3.1.3 第一课时 函数的奇偶性（学习讲义）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

本讲义聚焦函数奇偶性核心知识点，系统梳理从生活对称现象引入，经数学抽象形成偶函数（定义域对称且f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称）与奇函数（定义域对称且f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称）定义，再通过判断方法、图象问题及参数求解构建完整学习支架。 该资料以生活对称情境激发兴趣，通过“想一想”（如定义域存在x0满足f(-x0)=f(x0)是否为偶函数）引导逻辑推理，结合图象绘制培养直观想象，题型设计覆盖定义理解与应用，课中助力教师系统授课，课后练习帮助学生巩固提升，查漏补缺。

第一课时　函数的奇偶性 1.理解奇函数、偶函数的定义（数学抽象、逻辑推理）. 2.了解奇函数、偶函数图象的特征（直观想象、数学运算）. 3.掌握判断函数奇偶性的方法（逻辑推理、数学运算）. 　　在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影…… 【问题】　（1）上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“部分”对称？ （2）哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数的奇偶性 1.偶函数 （1）定义：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有　　 　，且　　　　　　，则称y＝f（x）为偶函数； （2）图象特征：图象关于　　　　对称. 2.奇函数 （1）定义：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有　　　　，且　　　　　　，则称y＝f（x）为奇函数； （2）图象特征：图象关于　　　　对称. 　　提醒：函数奇偶性的再理解：①函数y＝f（x）是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性；②若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则根据定义可得f（－0）＝－f（0），即f（0）＝0，即奇函数的图象过原点；③若f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f（x）＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集. 【想一想】 如果定义域内存在x0，满足f（－x0）＝f（x0），函数f（x）是偶函数吗？ 1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（1）＋f（－1）＝（　　） A.－1　　　　　　 B.0 C.1 D.2 2.函数f（x）＝的图象关于（　　） A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y＝x对称 3.已知函数y＝x2＋ax＋1是偶函数，则实数a的值为　　　　　. 题型一｜判断函数的奇偶性 【例1】　（链接教科书第111页例1）判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝2－｜x｜； （2）f（x）＝ ＋ ； （3）f（x）＝； （4）f（x）＝ 尝试解答 通性通法 判断函数奇偶性的两种方法 （1）定义法 （2）图象法 提醒：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 【跟踪训练】 1.下列函数是偶函数的是（　　） A.y＝x＋ B.y＝x2＋ C.f（x）＝＋ D.y＝＋ 2.函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（　　） A.f（x）＋g（x）为奇函数 B.f（x）＋g（x）为偶函数 C.f（x）g（x）为奇函数 D.f（x）g（x）为偶函数 题型二｜奇、偶函数的图象问题 【例2】　已知奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示. （1）画出在区间[－5，0]上的图象； （2）写出使f（x）＜0的x的取值集合. 尝试解答 【母题探究】 （变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题. 通性通法 巧用奇、偶函数的图象求解问题 （1）依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称； （2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题. 【跟踪训练】 1.〔多选〕已知定义在[－7，7]上的偶函数，它在[0，7]上的图象如图所示，则该函数（　　） A.有两个单调递增区间 B.有三个单调递减区间 C.在其定义域内有最大值7 D.在其定义域内有最小值－7 2.设奇函数f（x）的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时f（x）的图象如图所示，不等式f（x）＜0的解集用区间表示为　　　　. 题型三｜利用函数奇偶性求参数值 【例3】　（1）若f（x）＝（x－2）2＋2ax为偶函数，则a＝（　　） A.－4 B.－2 C.0 D.2 （2）若函数f（x）＝x4＋bx3＋ax2＋2是定义在[1－3a，a]上的偶函数，则a＋b＝　　　　. 尝试解答 通性通法 利用奇偶性求参数的常见类型 （1）定义域含参数：奇、偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数； （2）解析式含参数：根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解. 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝2x2＋，且f（－1）＝4，则m＝（　　） A.2 B.－2 C.4 D.－6 2.已知函数f（x）＝是奇函数，则a＝　　　　. 1.下列函数不具备奇偶性的是（　　） A.y＝2x B.y＝x2－5 C.y＝－ D.y＝ 2.函数f（x）＝的图象关于（　　） A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线y＝x对称 3.已知函数f（x）＝ax5＋bx3＋2，若f（m）＝7，则f（－m）＝（　　） A.－7 B.－3 C.3 D.7 4.〔多选〕f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g（1）＝3，f（1）＋g（－1）＝5，则（　　） A.f（1）＝1 B.f（－1）＝1 C.g（1）＝4 D.g（－1）＝－4 5.设f（x）＝－x3＋（a－2）x2＋x是定义在R上的奇函数，则f（a）＝　　　　. 提示：完成课后作业　第三章　3.1　3.1.3　第一课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.3　函数的奇偶性 第一课时　函数的奇偶性 【基础落实】 新知初探 知识点 1.（1）－x∈D　f（－x）＝f（x）　（2）y轴　2.（1）－x∈D 　f（－x）＝－f（x）　（2）原点 想一想 　提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立. 自我诊断 1.B　因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－1）＝－f（1），即f（1）＋f（－1）＝0.故选B. 2.A　函数f（x）＝的定义域为R，且f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称.故选A. 3.0　解析：由题意可知x∈R，f（－x）＝（－x）2＋a（－x）＋1＝x2－ax＋1，由于f（x）为偶函数，故f（x）＝f（－x），即x2＋ax＋1＝x2－ax＋1，即2ax＝0，故a＝0. 【典例研析】 【例1】　解：（1）∵函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，又f（－x）＝2－｜－x｜＝2－｜x｜＝f（x）， ∴f（x）为偶函数. （2）∵函数f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f（x）＝0，又f（－x）＝－f（x），f（－x）＝f（x）， ∴f（x）既是奇函数又是偶函数. （3）∵函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称， ∴f（x）是非奇非偶函数. （4）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当x＞0时，－x＜0， f（－x）＝1－（－x）＝1＋x＝f（x）； 当x＜0时，－x＞0， f（－x）＝1＋（－x）＝1－x＝f（x）. 综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数. 跟踪训练 1.B　对于A，y＝x＋的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），－x＋＝－（ x＋），y＝x＋是奇函数，不是偶函数；对于B，y＝x2＋的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），（－x）2＋＝x2＋，y＝x2＋是偶函数；对于C，由解得－1≤x＜1，所以f（x）的定义域是[－1，1），由于f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝＋的定义域为{1}，不是偶函数.故选B. 2.C　令F1（x）＝f（x）＋g（x），则F1（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝－f（x）＋g（x）≠－F1（x），且F1（－x）≠F1（x）， ∴F1（x）既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误； 令F2（x）＝f（x）g（x），则F2（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）g（x）＝－F2（x），且F2（－x）≠F2（x）， ∴F2（x）是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选C. 【例2】　解：（1）因为函数f（x）是奇函数，所以y＝f（x）在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f（x）在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示. （2）由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为（－2，0）∪（2，5）. 母题探究 　解：（1）图象如图所示， （2）由（1）可知，使函数值y＜0的x的取值集合为（－5，－2）∪（2，5）. 跟踪训练 1.AC　由题意作出该函数在[－7，7]上的图象，如图所示.由图象可知该函数有两个单调递增区间，两个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值－2.故选A、C. 2.[－6，－3）∪（0，3）　解析：由f（x）在[0，6]上的图象知，满足f（x）＜0的不等式的解集为（0，3）.又f（x）为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0）上，不等式f（x）＜0的解集为[－6，－3）.综上可知，不等式f（x）＜0的解集为[－6，－3）∪（0，3）. 【例3】　（1）D　（2）　解析：（1）f（x）＝（x－2）2＋2ax＝x2－4x＋4＋2ax＝x2＋（2a－4）x＋4，则f（－x）＝（－x－2）2＋2a（－x）＝x2＋4x＋4－2ax＝x2＋（4－2a）x＋4，由于函数是偶函数，有f（－x）＝f（x），故x2＋（4－2a）x＋4＝x2＋（2a－4）x＋4，所以2a－4＝4－2a，从而得到4a＝8，解得a＝2.故选D. （2）由题意得1－3a＋a＝0，解得a＝，又因为f（x）＝x4＋bx3＋ax2＋2为偶函数，所以f（－x）＝f（x），即x4－bx3＋ax2＋2＝x4＋bx3＋ax2＋2，解得b＝0，所以a＋b＝. 跟踪训练 1.A　由函数f（x）为偶函数，所以f（－1）＝f（1）＝2＋m＝4，所以m＝2.故选A. 2.1　解析：因为f（x）为奇函数，所以f（－1）＋f（1）＝0， 即（a－1）＋（－1＋1）＝0，故a＝1. 随堂检测 1.D　对于A选项，函数y＝2x为奇函数；对于B选项，函数y＝x2－5的对称轴为y轴，该函数为偶函数；对于C选项，函数y＝－为奇函数；对于D选项，函数y＝的定义域为{x｜x≠－3}，该函数为非奇非偶函数.故选D. 2.B　由得f（x）的定义域为[－，0）∪（0，]，关于原点对称. 又f（－x）＝＝＝－＝－f（x）， ∴f（x）是奇函数，∴f（x）＝的图象关于原点对称. 3.B　因为f（x）＝ax5＋bx3＋2，所以f（m）＝am5＋bm3＋2＝7，即am5＋bm3＝5，又f（－m）＝－am5－bm3＋2＝－（am5＋bm3）＋2＝－5＋2＝－3.所以f（－m）＝－3.故选B. 4.AC　因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（－1）＋g（1）＝3⇔－f（1）＋g（1）＝3，f（1）＋g（－1）＝5⇔f（1）＋g（1）＝5，解得f（1）＝1，g（1）＝4，即A、C都正确；而f（－1）＝－1，g（－1）＝4，即B、D都不正确.故选A、C. 5.－6　解析：因为f（x）＝－x3＋（a－2）x2＋x是定义在R上的奇函数，则f（－x）＝－f（x），即－（－x）3＋（a－2）（－x）2－x＝x3－（a－2）x2－x，解得a＝2，所以f（x）＝－x3＋x，则f（a）＝f（2）＝－8＋2＝－6. 学科网（北京）股份有限公司 $