2.1.1 等式的性质与方程的解集知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.1.1 等式的性质与方程的解集　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第二章（等式） 等式是代数变形的基础工具：等式的性质、恒等式与十字相乘、方程的解与解集 图 1　本节知识地图：等式的性质、恒等式、十字相乘法、方程的解集 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解等式的性质，会用四则运算性质进行等式变形； ② 理解恒等式的含义，记住常见的代数恒等式，会用十字相乘法分解因式； ③ 理解方程的解与解集的概念，会求简单一元一次方程、一元二次方程的解集。 重点 等式的性质；恒等式与十字相乘法；方程的解集 难点 等式两边同乘（或同除）时注意“除数不为 0”；十字相乘的配凑；用集合的观点理解方程的解集 本章研究“等式”这一代数基本对象。等式的性质是解方程、推导公式的依据；恒等式与十字相乘法是代数式变形的常用工具；方程的解集则把“求方程的解”提升为“求所有解组成的集合”，为后续学习打下基础。 二、情境引入 先看一个直观的问题：天平左盘放一个苹果，右盘放一个与它等重的砝码，天平平衡，说明两边质量相等。这时在天平的两边各加上一个质量相同的砝码，天平还平衡吗？ 显然仍然平衡——两边“同时加上同一个质量”，相等关系保持不变。把苹果、砝码的质量分别记作 a、b，这件事用符号写出来就是：如果 ，那么 。 生活原型“同时加同一个量、同时减同一个量、同时乘（或同除以）同一个非零量，相等关系都保持不变”——这就是等式的性质，也是解方程的根据。 三、等式的性质 等式是用等号“=”表示相等关系的式子。等式的性质是等式变形与解方程的依据，共有四条四则运算性质，另有两条常用推论。 性质 条件 结论 加法 a=b，c 为任意实数（或代数式） 减法 a=b，c 为任意实数（或代数式） 乘法 a=b，c 为任意不为零的实数 除法 a=b，c 为任意不为零的实数 图 2　天平模型：等式两边同时加上同一个数，天平仍平衡，即 a=b 可得 a+c=b+c 对称性若 ，则 。 传递性（等量代换）若 ，，则 。 注意事项等式两边同乘或同除以同一个数时，这个数必须不为 0；题目隐含的条件（如分母、根号下的式子）不能丢。 四、恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。 下面是常用的代数恒等式，要求准确记忆、灵活运用： 名称 恒等式 两数和的平方 两数差的平方 平方差公式 立方和公式 立方差公式 三数和的平方 图 3　常见恒等式：两数和（差）平方、平方差、立方和（差）、三数和平方 举例 例 1：化简 。 解：把原式看成 ，其中 ，，用平方差公式得 = 。 五、十字相乘法 对于二次三项式 ，如果能找到实数 、，使得 且 ，那么 。 寻找 、 时，把常数项 拆成两数之积、一次项系数 作为两数之和，常借助“十字”交叉来配凑，故称十字相乘法。 步骤① 分解常数项 为两数之积 ；② 验证 ；③ 写出 。 图 4　十字相乘法：常数项 6 拆成 2×3，一次项系数 5 为 2+3，故 举例 例 1：分解 。因为 且 ，所以 。 例 2：分解 。常数项 拆为 与 （），且 ，所以 。 例 3：首项系数不为 1 时，原理相同，仍可“十字”配凑，如 。 六、方程的解集 方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值。一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。 方程类型 解集 说明 一元一次方程 恰有一个解，解集是单元素集合 一元二次方程 或 或 两个不同解 / 一个重根 / 无实数解 （）；（） 化为乘积为 0 后，令各因式分别为 0 图 5　方程的解集：一次方程的解集为单元素集合，二次方程的解集可能为两个元素、一个元素或空集 特别地，方程 当 时解集为 ，当 时解集为 。 七、求方程解集的方法 求一个方程的解集，就是求出它的所有解并用集合表示。常用方法如下： (1) 移项、合并同类项适用于一元一次方程：把含未知数的项移到一边、常数项移到另一边，化为 后求解。 (2) 因式分解法适用于一元二次方程：利用十字相乘等方法化为 ，由“乘积为 0 则至少一个因式为 0”得解。 (3) 直接开平方、配方适用于 型：直接开平方，或配方后用平方根意义求解。 八、例题 例 1（等式性质的应用） 下列等式变形一定正确的是（　　） A若 ，则 （两边加减不一致） B若 ，则 （漏了 的情况） C若 ，，则 D若 ，则 （已隐含 ） 答：C、D 正确。A 错在两边加减的数不同；B 错在 a=0 也满足 ；C 中 时两边同除以 得 ；D 中 已隐含分母 ，两边同乘 即得 。 例 2（恒等式化简） 化简 。 解：把原式看成 ，其中 ，，用平方差公式得 = 。 例 3（十字相乘法因式分解） 用十字相乘法分解：① ；② 。 解：① 常数项 拆为 与 （，），故 ；② 常数项 拆为 与 （，），故 。 例 4（求方程的解集） 求下列方程的解集：① ；② ；③ 。 解：① ，，解集为 {4}；② ， 或 ，解集为 {−2, 2}；③ ，（重根），解集为 {2}。 九、易错辨析 同除以字母时忘“非零”由 推 必须 ；由 推 同样要求 。 恒等式 ≠ 方程恒等式对字母的任意实数取值都成立（如 ）；方程只对某些特定的值成立（如 只对 成立）。 十字相乘符号易错配凑 、 时要同时满足 与 ，一正一负时尤其要细心。 解集要用 { } 表示解集是一个集合，应写成 {2} 的形式；一元二次方程可能无解，此时解集为 。 十、本节边界 本节已学等式的四则运算性质（加、减、乘、除）与对称性、传递性；恒等式的含义与常见代数恒等式；十字相乘法因式分解；方程的解与解集的概念，以及求简单一次方程、二次方程解集的方法。 本节不涉及更复杂的代数变形与解法在后续内容中展开；数与式之间的不等关系留待本章后续研究；变量之间的依赖关系属于更后面的章节；前章学习过的条件与结论之间的逻辑关系，本节不引入。 十一、课后巩固 1. 等式性质下列变形一定正确的是（　　）：A. 若 ，则 ；B. 若 ，则 （）；C. 若 ，则 ；D. 若 ，则 。 2. 对称与传递填空：若 ，，则 ______；若 ，则 ______。 3. 恒等式判断下列等式中，______ 是恒等式：① ；② ；③ ；④ 。 4. 恒等式化简化简 。 5. 十字相乘分解：① ；② ；③ 。 6. 求解集求下列方程的解集：① ；② ；③ 。 7. 综合应用已知 ，利用十字相乘倒推 、 的值。 8. 辨析判断正误并说明理由：① 方程 的解集是 {2}；② 因为 ，所以 ；③ 等式两边同时除以 ，等式仍成立；④ 若 ，则 。 参考答案 1. B、C、D 正确。A 错（两边加减不一致）；B 中 时两边同乘 得 ；C 已隐含 ；D 由 两边平方亦成立。 2. ；（等式具有对称性与传递性）。 3. ①、③ 是恒等式（对任意实数都成立）；②、④ 是方程（只对特定值成立）。 4. 。 5. ① ；② ；③ 。 6. ① 移项 ，，解集 {4}；② ，解集 {−2, 2}；③ ，解集 {−1}。 7. 拆为 ，故 、（或互换）。 8. ① 对；② 错，应为 或 （解集 {−2, 2}）；③ 错，除以 必须 ；④ 错，需 。 学科网（北京）股份有限公司 $