第二十七章 反比例函数 单元检测卷2026—2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章 《反比例函数》九年级数学上册单元检测卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：九年级上册数学第二十七章 第一部分 选择题(共36分) 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列函数是y关于x的反比例函数的是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣ 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义：形如的函数，叫做反比例函数；其中分母不能是多项式，只能是的一次单项式，即可． 【详解】A．，分母是多项式，不满足反比例函数的定义，故不合题意； B．，分母是的二次单项式，不满足； C．，满足反比例函数的定义，故符合题意； D．，是正比例函数，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的定义和解析式． 2．已知反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】∵反比例函数在各个象限内，随的增大而减小， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数（）的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小． 3．溶液中溶质的质量分数．当某溶液中溶质质量一定时，溶质质量分数与溶液质量满足的函数关系是（     ） A．反比例函数关系 B．一次函数关系 C．正比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】A 【分析】根据各种函数关系的定义判断即可． 【详解】解：设溶质质量为定值（），由题意得， ∵为定值， ∴为非零常数， ∴与满足反比例函数关系． 4．已知矩形的面积为 ，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（    ） A．    B． C．    D．     【答案】A 【分析】由长方形的面积公式得，且，，而B中有，的情况，C，D中有或的情况，据此即可得出结果． 【详解】解：， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是理解现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 5．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 故选：A． 6．在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：①当时，， 一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限； ②当时，， 一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限． 7．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于D，则四边形为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出，，则四边形的面积． 【详解】解：如图，延长交y轴于D，则四边形为矩形． ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴四边形的面积． 8．如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据正六边形的性质可得，，再根据所对的直角边为斜边的一半，可得，再根据勾股定理可得，进而可得，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形的边长为， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入中，即， 解得：． 9．如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】D 【分析】设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为，根据反比例函数的图像的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出k的值，再把代入函数关系式求解即可． 【详解】解：设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为， ∴，， ∴，解得， ∴， ， 当时，，即当时，P的值为． 10．已知点和均在反比例函数的图象上，若，，则下列结论一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，结合，分别求出和的取值范围，相加得到的范围，即可判断结论． 【详解】∵反比例函数 中 ∴在每个象限内， 随 的增大而增大，且时，时 对于，，可得当时，，当时， ∴ 对于，，可得当时，，当时， ∴ 将两范围相加，得： 即 ∵ ，∴ A选项符合范围，成立； B选项符合范围，成立； C选项不符合范围，一定不成立； D选项是范围最大值，符合范围，成立． 11．在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴可设， ∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 经检验，是分式方程的解， 综上，值为或， 故选：． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线的另一个交点为．现给出下面个结论： ①； ②一定是直角三角形； ③存在实数，，使得； ④对于任意的正数，都存在，使得． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，一元二次方程根与系数的关系，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解决问题的关键．连接，令与轴，轴分别交于，，联立两个解析式，可得，进而求得，，由此可得，可知，由反比例函数图象的性质可知点与点关于原点对称，得，即可判断①，，进而求得，即可判断②；由直线，可得，可知为等腰直角三角形，由三角形外角可知，，即可判断③；可知，，求得，，进而可得，可知，当时，关于的方程都有解，即可判断④． 【详解】解：连接，令与轴，轴分别交于，， 联立，整理得， 解得：，， 则，， ∴， 则， ∴， ∵直线与双曲线的另一个交点为C， 则点与点关于原点对称， ∴，故①正确； 则， ∵， ∴， ∴为直角三角形，故②正确； 对于直线，当时，，当时，，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由三角形外角可知，， ∴一定不是等腰直角三角形，故③不正确； ∵，， ∴ ， 由， ∴， 则， 当时，关于的方程都有解， ∴对于任意的正数k，都存在b，使得，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故选：C． 第二部分 非选择题 (共84分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 13．如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 【答案】 【分析】先求出点的坐标；再根据关于直线对称的性质，通过构造辅助线证明全等三角形，推导出点的坐标；最后构造正方形，用正方形面积减去周边直角三角形的面积，即可算出的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴，过点作轴，设直线与交于点． ∵直线平分， ∴． ∵点是点关于直线的对称点， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴． 延长，交于点，则， ∴． 14．已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可知，反比例函数图象在第二、四象限，系数小于0，即可得解． 【详解】解：在反比例函数中，当时，， ∴， ∴ ． 15．如图点，在反比例函数的图象上，若是以为直角的等腰直角三角形，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质． 过点作轴于点，过点作于点，根据等腰直角三角形和直角三角形的性质证明，根据点在反比例函数的图象上，设，根据全等三角形对应边相等列方程并解方程得到和的值，进而得到的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， 如图，过点作轴于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设，即， ∴，， ∴可列方程，解得：， ∵， ∴取，即. 16．如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，分别过，两点向轴作垂线段，垂足分别为点和，连接，则四边形的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， ， 设点在双曲线上，点的横坐标为，当时，， ， 依题意由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线，如图所示： 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，， ， ，， ， 依题意， ． 故答案为：． 三、解答题(17～19题每小题9分，20～22题每小题10分，23题15分，共72分) 17．已知点是反比例函数图象上一点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)点是否在这个函数的图象上? 【答案】(1) (2)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把点B和点C的横坐标代入对应的解析式中，求出y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设该反比例函数的解析式为， ∵点是该反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， 当时，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 18．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 19．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 20．学校的自动饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温：与通电时间成一次函数关系，加热到 即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至 时，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若水温在 时开始接通电源，经过分钟饮水机第一次关机，水温与通电时间之间关系如图所示． (1)求从开始到饮水机第一次关机，水温与通电时间的函数关系式； (2)从开始到饮水机第一次关机，有多长时间水温不低于 ? 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）分别求出加热和降温阶段水温为 的时间，再相减即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，把代入，得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴， 设一次函数的解析式为，把和代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为， 综上，从开始到饮水机第一次关机，水温与通电时间的函数关系式为； （2）解：当时，由，解得；由，解得， ∵， ∴从开始到饮水机第一次关机，有水温不低于 ． 21．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点P是y轴上的一点，的面积是12，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 22．如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）利用图象求不等式的解集； （3）设直线交轴于点，利用求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图像上， ，， 反比例函数的解析式为：， 在反比例函数上， ， ， 将点代入一次函数中，得， 解得， 所以一次函数的表达式为：； （2）解：∵， ， 根据图象得：或； （3）解：把代入得，， 设点为与轴的交点，则， ， 23．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为， (2)存在满足条件的，坐标为 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）先求出点m的值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标；过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （2）设，在中，由勾股定理得，得到，求出p的值，即可解答． （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点、关于原点对称， ； 过作轴，交于点， 设， 直线的解析式为， 当时， ， 解得， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （2）解：存在，理由如下： 设， ，，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， ， 两边同乘，整理得： ， 解得：，． 对应点，舍去． 当时，，即． 存在满足条件的，坐标为． （3）解：， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此时点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ； 点坐标为或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 《反比例函数》九年级数学上册单元检测卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：九年级上册数学第二十七章 第一部分 选择题(共36分) 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列函数是y关于x的反比例函数的是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣ 2．已知反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．溶液中溶质的质量分数．当某溶液中溶质质量一定时，溶质质量分数与溶液质量满足的函数关系是（     ） A．反比例函数关系 B．一次函数关系 C．正比例函数关系 D．二次函数关系 4．已知矩形的面积为 ，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（    ） A．    B．  C．    D．     5．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 6．在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（    ） A．  B．   C．   D．   7．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 10．已知点和均在反比例函数的图象上，若，，则下列结论一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线的另一个交点为．现给出下面个结论： ①； ②一定是直角三角形； ③存在实数，，使得； ④对于任意的正数，都存在，使得． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 第二部分 非选择题 (共84分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 13．如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 14．已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是______. 15．如图点，在反比例函数的图象上，若是以为直角的等腰直角三角形，则的值为______． 16．如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，分别过，两点向轴作垂线段，垂足分别为点和，连接，则四边形的面积是___________． 三、解答题(17～19题每小题9分，20～22题每小题10分，23题15分，共72分) 17．已知点是反比例函数图象上一点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)点是否在这个函数的图象上? 18．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 19．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 20．学校的自动饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温：与通电时间成一次函数关系，加热到 即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至 时，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若水温在 时开始接通电源，经过分钟饮水机第一次关机，水温与通电时间之间关系如图所示． (1)求从开始到饮水机第一次关机，水温与通电时间的函数关系式； (2)从开始到饮水机第一次关机，有多长时间水温不低于 ? 21．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点P是y轴上的一点，的面积是12，求点P的坐标． 22．如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)求的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $