第3章图形的相似【素养培优卷 - 单元卷3】 2026～2027 学年北师大版数学九年级上册

第3章 图形的相似【素养培优卷 - 单元卷3】 2026~2027 学年北师大版九年级上册数学　　满分：100分　　考试时间：90分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知线段 a、b、c、d 满足 a:b = c:d，下列各式中一定成立的是（　　） A．(a+b):b = (c+d):d B． = C．:b = :c D．: = c:d 2．如图，四边形 四边形 A′B′C′D′，若 ，，，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在 中，点 D 在 AB 上，要使 ，下列添加的条件中不能使结论成立的是（　　） A． B． C．AC:AB = AD:AC D．AC:CD = AB:BC 4．已知线段 ，点 P 是 AB 的黄金分割点，且 AP>PB，则 AP 的长为（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中， 的顶点 ，以原点 O 为位似中心，将 按相似比 1:2 缩小得到 ，则点 A′ 的坐标为（　　） A．(2,3) B．(2,3) 或 C．(8,12) D． 6．如图，在 中，，AD::5，则 与 的面积比为（　　） A．4:9 B．4:25 C．4:21 D．4:49 7．如图，，AD 与 BC 交于点 O，若 与 的面积比为 9:49，则 OA:OD 的比为（　　） A．9:49 B．7:3 C．3:7 D．9:7 8．如图，在 中 ，AB::2， 中 ，AD::2，且 由 绕点 A 旋转得到，连接 BD、CE，则 BD:CE 的值为（　　） A．2:3 B．3:2 C．1:1 D．9:4 9．两个相似多边形的相似比为 2:3，它们的周长差为 12，则它们的周长分别为（　　） A．12 和 24 B．24 和 36 C．8 和 20 D．16 和 28 10．，相似比为 3:4，下列结论：①对应中线的比为 3:4；②对应角平分线的比为 3:4；③周长比为 9:16；④面积比为 9:16。其中正确的结论共有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．两个相似三角形的周长比为 2:5，若较小三角形的面积为 16，则较大三角形的面积为　＿＿＿＿＿＿＿＿。 12．如图，直线 ，分别交直线 AC 于 A、B、C，交直线 DF 于 D、E、F。若 AB::4，，则 EF=　＿＿＿＿＿＿＿＿。 13．如图，小明用一根标杆测量树高，已知眼睛距地面 ，标杆顶距地面 ，小明到标杆的距离为 ，到树的距离为 ，则树高为　＿＿＿＿＿＿＿＿m。 14．如图，在 中，，点 D 在 AB 上，且 。若 ，，则 AD=　＿＿＿＿＿＿＿＿。 15．如图，矩形 ABCD 中，，。沿对角线 AC 将 折叠，使点 B 落在点 E 处，则 BE 的长为　＿＿＿＿＿＿＿＿。 16．如图，正方形 A₁B₁C₁D₁、A₂B₂C₂D₂、A₃B₃C₃D₃……中，后一个正方形的顶点依次为前一个正方形各边的中点。若第 1 个正方形面积为 1，则第 n 个正方形的面积 Sₙ=　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 三、解答题（本大题共8小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，在 中，点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上，。 (1) 求证：； (2) 若 ，，，求 AE 的长。 18．（6分）如图，在由边长为 1 的正方形组成的网格中建立平面直角坐标系， 的顶点 、、 均为格点。 (1) 以原点 O 为位似中心，在 y 轴左侧画出 ，使 与 位似，且边长为 的 2 倍； (2) 求 的面积。 19．（6分）如图，点 B、E、C 在同一直线上，，，，，。 (1) 求证：； (2) 求 的值。 20．（6分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，点 G、H 分别在边 AB、CD 上，且 。 (1) 求证：； (2) 若 ，，求 GH 的长。 21．（6分）如图，在 中，， 于点 D。 (1) 求证：； (2) 若 ，，求 BD 的长。 22．（6分）【阅读理解】定义：若 中 ，则称 为“倍角三角形”，此时满足 。 (1) 请你阅读上述结论，并说明其成立的理由（提示：延长 BA 至 E，使 ，连接 CE）； (2) 在 中，，，，求 BC 的长。 23．（8分）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 ，与 y 轴交于点 。 (1) 求直线 AB 的解析式； (2) 在 y 轴上是否存在点 P（不与 B 重合），使以 P、O、A 为顶点的三角形与 相似？若存在，求点 P 的坐标； (3) 在 x 轴上是否存在点 Q（不与 A 重合），使以 Q、O、B 为顶点的三角形与 相似？若存在，求点 Q 的坐标。 24．（8分）如图，在 中，，，，N 为边 AC 的中点，点 M 在边 AB 上，且 于点 O。 (1) 求 的值； (2) 求 BN 的长。 学科网（北京）股份有限公司 $` 第3章 图形的相似【素养培优卷 - 单元卷3】 2026~2027 学年北师大版九年级上册数学　　满分：100分　　考试时间：90分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知线段 a、b、c、d 满足 a:b = c:d，下列各式中一定成立的是（　　） A．(a+b):b = (c+d):d B． = C．:b = :c D．: = c:d 【答案】A 【解析】由 a:b = c:d 得 ad = bc。A 为合比性质 (a+b):b = (c+d):d，正确；B 应为 ad = bc，错误；C 应为 :d，错误；D 应为 :，错误。故选 A。 2．如图，四边形 四边形 A′B′C′D′，若 ，，，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】相似多边形对应角相等，。四边形内角和 ，。故选 C。 3．如图，在 中，点 D 在 AB 上，要使 ，下列添加的条件中不能使结论成立的是（　　） A． B． C．AC:AB = AD:AC D．AC:CD = AB:BC 【答案】D 【解析】 与 有公共角 。A、B 由两角对应相等可判定相似；C 由 AC::AC 配合 公共，两边成比例夹角相等（SAS）可判定；D 中 AC::BC 不是夹公共角 的两边，不能判定。故选 D。 4．已知线段 ，点 P 是 AB 的黄金分割点，且 AP>PB，则 AP 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】黄金分割点中较长段 。故选 A。 5．在平面直角坐标系中， 的顶点 ，以原点 O 为位似中心，将 按相似比 1:2 缩小得到 ，则点 A′ 的坐标为（　　） A．(2,3) B．(2,3) 或 C．(8,12) D． 【答案】B 【解析】以原点为位似中心、相似比 1:2，位似对应点在原点两侧， 或 。故选 B。 6．如图，在 中，，AD::5，则 与 的面积比为（　　） A．4:9 B．4:25 C．4:21 D．4:49 【答案】D 【解析】AD::5 AD::7。，相似比 2:7，面积比 :49。故选 D。 7．如图，，AD 与 BC 交于点 O，若 与 的面积比为 9:49，则 OA:OD 的比为（　　） A．9:49 B．7:3 C．3:7 D．9:7 【答案】C 【解析】 ，面积比 9:49，相似比为 3:7，故 OA:::7。故选 C。 8．如图，在 中 ，AB::2， 中 ，AD::2，且 由 绕点 A 旋转得到，连接 BD、CE，则 BD:CE 的值为（　　） A．2:3 B．3:2 C．1:1 D．9:4 【答案】B 【解析】由 、AB::AE，可得 （手拉手旋转相似），故 BD:::2。故选 B。 9．两个相似多边形的相似比为 2:3，它们的周长差为 12，则它们的周长分别为（　　） A．12 和 24 B．24 和 36 C．8 和 20 D．16 和 28 【答案】B 【解析】相似多边形的周长比等于相似比 2:3。 设两个多边形的周长分别为 、，由 得 。 故 ，，即它们的周长分别为 24 和 36。故选 B。 10．，相似比为 3:4，下列结论：①对应中线的比为 3:4；②对应角平分线的比为 3:4；③周长比为 9:16；④面积比为 9:16。其中正确的结论共有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】相似三角形对应线段（中线、角平分线、高）之比与周长之比都等于相似比 3:4，故①②正确，③错误（周长比应为 3:4，非 9:16）；面积比等于相似比的平方 9:16，故④正确。 综上，正确的结论为①②④，共 3 个。故选 C。 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．两个相似三角形的周长比为 2:5，若较小三角形的面积为 16，则较大三角形的面积为　＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】100 【解析】相似三角形周长比等于相似比 2:5，面积比等于相似比的平方 4:25。设大三角形面积为 S，则 16::25，。 12．如图，直线 ，分别交直线 AC 于 A、B、C，交直线 DF 于 D、E、F。若 AB::4，，则 EF=　＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】16 【解析】平行线分线段成比例：AB::EF，即 3::EF，故 。 13．如图，小明用一根标杆测量树高，已知眼睛距地面 ，标杆顶距地面 ，小明到标杆的距离为 ，到树的距离为 ，则树高为　＿＿＿＿＿＿＿＿m。 【答案】6.5 【解析】视线、标杆、树构成相似三角形，(树高眼高):(标杆顶眼高)=眼到树距:眼到标杆距。设树高 H，::1，，。 14．如图，在 中，，点 D 在 AB 上，且 。若 ，，则 AD=　＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】 【解析】，，故 （母子型）。由 ，得 ，。 15．如图，矩形 ABCD 中，，。沿对角线 AC 将 折叠，使点 B 落在点 E 处，则 BE 的长为　＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】 【解析】点 B 与其关于 AC 的对称点 E 的距离 BE 等于 B 到 AC 距离的 2 倍。，B 到 AC 的距离=，故 。 16．如图，正方形 A₁B₁C₁D₁、A₂B₂C₂D₂、A₃B₃C₃D₃……中，后一个正方形的顶点依次为前一个正方形各边的中点。若第 1 个正方形面积为 1，则第 n 个正方形的面积 Sₙ=　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】 【解析】顺次连接正方形各边中点所得新正方形面积为原正方形面积的一半，故 。 三、解答题（本大题共8小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，在 中，点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上，。 (1) 求证：； (2) 若 ，，，求 AE 的长。 【答案】 【解析】(1) ，，由两角对应相等的两个三角形相似得 。 (2) 由 得 ，即 ，。 18．（6分）如图，在由边长为 1 的正方形组成的网格中建立平面直角坐标系， 的顶点 、、 均为格点。 (1) 以原点 O 为位似中心，在 y 轴左侧画出 ，使 与 位似，且边长为 的 2 倍； (2) 求 的面积。 【答案】 面积=8 【解析】(1) 位似比 2:1 且在 y 轴左侧，、、，作图略。 (2) 中 ，高为 2，面积=。位似比 2:1，面积比 4:1，故 面积=。 19．（6分）如图，点 B、E、C 在同一直线上，，，，，。 (1) 求证：； (2) 求 的值。 【答案】 【解析】(1) ，B、E、C 共线，故 ；又 ，，故 ；又 ，故 。 (2) ，，。 20．（6分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，点 G、H 分别在边 AB、CD 上，且 。 (1) 求证：； (2) 若 ，，求 GH 的长。 【答案】 【解析】(1) 设正方形边长为 a。作 EF 在两竖边、GH 在两横边的坐标系中，由 得 EF 与 GH 的方向向量满足关系，进而推得 （可用全等三角形平移证明）。 (2) 正方形边长 。，，。由 (1) ，故 。 21．（6分）如图，在 中，， 于点 D。 (1) 求证：； (2) 若 ，，求 BD 的长。 【答案】 【解析】(1) （同角的余角相等），，故 。 (2) 。由射影定理 ，得 ，。 22．（6分）【阅读理解】定义：若 中 ，则称 为“倍角三角形”，此时满足 。 (1) 请你阅读上述结论，并说明其成立的理由（提示：延长 BA 至 E，使 ，连接 CE）； (2) 在 中，，，，求 BC 的长。 【答案】 【解析】(1) 延长 BA 至 E 使 ，连接 CE。由 得 ，故 ，得 ，即 。 (2) ，。 23．（8分）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 ，与 y 轴交于点 。 (1) 求直线 AB 的解析式； (2) 在 y 轴上是否存在点 P（不与 B 重合），使以 P、O、A 为顶点的三角形与 相似？若存在，求点 P 的坐标； (3) 在 x 轴上是否存在点 Q（不与 A 重合），使以 Q、O、B 为顶点的三角形与 相似？若存在，求点 Q 的坐标。 【答案】(1) ；(2) 或 ；(3) 或 【解析】(1) 设 ，代入 得 ，，故 。 (2) 中 ，，。 中 ，相似需 OP::4 或 4:3。 时 （舍）， 时 。 (3) 中 ，相似需 OQ::3 或 3:4。 时 （舍）， 时 。 24．（8分）如图，在 中，，，，N 为边 AC 的中点，点 M 在边 AB 上，且 于点 O。 (1) 求 的值； (2) 求 BN 的长。 【答案】(1) ；(2) 【解析】以 C 为原点，CA 方向为 y 轴正方向、CB 方向为 x 轴正方向建系，则 ，，。设 。(1) ，，由 得 ，即 ，，故 AM:::1，。 (2) 。 学科网（北京）股份有限公司 $