第三章 图形的相似 (A卷) 单元测试 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 第三章 图形的相似(A卷) 单元测试AB卷 一、单选题 1．若,则(      ) A. B. C. D. 2．如图，，，，则(      ) A. B. C. D. 3．如图，已知，，若，则的长为(      ) A.16 B.12 C.4 D.3 4．如图，与位似，则其位似中心是(      ) A.点M B.点N C.点P D.点Q 5．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若，，，则的长为(      ) A.4 B.5 C.6 D.7 6．已知点P是线段的黄金分割点,若,则为(      ) A. B. C. D. 7．如图，，相交于点E，，，则与的周长比是(      ) A. B. C. D. 8．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于点F，连接AE，则图中与相似的三角形共有(      ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9．要将邻边为2和3的矩形按下图的方式向外放大，得到与矩形位似的矩形，根据所标数据，a的值应为(      ) A.3 B. C.2 D. 10．如图，在五边形ABCDE中，，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是(      ) A. B. C. D. 11．在中,D、E分别是、上的点,、交于点F,下列不能判定的是(      ) A. B. C. D. 12．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示.过点D作的垂线交小正方形对角线的延长线于点G，连结，延长交于点H.若，则的值为(      ) A. B. C. D. 二、填空题 13．如果,那么的值为____________. 14．照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一.如图是其工作原理图，底片上的与实物是位似图形，且相似比为，点A，C的对应点分别为，和的交点O即为位似中心，若，则的长为_____________. 15．如图,,,直线、、相交于点O,且,若的周长为15,则的周长为______________. 16．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.折叠该矩形纸片，使AB边落在AD边上，点B的对应点为点F，折痕为AE，展平后连接EF；继续折叠该纸片，使FD落在FE上，点D的对应点为点H，折痕为FG，展平后连接HG.若矩形矩形，，则CD的长为______________________. 17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与的面积的比值为____________. 三、解答题 18．如图，在四边形ABCD中，，E是AB上的一点，，并且EF将四边形ABCD分成的两个四边形AEFD，EBCF相似，若，，求的值. 19．如图,在中,D是上一点,E是上一点,且. (1)求证：； (2)若求的长. 20．如图,点B、D、E在一条直线上,与相交于点F,. (1)求证：； (2)若,,求的长. 21．如图，在锐角三角形中，点D，E分别在边，上，，F，G分别是，的中点. (1)求证：； (2)若，，直接写出的值. 22．如图，在矩形ABCD中，，，点E是边AD上一点，连接BE，CE. （1）如图（1），当时，求AE的长度. （2）如图（2），以BE为边在BE的左侧作矩形BEFG，且，连接AG. ①求证：； ②求证：. 参考答案 1．答案：A 解析：若,则, A.由,可得,故本选项符合题意； B.由,可得,故本选项不合题意； C.由,可得,故本选项不合题意； D.由,可得,故本选项不合题意； 故选：A. 2．答案：C 解析：，.故选C. 3．答案：A 解析：∵， ∴, ∴， ∵，， ∴， 则. 4．答案：A 解析： 5．答案：C 解析：∵， ，即， 解得：. 故选：C. 6．答案：B 解析：点P是线段的黄金分割点, , , , , 解得：或（舍去）, 故选：B. 7．答案：A 解析：∵，， ∴， ， ∴与的周长比是. 故选：A. 8．答案：B 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以，，所以，，，，所以，. 9．答案：D 解析：∵原矩形的长和宽分别为3和2， ∴由图形知，放大后的矩形宽为4，长为， ∵矩形位似于矩形， ∴， ∴. 10．答案：D 解析：，，.当添加时，，，，，A项不符合题意.当添加时，可得，，，B项不符合题意.当添加时，，，，，C项不符合题意.当添加时，，，，不能判断，D项符合题意. 11．答案：D 解析：若,已经具备的条件是一对公共角相等即, 故A.,符合两边对应成比例且夹角相等,故能判定,不符合题意； B.即,由,得,得, 故能判定,不符合题意； C.,,能判定,不符合题意； D. ,夹角不相等,无法判定相似,错误,符合题意, 故选：D. 12．答案：B 解析：如图，设与交于点N， 与交于点P，与交于点Q， ∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， ∴. 故选：B. 13．答案： 解析：, 设, . 14．答案：12 解析：∵底片上的与实物是位似图形，且相似比为，点O是位似中心，，，.，，，.，. 15．答案： 解析：, , , , , 设的周长为x, , , , 经检验,是原方程的解, 的周长为. 故答案为：. 16．答案： 解析：设.四边形ABCD为矩形，，，，由折叠的性质可知，，，四边形ABEF是正方形，同理可得四边形DFHG是正方形，，，，.矩形矩形，，即，解得（负值舍去）. 17．答案： 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，，.又，四边形AEBC是平行四边形，，.，易得，，，，，.同理可得.，.设，则，，，，，，故答案为. 18．答案： 解析：四边形AEFD与四边形EBCF相似， . ，，， 又，，. 19．答案：(1)见解析 (2) 解析：(1)证明：,, ； (2), , ,,, , . 20．答案：(1)见解析 (2) 解析：(1)证明：∵, ∴, ∴； (2)∵,, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴. 21．答案：(1)见解析 (2) 解析：(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2)∵， 由题意知，、分别是和对应边上的中线， ∴， ∵，， ∴. 22．答案：（1）4或1. （2）①证明见解析 ②证明见解析 解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，，，.，，，，，解得或1，经检验，和都是方程的解，且符合题意，的长度是4或1. （2）①∵四边形ABCD是矩形，四边形BE-FG是矩形，，，即.，，，，，. ②延长CE，GA交于M，如图.∵四边形ABCD是矩形， ，，， 由（1）知，， ，， 学科网（北京）股份有限公司 $