第二十七章 反比例函数 章末测试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十七章 反比例函数 章末测试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册一、单选题 1．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数（为常数）的图象的是（　　）． A． B． C． D． 3．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则（     ） A． B． C． D． 4．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（     ） A． B． C． D． 5．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 7．已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 8．若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 9．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 10．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，则下列结论：①k的值可以为；②；③若点，则的解集是或；④．其中结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 11．自动加热饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直到降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．某天初始水温和室温均为，小林放满水后接通电源，收集了如下数据，并绘制了如图所示的水温y()关于通电时间x()变化的图象，其中，内，y与x满足反比例函函数关系．下列说法正确的是（     ） 通电时间 0 4 8 16 20 32 40 水温 20 60 100 50 40 25 20 A．第一次加热到用了 B．通电内，y关于x的函数表达式为 C．一个循环内水温高于的时间为 D．小林在期间可以接到不低于的水 12．某项目化学习小组设计了一款用于监测一氧化碳（）浓度的安全断路器，其电路图如图1所示．装置由控制电路（含电源、气敏电阻、定值电阻、电磁铁E等）和机械传动部分（含闸刀开关、轻质杠杆、铁块C等）组成，电磁铁E位于铁块C的正上方．当控制电路中的电流I超过设定值时，铁块C被电磁铁E吸起，杠杆偏转，带动细绳拉开闸刀开关，自动切断电路．已知电源电压U为，定值电阻的阻值为，．电磁铁E对铁块C的吸引力与通过控制电路中的电流I的关系如图2所示，气敏电阻的阻值与浓度的关系如图3所示，则下列说法不正确的是（     ） A．气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小 B．浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大 C．当电磁铁E对铁块C的吸引力为时，的浓度为 D．使用一段时间后，由于电源电压U减小，闸刀开关被拉开时一氧化碳实际的浓度会偏大 二、填空题 13．若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 14．已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 16．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 三、解答题 17．已知反比例函数的图象经过两点． (1)求m和k的值； (2)求出时，y的取值范围． 18．已知某反比例函数的图像经过点． (1)这个函数的图像位于哪些象限？ (2)若、也在这个函数的图像上，求、的值． 19．在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为时，它的另一边长为． (1)设矩形相邻的两边长分别为，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． (2)若其中一个矩形的一条边长为，求这个矩形与之相邻的另一边长． 20．如图，已知反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点且与反比例函数的图象相交于另一点． (1)试确定反比例函数的解析式及的面积； (2)根据图形直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围． 21．如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)图象的另一支位于哪个象限？求的取值范围； (2)点在该反比例函数的图象上． ①判断点，，是否在这个函数的图象上，并说明理由； ②在该函数图象的某一支上任取点和．如果，那么和有怎样的大小关系？ 22．已知在中，边BC的长为x，边BC上的高为y，的面积为6． (1)y与x的函数解析式为________，x的取值范围是________； (2)请在图中，画出该函数的图象； (3)若，是图象上的两个点，且，试判断，的大小． 23．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 24．杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 25．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C D A C C D D 题号 11 12 答案 D C 1．C 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， ∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6， 则它一定还经过（1，﹣6）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2．B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数图象的平移变换特点，以及代入特殊点排除错误选项即可得到答案． 【详解】解：令得，故函数过原点，所以排除； 的图象可由反比例函数向右平移个单位，再向上平移个单位得到，经过上述变化可得到选项，不能得到． 3．C 【分析】观察网格，设点、，将点、代入反比例函数得到，结合、均为正整数，且，据此解答即可． 【详解】解：观察网格，设点、， 将点、代入反比例函数得 ， 整理得， 由于点，在格点上，且在轴右侧， 则、均为正整数，且， 当时，，解得，， ∴点，， 则点，满足； ∴． 4．C 【分析】先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：，解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，． 故选：C． 5．D 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限和增减性，再结合各点横坐标的范围判断点所在象限，即可比较函数值的大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，比例系数， ∴ 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 点在第二象限，可得， ∵ ，， ∴ 点，都在第四象限， ∴，， 又∵ ，且第四象限内随的增大而增大， ∴ ， 综上可得 ． 6．A 【分析】先利用反比例函数的性质判断k的符号，再根据给定x区间的y最大值求出k的值，最后结合反比例函数性质求出目标区间y的最大值． 【详解】解：当时，y的最大值为， ，， ， 对于反比例函数，当时，每个象限内y随x的增大而减小， 在区间，x取最小值时y取得最大值， 将代入，得，即反比例函数为， 在区间中，x取最小值2时y取最大值． 7．C 【分析】先将点代入反比例函数，求出，确定函数解析式．把点代入解析式，算出．根据在函数上，得，结合条件，列出不等式．然后分、两种情况解不等式即可解答． 【详解】解：∵点在上， ∴， ∴反比例函数为． ∵点在上， ∴， ∵点在上， ∴． ∵， ∴ 即， 当时：不等式两边同乘，不等号方向不变，得， ∴； 当时：不等式两边同乘，不等号方向改变，得， ∴，该不等式恒成立，即都满足条件． 综上，的取值范围是或． 8．C 【分析】利用反比例函数的性质，时图象在第二、四象限，每个象限内y随x增大而增大，结合两点横坐标的大小关系，分象限讨论求解a的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大， ∵，即， 若两点在同一象限，根据y随x增大而增大，可得，与已知矛盾， ∴两点不在同一象限，即点P在第二象限，点Q在第四象限， 可得不等式组，， 解得， 故选：C． 9．D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 10．D 【详解】解：结论①：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，，反比例函数图象在第一、三象限， ∴正比例函数的图象经过第一、三象限， ，故不可能为．①错误； 结论②：∵正比例函数与反比例函数图象的交点，关于原点对称，．②正确； 结论③：，点与点关于原点中心对称， 点， 当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方， 此时，或．③正确； 结论④：，两点关于原点对称， ，， 把代入反比例函数解析式得：，．④正确． 11．D 【分析】A、根据平均每分钟水温上升计算，即可判断； B、根据y与x满足反比例函数关系，用待定系数法求解，即可判断； C、分别求出水温第一次上升到所需的时间，及水温再次回落到的时间，即可判断； D、正好是一次循环，是第二次循环的开始，当水温达到时，用时，时间为恰好时，再计算水温维持在所用的时间，即可判断答案． 【详解】解：A、第一次加热到，水温上升了，用时，所以选项A错误，不符合题意； B、设y关于x的函数解析式为， 将代入得， 解得， 关于x的函数解析式为， 所以选项B错误，不符合题意； C、当水温第一次上升到时，用时， 通电内，令， 则， 解得， 一个循环内水温高于的时间为()， 所以选项C错误，不符合题意； D、由图可知，正好是一次循环， 后，当水温再上升到时，用时，时间为， 令，则， 解得， 水温在以上的时间是()， ， 小林在期间可以接到不低于的水， 所以选项D正确，符合题意． 12．C 【分析】根据，结合图象逐项分析即可． 【详解】解：A、由图3，可知气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小，A选项说法正确； B、由图3，可知浓度越大，阻值越小，由，可知阻值越小，I越大，由图2，可知随I的增大而增大，即浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大，B选项说法正确； C、由图2，可知当时，，代入，即，解得．由图3，可知当时，浓度为，C选项说法错误； D、闸刀开关被拉开时，通过控制电路中的电流I不变，根据，可知当电源电压U减小，偏小，即偏小，由图3，可知此时浓度偏大，D选项说法正确． 13．5 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入解析式得：， 等式两边同乘得：， 解得． 14． 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 15．或 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或． 16．4 【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的最小值． 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 17．(1)，； (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象经过得、，即，计算得，即可得； （2）由（1）得，，即反比例函数解析式为，把， 分别代入反比例函数解析式即可得，，即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过 ∴、， ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得，， 即反比例函数解析式为， 当时，， 当时，， 即当时，随着的增大而减小， y的取值范围为：． 18．(1)这个函数的图像位于二、四象限； (2)． 【分析】（1）把代入反比例函数解析式求出k的值，即可得到答案； （2）反比例函数表达式为：．把、代入进行解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为： ∵反比例函数的图像经过点， ∴ ∴这个函数的图像位于二、四象限； （2）解：∵ ∴反比例函数表达式为：． 把、代入上式， 得 19．(1)，是反比例函数，比例系数为60 (2)这个矩形与之相邻的另一边长为12cm 【分析】（1）根据矩形的面积及反比例函数的定义即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设矩形的面积为，则， 即，， 即关于的函数解析式是，这个函数是反比例函数，系数为60； （2）解：当时，， 故这个矩形与之相邻的另一边长为12cm． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 20．(1)反比例函数的表达式为，的面积是4； (2)或． 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得反比例函数的表达式；先求出点B的坐标，再根据的面积等于的面积与的面积之差即可得； （2）根据点的坐标，利用函数图象法即可得． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：， 则反比例函数的表达式为． 解方程组，得或， ∴， 对于一次函数， 当时，，即， 则的面积为． （2）解：， 当反比例函数值大于一次函数值时，自变量的取值范围为或． 21．(1)第四象限， (2)①点，在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上；见解析；② 【分析】（1）直接根据反比例函数的图象与性质解答即可； （2）①先求得反比例函数解析式，再分别将三点坐标代入反比例函数解析式中，满足解析式的在图象上，不满足的不在即可判断；②根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：∵ 这个函数的图象的一支位于第二象限， ∴ 另一支必位于第四象限． ∴ ，解得． （2）解：∵ 点在其图象上， ∴ ，解得． ∴ 这个反比例函数的解析式为． ① 当时，；当时，；当时，． ∴ 点，在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． ② ∵ ， ∴ 在这个函数图象的每一支上，都随的增大而增大． ∴ 当时，． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、待定系数法求反比例函数解析式、函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键，注意反比例函数图象有两支，并且在不同的象限． 22．(1)； (2) 画图如下： (3) 【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出函数解析式即可； （2）画出反比例函数的图象即可； （3）根据图象和反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵是边上的高， ∴； 故答案为：，； （2）解：，； 列表如下： 2 3 4 6 6 4 3 2 （3）解：由图象可知， y随x的增大而减小． ∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的应用．根据题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用，列表，描点，连线画出图象，是解题的关键． 23．(1) (2)12个 (3)此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时 【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当时，，设，进而求解即可； （2）将代入反比例函数关系式求解即可； （3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可． 【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，， 设， ， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． ∴需要同时打开12个进水管； （3）解：∵， ∴此游泳池的容积是． ． 答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 24．(1)①；②零刻度所对应的点与点之间的距离为 (2)生锈秤砣的质量为 (3) 【分析】（1）①根据公式代入已知数量可得答案；②由零刻度时，，即可求解； （2）根据题意可得当一个物体的质量为，，设生锈的秤砣的质量为，可得，即可求解； （3）把 ，代入，可得，从而得到越大，越小，即可求解． 【详解】（1）解：① ，，， ， ． ②∵零刻度时， ， ． ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为． （2）解：∵当一个物体的质量为， ， ， 设生锈的秤砣的质量为， ， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． （3）解：由题意得： ，代入．得： ， ， ， 越大，越小， 当时，， ． 25．(1)函数图象如图所示： y与x之间的函数关系为 (2)托盘与点的距离是 (3)在移动前托盘B中的砝码质量为 【分析】（1）根据表格描点、连线即可，然后根据图象求函数表达式即可； （2）利用（1）函数表达式直接求解即可； （3）根据函数表达式求解即可，需要注意托盘运动前后仪器始终平衡． 【详解】（1）解：画图略； 观察图象可知，函数可能是反比例函数，设， 把的坐标代入，得， ∴， 经检验，其余各个点的坐标均满足 ∴该函数表达式为； （2）解：由（1）可知函数表达式为 ∴当时，代入函数表达式得， 解得， ∴托盘与点的距离是； （3）解：设移动前托盘中的砝码质量为，托盘与点的距离为， 由题意，得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 学科网（北京）股份有限公司 $