3.1.3 函数的奇偶性知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.1.3 函数的奇偶性　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第三章（函数的概念与性质） 从图象的对称到严格的数量关系：奇偶性定义、判断步骤、与单调性的关系及求解析式 图 1　本节知识地图：奇偶性定义、定义域要求、判断三步、与单调性的关系、求解析式与常见函数 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解偶函数与奇函数的定义，会用符号语言 f(−x)=f(x)、f(−x)=−f(x) 刻画两类对称； ② 掌握判断函数奇偶性的两种方法（定义法、图象法）与一般步骤； ③ 理解具有奇偶性的函数，其定义域一定关于原点对称； ④ 了解奇偶性与单调性的关系，会比较对称点处的函数值； ⑤ 会利用奇偶性求函数在另一侧的解析式，并补全函数图象。 重点 偶函数与奇函数的定义；用定义法判断函数奇偶性的步骤；利用奇偶性求解析式。 难点 定义中“−x∈D”与“任意”二字的意义；分段函数奇偶性的判断；利用奇偶性求另一侧解析式时的符号处理。 二、情境引入：对称的图象，相反的数量 观察下列函数的图象，先看图象的对称，再取自变量的一对相反数计算函数值： 函数 图象的对称 取自变量的相反数 函数值的关系 关于 y 轴对称 −2 与 2 关于 y 轴对称 −3 与 3 关于原点对称 −2 与 2 关于原点对称 −1 与 1 前两个函数的图象关于 y 轴对称：自变量取一对相反数时，函数值相等； 后两个函数的图象关于原点对称：自变量取一对相反数时，函数值互为相反数。 把“图象的对称”翻译成数量关系，就得到偶函数与奇函数的定义： 两类对称的“翻译”： 关于 y 轴对称，就是“相反的自变量，相等的函数值”，即 ； 关于原点对称，就是“相反的自变量，相反的函数值”，即 。 注意翻译的前提：自变量的相反数也必须落在定义域内， 才有意义。 三、偶函数与奇函数的定义 图 2　偶函数与奇函数：定义给出的两种对称 一般地，设函数 的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有 −x∈D，且 ，则称 为偶函数。 一般地，设函数 的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有 −x∈D，且 ，则称 为奇函数。 关键词拆解： ① “定义域为 D，且 −x∈D”：x 在定义域内时，相反数 −x 也必须在定义域内，这是定义的前提条件，不是结论； ② “任意一个 x”：不能换成“存在”。必须对定义域内每一个 x 都成立，举出一对相反数是不够的； ③ “f(−x)=f(x)”（偶）或“f(−x)=−f(x)”（奇）：这是判断的算式依据，要把 −x 代入解析式化简后与 f(x) 比较； ④ 两种函数可以同时成立：定义域关于原点对称且 f(x)=0 的函数既是奇函数又是偶函数。 反过来，从图象看：如果函数 的图象关于 y 轴对称，那么它是偶函数；如果图象关于原点对称，那么它是奇函数。 微判断：对于函数 ，取 时， 是成立的，那么 是奇函数吗？ 不是。取 ，，而 ，二者不相等； 奇函数的定义要求对定义域内任意 x 都有 ，“存在”一对相反数满足关系远远不够。 四、定义域关于原点对称：奇偶性的前提 设函数 的定义域为 D。如果 x∈D 而 −x 不在 D 中，那么 没有意义，就谈不上与 相等或相反。 因此，函数具有奇偶性的一个必要前提是：定义域关于原点对称，即对任意 x∈D，都有 −x∈D。 判断时可以先看定义域：定义域不关于原点对称的函数，一定既不是奇函数也不是偶函数（简称非奇非偶）。 定义域 是否关于原点对称 能否讨论奇偶性 R 对称 可以 (−∞,0)∪(0,+∞) 对称 可以 {x|x≠1} 不对称 不可以，直接判非奇非偶 [−2,1] 不对称 不可以，直接判非奇非偶 [0,+∞) 不对称 不可以，直接判非奇非偶 两个常用结论： ① 若奇函数 在 处有定义，则 。理由是 ，两边相加得 ； ② 既是奇函数又是偶函数的函数只有一类：，且其定义域关于原点对称。 注意： 还不能说明函数就是奇函数——还要看定义域是否关于原点对称、是否对任意 x 都有 。 按奇偶性分类，函数可以分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 五、判断函数奇偶性的方法 图 3　判断函数奇偶性：定义域先行，三步比较 定义法判断奇偶性的一般步骤： 步骤 做法 要点 第一步：一看定义域 求出定义域，看是否关于原点对称 不对称直接判非奇非偶，不再往下计算 第二步：二算 f(−x) 把 −x 代入解析式，化简 分段函数要按 x 的范围分段代入相应的解析式 第三步：三比较下结论 与 比较：相等为偶函数，互为相反数为奇函数，否则非奇非偶 结论要引用定义，不能只凭观察 例 1　判断函数 的奇偶性。 解：函数 的定义域为 R，关于原点对称。 对任意 x∈R，， 由奇函数的定义可知，函数 是奇函数。 例 2　判断函数 的奇偶性。 解：函数 的定义域为 R，关于原点对称。 对任意 x∈R，， 由偶函数的定义可知，函数 是偶函数。 例 3　判断函数 的奇偶性，其中当 x>0 时 ，当 x<0 时 。 解：函数的定义域是 (−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称。 分段代入，分两种情形讨论： x 的范围 f(−x) 落在哪一段 化简 与 f(x) 比较 x>0 −x<0，用 等于 x<0 −x>0，用 等于 两种情形都有 ，所以函数是偶函数。 分段函数的判断要点： ① 先看各段定义域合并后是否关于原点对称； ② 求 时，要根据 −x 的范围选择相应的解析式代入； ③ 各种范围都要讨论到，不能只验证一段就下结论。 例 4　判断函数 的奇偶性。 解：由 ，函数的定义域是 {x|x≠1}。 取 x=2，有 2∈定义域，而 −2 不在定义域中，定义域不关于原点对称， 所以函数 既不是奇函数也不是偶函数。 图象法：作出函数的图象，观察是否关于 y 轴或原点对称。图象法直观快捷，但只能判断“是”或“不是”；定义法才是严格的判断，两种方法结论一致。 六、奇偶性与单调性的关系 由图象的对称容易看出：奇函数在关于原点对称的两个区间上，单调性一致；偶函数在关于原点对称的两个区间上，单调性相反。 “奇同偶异”：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。 直观解释：偶函数的图象关于 y 轴对称，右侧上升的图象翻折到左侧就是下降；奇函数的图象关于原点对称，右侧上升的图象旋转到左侧仍然上升。 最值也有对应规律：偶函数在对称区间上的最值相同，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在对称区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数。 例 5　已知函数 f(x) 是偶函数，在区间 (0,+∞) 上单调递增，比较 f(−2) 与 f(1) 的大小。 解：由偶函数的定义，。 又 2>1，且 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，所以 ， 因此 。 本题也可以用“偶异”直接判断：偶函数在 (−∞,0) 上单调递减，但比较的两个点分居 y 轴两侧，先化到同一侧再比较更稳妥。 七、利用奇偶性求解析式 图 4　利用奇偶性求解析式：补全图象 已知函数在 y 轴一侧的解析式，可以利用奇偶性求出另一侧的解析式：设 x 在未知的一侧，则 −x 落在已知的一侧，先用已知解析式算出 ，再用 （偶函数）或 （奇函数）转化。 例 6　已知函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时 ，求 x>0 时 f(x) 的解析式。 解：设 x>0，则 −x<0，由已知得 。 因为 f(x) 是偶函数，，所以当 x>0 时 。 综上，，。它的图象是左右两支抛物线，关于 y 轴对称。 例 7　已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时 ，求 x<0 时 f(x) 的解析式。 解：设 x<0，则 −x>0，由已知得 。 因为 f(x) 是奇函数，，所以当 x<0 时 。 检验：，两段在原点相接；取 x=1 得 ，取 x=−1 得 ，正好互为相反数。 例 8　已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时 ，求 f(−2) 的值。 解：。由奇函数的定义，。 求解析式三步： 第一步：设 x 在待求的一侧，则 −x 在已知的一侧； 第二步：用已知解析式写出 并化简； 第三步：按奇偶性转化（偶函数取等号，奇函数添负号），写出 f(x) 的解析式。 别忘了：奇函数在原点有定义时 ，两段在原点要接上。 八、常见函数的奇偶性 图 5　常见函数的奇偶性：一次函数、二次函数与反比例函数 函数 奇偶性 说明 b=0 时为奇函数 图象过原点，关于原点对称 b≠0 时非奇非偶 直线不过原点，两种对称都不具有 b=0 时为偶函数 对称轴为 y 轴 b≠0 时非奇非偶 对称轴不是 y 轴，也不关于原点对称 奇函数 定义域关于原点对称，两支关于原点对称 可以看到：一次函数与二次函数的奇偶性由参数决定，反比例函数一定是奇函数。 判断顺序不能颠倒： 先看定义域是否关于原点对称，再计算 与 的关系； 参数问题（如“f(x) 为偶函数，求参数”）用比较系数法：由 得到恒等式，对应系数相等。 例 9　若函数 是偶函数，求 a 的值。 解：。由 ，得 对任意 x 成立， 所以 。此时 ，确是偶函数。 九、本节小结与易错辨析 要点 内容 偶函数 定义域关于原点对称，且 ；图象关于 y 轴对称 奇函数 定义域关于原点对称，且 ；图象关于原点对称；原点有定义时 判断方法 定义法（一看定义域、二算 f(−x)、三比较下结论）与图象法 性质 奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数相反；对称区间上最值相同或相反 应用 求另一侧解析式、求对称点函数值、比较大小、补全图象 易错点 错因 对策 忽视定义域 认为 在 [−2,1] 上是偶函数 先判断定义域是否关于原点对称，不对称直接判非奇非偶 以特殊代替一般 找到一个 x 使 f(−x)=−f(x) 就判定为奇函数 定义要求“任意 x”，否定只需一个反例，肯定必须任意 只算一段 分段函数只代入一段就下结论 按 x 与 −x 的范围分段讨论，各种范围都要覆盖 符号出错 奇函数求解析式时忘记添负号 用具体值检验（如例 7 的检验），两边函数值应互为相反数 混淆条件 误把 当作判定奇函数的依据 f(0)=0 只是判定时的参考，还需定义域对称与任意性 十、巩固练习 题号 题目 1 判断函数 的奇偶性。 2 判断函数 的奇偶性。 3 判断函数 的奇偶性。 4 判断函数 ，x∈[−2,1] 的奇偶性。 5 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且 ，求 。 6 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且 ，求 。 7 已知函数 f(x) 是奇函数，当 x>0 时 ，求 x<0 时 f(x) 的解析式。 8 判断下列分段函数的奇偶性：当 x≥0 时 ，当 x<0 时 。 9 若函数 是偶函数，求 a 的值。 10 判断函数 的奇偶性。 11 已知函数 f(x) 是偶函数，在 [0,+∞) 上单调递增，比较 与 的大小。 12 判断：若函数的图象关于原点对称，则它是奇函数。（ ） 13 判断函数 的奇偶性。 14 已知奇函数 f(x) 在 [−3,−1] 上的最大值是 5，求它在 [1,3] 上的最小值。 15 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时 ，求 的值。 16 判断函数 ，x∈[−2,2] 的奇偶性。 17 若函数 f(x) 是奇函数，且在 x=0 处有定义，那么 等于多少？ 18 判断函数 的奇偶性。 十一、参考答案 1. 定义域为 R；，是奇函数。 2. 定义域为 R；，是偶函数。 3. ，与 既不相等也不相反，非奇非偶。 4. 定义域 [−2,1] 不关于原点对称（如 1 在定义域内而 −1 不在），非奇非偶。 5. 由奇函数定义 。 6. 由偶函数定义 。 7. 设 x<0，则 −x>0，，由 得 。 8. 定义域为 R。当 x≥0 时 −x<0，；当 x<0 时 −x≥0，。两段都有 ，是奇函数。 9. ，由 得 。 10. ，与 既不相等也不相反，非奇非偶。 11. ，又 2>1 且函数在 [0,+∞) 上单调递增，所以 ，即 。 12. （√）。图象关于原点对称的函数满足“相反的自变量对应相反的函数值”，符合奇函数的定义。 13. 定义域为 R；，是偶函数。 14. 奇函数在关于原点对称的区间上最值互为相反数，故在 [1,3] 上的最小值为 −5。 15. ，。 16. 定义域 [−2,2] 关于原点对称，且 ，是奇函数。 17. ，即 ，所以 。 18. 定义域为 R；，是奇函数。 十二、方法归纳 任务 步骤 关键句式 判断奇偶性 一看定义域是否关于原点对称；二算 f(−x) 并化简；三与 f(x) 比较下结论 “定义域为……，关于原点对称；因为 f(−x)=……=f(x)，所以是偶函数” 判断分段函数 先看各段定义域的并集是否对称；再按 x 与 −x 的范围分段代入；最后汇总 “当 x>0 时……；当 x<0 时……。综上，对任意 x 都有……” 求另一侧解析式 设 x 在待求侧；用已知侧写 f(−x)；按奇偶性转化 “设 x>0，则 −x<0，f(−x)=……；由 f(−x)=f(x) 得 f(x)=……” 比较对称点函数值 先用 f(−x)=±f(x) 化到同一侧；再用该侧单调性比较 “f(−2)=f(2)，又 2>1 且函数递增，所以 f(−2)>f(1)” 含参待定 由 f(−x)=f(x)（偶）或 f(−x)=−f(x)（奇）得到恒等式；比较对应系数 “由 f(−x)=f(x) 得 2ax=0 对任意 x 成立，所以 a=0” 代数变形的三招（化简 f(−x) 时常用）：提公因式、因式分解、通分；含绝对值的式子先用 化简，再判断奇偶性。 本节边界：本节只研究函数图象关于 y 轴与原点的两类对称。其余对称形式、其余具体函数类型的性质，以及更形式化的逻辑表述，都放在后续章节；本节的等价关系一律用文字叙述。 学科网（北京）股份有限公司 $