部分地区的最低点海拔数据，其中海拔最低的是（     ） 四川盆地 滨海人工洼地 柴达木盆地 吐鲁番盆地 A．四川盆地 B．滨海人工洼地 C．柴达木盆地 D．吐鲁番盆地 【答案】D 【分析】明确海拔最低对应数值最小，将实际问题转化为有理数大小比较问题． 【详解】解：各地区海拔对应数值为， ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 即吐鲁番盆地海拔最低． 二、填空题 5．当_________时，式子有最小值． 【答案】 【分析】由绝对值的非负性可知，当取最小值时，原式取得最小值，由此计算的值． 【详解】解：∵， ∴当时，取得最小值，此时取得最小值， ∴． 6．如果，那么________0．（填“>”“<”“”或“”） 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，判断满足的的取值范围，注意不要遗漏的情况． 【详解】解：，即一个数的绝对值是它的相反数， 根据绝对值性质，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，且0的相反数也是0， 即负数和0的绝对值是它的相反数， 因此，如果，那么． 7．的相反数是______，1.7与______互为相反数，0的相反数是________． 【答案】 1 0 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，对于任意实数a，它的相反数记为，通过此定义进行解答即可． 【详解】解：的相反数在前面加上负号，即，所以， 1.7的相反数在1.7前面加上负号，即， 0的相反数还是0，即； 综上所述，的相反数是1，1.7与互为相反数，0的相反数是0． 故答案为：1，，0． 8．若，则满足条件的整数有_____个． 【答案】8 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式和绝对值的几何意义可得，当时，，据此解答即可． 【详解】解：表示数的点和表示数的点之间的距离为， 且根据绝对值的几何意义可得，当时，， ∴整数的取值范围为， ∴满足条件的整数有，，，，，，，，共个． 三、解答题 9．在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用 “” 号连接． 【答案】 在数轴上表示各数如图所示： 【分析】先确定各数在数轴上的对应位置并标注，再利用“数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数”的规律比较大小即可． 【详解】略 10．杭州亚运会期间，某出租车司机免费接送志愿者．某日从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)以公司为原点，用1个单位长度表示，在数轴上表示出第1批、第2批、第3批、第4批、第5批客人下车的位置（用A/B/C/D/E来表示下车位置）． (2)若该出租车每千米耗油，那么在这一过程中共耗油多少升？ 【答案】(1)如图所示： (2) 【分析】（1）公司作为原点0，依次累加行驶路程算出每一批客人下车点对应的数值，分别标记A、B、C、D、E，画数轴描点； （2）耗油量只看总行驶路程，把每次行驶的绝对值相加得到总千米数，再乘每千米耗油量即可得到总油耗． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故第1至5批客人下车位置依次对应数轴上的数、、、、，分别标注为A、B、C、D、E，数轴略； （2）解：（）， 答：在这一过程中共耗油． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03相反数、绝对值、有理数的大小比较同步培优讲义 ✺知识框架 本节以数轴为基础，掌握相反数、绝对值两大核心概念，依托概念掌握有理数大小比较，是初中代数化简、计算的基础必考内容。本节核心知识分为三大模块： 1.相反数：定义、几何意义、性质、符号化简 2.绝对值：定义、几何意义、代数法则、非负性、化简 3.有理数大小比较：数轴法、分类比较法、负数比较技巧 ✺知识梳理 知识点一、相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 特别规定：0 的相反数是 0。 2.几何意义：数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称，且到原点的距离相等。 3.核心性质： （1）若 a、b互为相反数，则 a + b = 0；反之若两个数之和为0，则这两个数互为相反数。 （2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 （3）任意有理数有且只有一个相反数。 4.多重符号化简规则 化简结果由负号个数决定：偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负，正号不改变数的符号。 示例：-(-5)=5，+(-3)=-3 知识点二、绝对值 1.定义：数轴上表示数a的点到原点的距离，叫做数a的绝对值，记作 |a|。 2.几何意义：绝对值的本质是距离，距离不能为负数，因此任意数的绝对值满足|a|≥ 0。 3.绝对值代数法则 （1）正数的绝对值是它本身：当a＞0时，|a|=a （2）0 的绝对值是 0：当a=0时，|a|=0 （3）负数的绝对值是它的相反数：当a＜0时，|a|=-a 4.必考核心性质 （1）非负性：|a| ≥ 0。 若 |a|+|b|=0，则 a=0，b=0 （2）互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a| （3）若|a|=|b|，则a=b 或a=-b 5.化简步骤：先判断绝对值内部式子的正负 → 再套用绝对值法则 → 去掉绝对值符号化简 知识点三、有理数的大小比较 1.数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的数大。 2.大小比较基本法则 （1）正数＞0＞负数 （2）正数大于一切负数 （3）两个正数：绝对值大的数大 （4）两个负数：绝对值大的数反而小（重难点） 3.负数比较标准步骤：第一步：求出两个负数的绝对值；第二步：比较绝对值大小；第三步：绝对值大的负数更小。 示例：比较 -5 和 -2。 |-5|=5，|-2|=2。 因为 5＞2，所以 -5＜-2。 易错点梳理 1.0 的相反数是本身，相反数不一定一正一负。 2.绝对值一定是非负数，不存在负数的绝对值。 3.负数去掉绝对值符号后结果为正数。 4.两个负数比较大小，不能直接看绝对值，绝对值越大，原数越小。 5.多个绝对值相加为 0，则每一个绝对值里面的数都等于0。 速记口诀 相反数：符号相反、数值相同，和为零。 绝对值：距离原点、恒不为负，正留负变。 负数比大小：绝对值越大，数越小。 ✺题型精讲 题型1.相反数的定义 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______． 3．在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示． (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 题型2.化简多重符号 1．下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．___________． 3．规律探索： (1)当前面有99个负号时，化简后的结果是________；当前面有100个负号时，化简后的结果是________； (2)通过上面探索，你能总结出什么规律？ 题型3.相反数应用 1．的值是（   ） A． B． C． D． 2．用“”与“”表示一种法则：，，如：，则________． 3．已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 题型4.绝对值的几何意义 1．已知，a、b是不为0的有理数，且，，，那么用数轴上的点来表示a，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．的最大值是______． 3．定义：已知点M，N，Q为数轴上三点，我们规定：点Q到点M的距离是点Q到点N的距离的K倍，则称Q是的“K倍点”，记作∶．例如∶若点Q表示的数为0，点M表示的数为，点N表示的数为1，则Q是的“2倍点”，记作∶．应用：如图有一条数轴，A、B、P为数轴上三点，分别对应，5，． (1)①P、B两点之间的距离是 ； ②求的值； (2)若点C在数轴上且，求点C表示的数； (3)若点D是数轴上一点，且，直接写出点D表示的数． 题型5.求一个数的绝对值 1．如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 2．若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则_____． 3．在数轴上把下列各数表示出来，并从小到大排列出来．，，，，0 (1)在数轴上表示上面各数． (2)并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 题型6.绝对值非负性 1．式子的值可能是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 3．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 题型7.绝对值其他应用 1．有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 (1)如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是_________； 【解决问题】 (2)①直接写出式子的最小值为_________； ②若代数式的最小值是4，则m的值为_________； ③若代数式，则x的值为_________； 【实际应用】 (3)如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为300米．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，3个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这9个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问：汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 题型8.有理数大小比较 1．下列有理数中最小的数是（   ） A． B．0 C． D．5 2．比较大小∶用“”，“”或“”填空∶_______． 3．按要求解答下列问题： (1)已知有理数，写出的相反数，并说明理由． (2)比较与的大小． 题型9.有理数大小比较的实际应用 1．哈尔滨市谷雨的白昼时长约为小时03分，哈尔滨市立秋的白昼时长约为小时18分，哈尔滨市白昼时长约为小时20分的节气可能是（     ） A．立春 B．小满 C．秋分 D．冬至 2．小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 3．某种食品包装袋上标注质量为，对6袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： ， 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ ✺分层练习 一、单选题 1．下列说法：①与4互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各数是负整数的是（　　） A． B． C． D． 3．若a，b为有理数，，，那么a，b，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．我国地势西高东低，呈三级阶梯分布，下表是我国三级阶梯上部分地区的最低点海拔数据，其中海拔最低的是（     ） 四川盆地 滨海人工洼地 柴达木盆地 吐鲁番盆地 A．四川盆地 B．滨海人工洼地 C．柴达木盆地 D．吐鲁番盆地 二、填空题 5．当_________时，式子有最小值． 6．如果，那么________0．（填“>”“<”“”或“”） 7．的相反数是______，1.7与______互为相反数，0的相反数是________． 8．若，则满足条件的整数有_____个． 三、解答题 9．在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用 “” 号连接． 10．杭州亚运会期间，某出租车司机免费接送志愿者．某日从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)以公司为原点，用1个单位长度表示，在数轴上表示出第1批、第2批、第3批、第4批、第5批客人下车的位置（用A/B/C/D/E来表示下车位置）． (2)若该出租车每千米耗油，那么在这一过程中共耗油多少升？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $