专题07正多边形与圆及扇形期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题07正多边形与圆及扇形期中复习讲义 1.理解正多边形和圆的关系，掌握中心、中心角、边心距、半径等概念；能进行正多边形相关角度、边长、边心距的基础计算，会判断正多边形对称性。 2.掌握弧长、扇形面积公式，理解公式推导逻辑，能直接套用公式计算弧长、扇形面积。 3.会计算弓形面积、不规则阴影面积，掌握割补法、和差法求解圆中阴影部分面积。 4.掌握圆锥相关计算，理清圆锥母线、底面半径、高三者关系；能计算圆锥侧面积、全面积，理解圆锥侧面展开扇形与原圆锥之间的对应关系。 5.能结合几何图形，解决正多边形、扇形、圆锥的选择、填空基础题；可处理与三角形、圆结合的中档综合计算题。 .6厘清易错点：区分弧长公式与扇形面积公式；圆锥侧面展开图扇形半径是母线，不是圆锥的高；正多边形中心角的计算，注意多解与图形分类讨论。 题型 考察方向 难度 题型一 求正多边形的中心角 ★ 题型二 已知正多边形的中心角求边数 ★ 题型三 正多边形和圆的综合 ★★★ 题型四 求弧长 ★ 题型五 求扇形半径 ★ 题型六 求圆心角 ★ 题型七 求某点的弧形运动路径长度 ★★ 题型八 求扇形面积 ★ 题型九 求图形旋转后扫过的面积 ★★★ 题型十 求弓形面积 ★★ 题型十一 求其他不规则图形的面积 ★★★ 题型十二 求圆锥侧面积 ★★ 题型十三 求圆锥底面半径 ★★ 题型十四 求圆锥的高 ★★ 题型十五 求圆锥侧面展开图的圆心角 ★★ 题型十六 圆锥的实际问题 ★★★ 题型十七 圆锥的实际问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:正多边形与圆基础概念 1.圆的等分原理： 把一个圆分成相等的 n 段弧（n≥3 且 n 为整数），顺次连接各个分点，就能得到这个圆的内接正 n 边形；反之，任意一个正多边形都存在唯一的外接圆与内切圆，且两圆圆心重合，属于同心圆。 2.专属名词定义 ①正多边形的中心：正多边形外接圆、内切圆公共的圆心； ②正多边形的半径R：中心到正多边形任意一个顶点的线段长度，即外接圆半径； ③边心距r：中心到正多边形任意一条边的垂线段长度，也是正多边形内切圆的半径； ④中心角：正多边形两条相邻半径组成的夹角，是每条边所对外接圆的圆心角。 3.正多边形外接圆 & 内切圆对比表 分类 圆心 半径 图形特征 外接圆 正多边形中心 R（中心到顶点） 圆周经过正多边形所有顶点 内切圆 正多边形中心 边心距r（中心到边） 圆周与正多边形每条边 知识点02:正多边形的有关计算 知识点03:正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形。 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比、边心距的比、半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 要点诠释： （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形。 知识点04:弧长相关知识与公式推导 1.基础逻辑：整个圆的周长C=2πR，对应圆心角360，因此1圆心角对应的弧长为=； 2.弧长通用公式：半径为R，圆心角度数为n，对应弧长 l=； 3.变形公式：已知弧长、半径，求圆心角 n=； 4.规律：同圆或等圆中，弧长之比等于对应圆心角度数之比。 知识点05:扇形及扇形的面积公式 1. 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 2. 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中，因为 360 的圆心角所对的扇形面积就是圆面积 S = πR2，所以圆心角是 1 的扇形面积是 。于是，圆心角为 n的扇形面积为： S扇形 = 还可以用弧长表示扇形面积： S扇形 = lR其中 l 为扇形的弧长。 知识点06:圆锥的侧面积与全面积 1. 圆锥的母线 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 2. 圆锥的高 连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。 3. 圆锥的基本特征 (1)圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面。 （2）圆锥的母线长都相等。 （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线 l、圆锥的高 h、圆锥的底面半径 r 恰好构成一个直角三角形，由勾股定理得： l2 = r2 + h2 4. 圆锥的侧面积和全面积 母线长为 l，底面圆的半径为 r 的圆锥的侧面积： S侧 = πrl 全面积是它的侧面积与它的底面积之和，即：S全 = πrl + πr2 知识点07:全板块高频易错点（课堂重点纠错，减少失分） 正多边形部分 ①混淆中心角和内角公式，代入数值计算出错； ②使用勾股时直接用完整边长，忘记取边长的一半； ③求面积忘记公式是二分之一周长乘边心距，直接边长 × 边心距； ④作图时分点顺序混乱，未顺次连接导致图形不是正多边形；分不清量角器等分与尺规精准作图的适用场景。 弧长、扇形部分 ①记混公式分母：弧长分母 180，扇形角度公式分母 360； ②弓形面积忽略加减三角形，直接等同于扇形面积； 圆锥部分 ①混淆母线l和底面半径r，套公式时代错数字； ②求全面积只算侧面积，遗漏底面圆形面积； ③求展开圆心角时等量关系写错，弧长与周长不相等。 题型一：求正多边形的中心角 1．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 2．青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正八边形中，、是两条对角线，则___________． 题型二：已知正多边形的中心角求边数 4．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是正______边形． 5．如图，是的内接正六边形的一边，点在弧上，且是的内接正八边形的一边．则是的内接正___________边形的一边． 6．如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型三：正多边形和圆的综合 7．如图，正五边形内接于，连接，则___________． 8．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．某同学在学习了“割圆术”后，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为________． 9．如图，在圆内接正六边形中，点P在对角线上，记图中的面积分别为，，，，，，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是（   ）． A． B． C． D． 题型四：求弧长 10．如图，是的直径，与相切，A为切点，连接，交于点D，已知，，则的长为______． 11．如图，是的直径，点A，D在⊙O上，且，若，则劣弧的长为______． 12．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1， 与网格分别交于格点（网格线的交点）B，C，与其中一条网格线交于点A，则 的长为（     ） A． B． C． D． 题型五：求扇形半径 13．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 14．如图，半圆的直径为，点为半圆的三等分点，点为直径上任意一点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径为_________． 15．如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B．2 C． D．1 题型六：求圆心角 16．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，重物上升了，则滑轮旋转了________度．（假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动） 17．如图，等边三角形中，将边逐渐变成以为半径的，其他两边的长度不变，则扇形圆心角的度数为 ______． 18．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 题型七：求某点的弧形运动路径长度 19．如图，已知一钟表的分针长为，若该钟表的分针从到，则分针顶端经过的路径长为________． 20．如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了_________．（结果保留） 21．如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B顺时针旋转至①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至②位置……以此类推，这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和为（   ） A． B． C． D． 题型八：求扇形面积 22．一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留) 23．如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为________． 24．如图，直径为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 题型九：求图形旋转后扫过的面积 25．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为_____________．（结果保留） 26．如图，直角三角形的斜边长，，，，以点C为固定点将直角三角形顺时针旋转，使边与边成一直线，边在旋转时扫过的面积是 ________ 平方厘米（结果保留π）． 27．如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 题型十：求弓形面积 28．如图，以O为圆心的扇形AOB与扇形COD的圆心角为，若，，则阴影部分的面积为___________． 29．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为1米，则淤泥横截面的面积是______． 30．如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型十一：求其他不规则图形的面积 31．生物社团的学生采集树叶制作标本，图1是一枚树叶标本，树叶主体近似形如以一个正方形的顶点B，D为圆心，边长为半径的两条弧构成的曲边图形，如图2所示．经测量，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为______． 32．如图，在中，，以为直径作半圆交于点，若点两侧的阴影部分的面积相等，则的长度为______． 33．如图，这是小林设计的一个图案，已知是边长为6的等边三角形，以三角形的三边分别为直径作半圆，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 题型十二：求圆锥侧面积 34．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 35．如图所示的三视图为一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为_____． 36．如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 题型十三：求圆锥底面半径 37．如图，已知扇形的半径是，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为_______． 38．如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 39．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 题型十四：求圆锥的高 40．把半径为4的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D．2 41．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高____________． 42．若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 题型十五：求圆锥侧面展开图的圆心角 43．若一个圆锥底面圆的半径是2，母线长是6，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 44．如图，为研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，高为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的圆心角大小为___________． 45．如图，圆锥的母线长为，高是，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（　　） A． B． C． D． 题型十六：圆锥的实际问题 46．一堆煤呈圆锥形，底面直径是2米，高是米．已知每立方米的煤约重吨，这堆煤约重___吨． 47．如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深_________； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为_________． 48．用一个直径为的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线与相切于点，不倒翁的顶点到桌面的最大距离是.若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（  ） A． B． C． D． 题型十七：圆锥侧面上最短路径问题 49．如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是_______．    50．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（    ） A． B． C． D．2 51．如图，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是（ ）． A． B． C． D． 解答题 52．延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 53．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条所在直线，之间的夹角为．若的长为，的长为，求扇面的面积（结果取整数）． 54．如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． (1)求证：与相切； (2)若，的长为，求的半径． 55．如图，为外一点，为上一点，是的直径，，且与相切于点，连接和． (1)求证：； (2)求证：与相切； (3)若，求阴影部分的面积． 56．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为______，侧面积为______．（结果保留π） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 57．已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的面积： (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少? 58．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07正多边形与圆及扇形期中复习讲义 1.理解正多边形和圆的关系，掌握中心、中心角、边心距、半径等概念；能进行正多边形相关角度、边长、边心距的基础计算，会判断正多边形对称性。 2.掌握弧长、扇形面积公式，理解公式推导逻辑，能直接套用公式计算弧长、扇形面积。 3.会计算弓形面积、不规则阴影面积，掌握割补法、和差法求解圆中阴影部分面积。 4.掌握圆锥相关计算，理清圆锥母线、底面半径、高三者关系；能计算圆锥侧面积、全面积，理解圆锥侧面展开扇形与原圆锥之间的对应关系。 5.能结合几何图形，解决正多边形、扇形、圆锥的选择、填空基础题；可处理与三角形、圆结合的中档综合计算题。 .6厘清易错点：区分弧长公式与扇形面积公式；圆锥侧面展开图扇形半径是母线，不是圆锥的高；正多边形中心角的计算，注意多解与图形分类讨论。 题型 考察方向 难度 题型一 求正多边形的中心角 ★ 题型二 已知正多边形的中心角求边数 ★ 题型三 正多边形和圆的综合 ★★★ 题型四 求弧长 ★ 题型五 求扇形半径 ★ 题型六 求圆心角 ★ 题型七 求某点的弧形运动路径长度 ★★ 题型八 求扇形面积 ★ 题型九 求图形旋转后扫过的面积 ★★★ 题型十 求弓形面积 ★★ 题型十一 求其他不规则图形的面积 ★★★ 题型十二 求圆锥侧面积 ★★ 题型十三 求圆锥底面半径 ★★ 题型十四 求圆锥的高 ★★ 题型十五 求圆锥侧面展开图的圆心角 ★★ 题型十六 圆锥的实际问题 ★★★ 题型十七 圆锥的实际问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:正多边形与圆基础概念 1.圆的等分原理： 把一个圆分成相等的 n 段弧（n≥3 且 n 为整数），顺次连接各个分点，就能得到这个圆的内接正 n 边形；反之，任意一个正多边形都存在唯一的外接圆与内切圆，且两圆圆心重合，属于同心圆。 2.专属名词定义 ①正多边形的中心：正多边形外接圆、内切圆公共的圆心； ②正多边形的半径R：中心到正多边形任意一个顶点的线段长度，即外接圆半径； ③边心距r：中心到正多边形任意一条边的垂线段长度，也是正多边形内切圆的半径； ④中心角：正多边形两条相邻半径组成的夹角，是每条边所对外接圆的圆心角。 3.正多边形外接圆 & 内切圆对比表 分类 圆心 半径 图形特征 外接圆 正多边形中心 R（中心到顶点） 圆周经过正多边形所有顶点 内切圆 正多边形中心 边心距r（中心到边） 圆周与正多边形每条边 知识点02:正多边形的有关计算 知识点03:正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形。 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比、边心距的比、半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 要点诠释： （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形。 知识点04:弧长相关知识与公式推导 1.基础逻辑：整个圆的周长C=2πR，对应圆心角360，因此1圆心角对应的弧长为=； 2.弧长通用公式：半径为R，圆心角度数为n，对应弧长 l=； 3.变形公式：已知弧长、半径，求圆心角 n=； 4.规律：同圆或等圆中，弧长之比等于对应圆心角度数之比。 知识点05:扇形及扇形的面积公式 1. 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 2. 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中，因为 360 的圆心角所对的扇形面积就是圆面积 S = πR2，所以圆心角是 1 的扇形面积是 。于是，圆心角为 n的扇形面积为： S扇形 = 还可以用弧长表示扇形面积： S扇形 = lR其中 l 为扇形的弧长。 知识点06:圆锥的侧面积与全面积 1. 圆锥的母线 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 2. 圆锥的高 连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。 3. 圆锥的基本特征 (1)圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面。 （2）圆锥的母线长都相等。 （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线 l、圆锥的高 h、圆锥的底面半径 r 恰好构成一个直角三角形，由勾股定理得： l2 = r2 + h2 4. 圆锥的侧面积和全面积 母线长为 l，底面圆的半径为 r 的圆锥的侧面积： S侧 = πrl 全面积是它的侧面积与它的底面积之和，即：S全 = πrl + πr2 知识点07:全板块高频易错点（课堂重点纠错，减少失分） 正多边形部分 ①混淆中心角和内角公式，代入数值计算出错； ②使用勾股时直接用完整边长，忘记取边长的一半； ③求面积忘记公式是二分之一周长乘边心距，直接边长 × 边心距； ④作图时分点顺序混乱，未顺次连接导致图形不是正多边形；分不清量角器等分与尺规精准作图的适用场景。 弧长、扇形部分 ①记混公式分母：弧长分母 180，扇形角度公式分母 360； ②弓形面积忽略加减三角形，直接等同于扇形面积； 圆锥部分 ①混淆母线l和底面半径r，套公式时代错数字； ②求全面积只算侧面积，遗漏底面圆形面积； ③求展开圆心角时等量关系写错，弧长与周长不相等。 题型一：求正多边形的中心角 1．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 【答案】 【分析】根据正多边形中心角度数公式计算即可． 【详解】解：正九边形中心角度数为． 2．青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正n边形中心角的计算公式是解题的关键． 用除以正多边形的边数，计算即可． 【详解】解： 故选：C． 3．如图，在正八边形中，、是两条对角线，则___________． 【答案】 【分析】构造正八边形的外接圆，求出所对的圆心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】如图，取中点O，以点O为圆心作正八边形的外接圆， 则正八边形的各顶点都在圆O上， 连接、、， ∵正八边形的中心角为， ∴， ∴， ∴． 题型二：已知正多边形的中心角求边数 4．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是正______边形． 【答案】五 【分析】利用正多边形所有中心角的和为，且各中心角相等，计算得到多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，且每个中心角相等， ∴这个多边形的边数为， 故这个多边形是正五边形． 5．如图，是的内接正六边形的一边，点在弧上，且是的内接正八边形的一边．则是的内接正___________边形的一边． 【答案】二十四 【分析】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，连接，先求得、的度数，然后利用除以度数，根据所得的结果进行分析即可得． 【详解】解：连接， ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正八边形的一边， ∴， ∴， ∵， ∴是的内接正二十四边形的一边， 故答案为：二十四． 6．如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接，可得，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ， ∴这个正多边形的边数为． 题型三：正多边形和圆的综合 7．如图，正五边形内接于，连接，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了与正多边形有关的知识，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键； 连接，，根据圆内接正五边形的顶点把圆五等分，即可求得的度数； 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可． 【详解】解：连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴． 故答案为：． 8．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．某同学在学习了“割圆术”后，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为________． 【答案】12 【分析】过点作，垂足为，根据含的直角三角形的性质可得，进而求出面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 的半径为2， ， 圆的内接正十二边形的中心角为， ， ， 圆的内接正十二边形的面积． 9．如图，在圆内接正六边形中，点P在对角线上，记图中的面积分别为，，，，，，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、、，交于M．得到，，从而，，，，设，则，分别求得，，，，，计算即可． 【详解】解：连接、、、，交于M． 由题可知，，， ，， ， 在圆内接正六边形中， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，，，， 故的值带有x，不能确定． 题型四：求弧长 10．如图，是的直径，与相切，A为切点，连接，交于点D，已知，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理得，又半径为3，由弧长公式可得的长为． 【详解】解：连接， 是的直径，与相切，， ，即， ， ， ， 的长为． 11．如图，是的直径，点A，D在⊙O上，且，若，则劣弧的长为______． 【答案】/ 【分析】连接，先由圆周角定理求解的度数，即可求解的度数，再由弧长公式求解． 【详解】解：连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴劣弧的长． 12．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1， 与网格分别交于格点（网格线的交点）B，C，与其中一条网格线交于点A，则 的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点O，连接，由网格可知，，证明为等边三角形，求出，根据弧长公式进行解答即可． 【详解】解：如图，取格点O，连接， ∵， ∴点O为所在圆的圆心， ∵为的半径， ∴， 由网格可知，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 题型五：求扇形半径 13．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解得到圆的半径． 【详解】解：设此圆弧所在圆的半径为， 圆心角，弧长，弧长公式为， ，解得， 即此圆弧所在圆的半径为． 14．如图，半圆的直径为，点为半圆的三等分点，点为直径上任意一点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径为_________． 【答案】5 【分析】连接，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，然后计算半径即可． 【详解】解：连接，如图所示， 和同底等高， ， 点为半圆的三等分点， ， 阴影部分的面积＝， ， 解得：， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出阴影部分的面积等于扇形的面积是解题的关键． 15．如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意可知： AD=AE=8，∠DAE=45°， 底面圆的周长等于弧长： ∴2πr= ， 解得r=1． 所以，该圆锥的底面圆的半径是1 故选：D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 题型六：求圆心角 16．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，重物上升了，则滑轮旋转了________度．（假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动） 【答案】120 【分析】设滑轮旋转了n度，然后根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设滑轮旋转了n度 根据题意， ∴． ∴滑轮旋转了120度． 17．如图，等边三角形中，将边逐渐变成以为半径的，其他两边的长度不变，则扇形圆心角的度数为 ______． 【答案】 【分析】利用弧长公式求解． 【详解】解：设等边三角形的边长为，圆心角， 根据弧长公式，得，解得． 18．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，则点为这条圆弧所在圆的圆心． 连接，， 在与中 ， ， ，， ， ， ， 即所对的圆心角的大小是． 题型七：求某点的弧形运动路径长度 19．如图，已知一钟表的分针长为，若该钟表的分针从到，则分针顶端经过的路径长为________． 【答案】 【分析】根据分针每分钟旋转，结合题意求出分针共旋转的度数，再运用弧长公式即可求解． 【详解】∵分针每分钟旋转，分针从到共走分钟， ∴分针共旋转， ∵分针长为， ∴分针顶端经过的路径长为：． 20．如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了_________．（结果保留） 【答案】 【分析】由题意可得重物上升的高度即为定滑轮所转动的弧长，进而可根据弧长公式进行求解． 【详解】解：由题意得：， 重物上升了． 21．如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B顺时针旋转至①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至②位置……以此类推，这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A的运动路径，计算前几次的路线长，探究一般性规律，然后计算求解即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形， ∴， 转动一次A的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动第五次A的路线长是：， 以此类推，每四次为1个循环， ∴顶点A转动四次经过的路线长为：， ∵， ∴这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是：． 题型八：求扇形面积 22．一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留) 【答案】 【分析】已知扇形的圆心角度数和半径，直接代入扇形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：扇形半径，圆心角， 代入扇形面积公式 ∴． 23．如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为________． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出，再结合扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， 扇形的面积为． 24．如图，直径为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，将阴影部分的面积化成常规图形的面积和差是解题的关键． 根据阴影部分的面积以为直径的半圆的面积+扇形的面积以为直径的半圆的面积，据此列式计算即可． 【详解】解：∵阴影部分的面积以为直径的半圆的面积+扇形的面积以为直径的半圆的面积=扇形的面积， ∴阴影部分的面积是：． 故选A． 题型九：求图形旋转后扫过的面积 25．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为_____________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，部分扫过的图形面积=， 故答案为：． 26．如图，直角三角形的斜边长，，，，以点C为固定点将直角三角形顺时针旋转，使边与边成一直线，边在旋转时扫过的面积是 ________ 平方厘米（结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质是基础知识要熟练掌握． 根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴ ∵以点C为固定点将直角三角形顺时针旋转，使边与边成一直线， ∴ ∴ ∵长，， ∴边在旋转时扫过的面积 ． 27．如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，以及扇形的半径和圆心角，由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：． 题型十：求弓形面积 28．如图，以O为圆心的扇形AOB与扇形COD的圆心角为，若，，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式用大扇形的面积小扇形的面积即可． 【详解】∵，， ∴， 由图可知阴影部分的面积大扇形的面积小扇形的面积， 即阴影部分的面积为， 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的面积公式：． 29．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为1米，则淤泥横截面的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故答案为：． 30．如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求弓形的面积，连接，利用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：， ∴, ∵，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故选A． 题型十一：求其他不规则图形的面积 31．生物社团的学生采集树叶制作标本，图1是一枚树叶标本，树叶主体近似形如以一个正方形的顶点B，D为圆心，边长为半径的两条弧构成的曲边图形，如图2所示．经测量，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：根据图2可知，图形是由2个完全相同的扇形重叠在一起得到的， ∴阴影部分的面积2个扇形面积正方形的面积， ∵正方形的边长为4cm， ∴扇形的半径为4cm， ∴阴影部分的面积（）． 32．如图，在中，，以为直径作半圆交于点，若点两侧的阴影部分的面积相等，则的长度为______． 【答案】 【分析】由于点两侧的阴影部分的面积相等，则它们分别加上空白部分的面积后的面积相等，即半圆的面积等于的面积，据此求解即可． 【详解】解：∵点两侧的阴影部分的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．如图，这是小林设计的一个图案，已知是边长为6的等边三角形，以三角形的三边分别为直径作半圆，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】交点分别记为点，，，并连接，，．过点作于点，证明是等边三角形，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，交点分别记为点，，，并连接，，．过点作于点， ， ． ∵由图可知，是弧的三等分点， ， 是等边三角形， ∵ ∴ ∴ ． 题型十二：求圆锥侧面积 34．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面积. 【详解】解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 35．如图所示的三视图为一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为_____． 【答案】 【分析】由三视图得出该几何体为圆锥，圆锥侧面展开图为扇形，然后利用扇形面积和弧长关系求解． 【详解】解：通过三视图可知该几何体为圆锥， 底面圆的半径为， 底面圆的周长为， 侧面扇形的弧长等于底面圆的周长， 根据勾股定理可得母线长为， ∴该几何体的侧面积为． 36．如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点P作于点E，根据勾股定理求出的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：过点P作于点E，如图： 由题意得，， ∴ ， ∴ ． 题型十三：求圆锥底面半径 37．如图，已知扇形的半径是，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为_______． 【答案】 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，结合圆周长公式求解即可． 【详解】解：设此圆锥的底面半径为，由题意，得， 解得：， 故此圆锥的底面半径为． 38．如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【分析】连接，由题意可得为的直径，，，求出扇形的对应半径为，弧的长为，设圆锥的底面圆半径为，则，由此计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得为的直径，，， ∴，即扇形的对应半径为， ∴弧的长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是． 39．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可． 【详解】解：由图可知为的直径， ∴， 由题意，，， 由得， 设该圆锥底面圆的半径为r， 则，解得，即该圆锥底面圆的半径为． 题型十四：求圆锥的高 40．把半径为4的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用圆锥侧面展开图的性质，即半圆的弧长等于圆锥底面周长，圆锥母线长等于原半圆的半径，再结合勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：∵原半圆的半径为，即圆锥母线长， ∴半圆的弧长为， 设圆锥底面圆半径为， ∵圆锥底面周长等于侧面展开半圆的弧长， ∴， 解得， ∵圆锥的高，底面半径，母线长构成直角三角形，满足勾股定理， ∴． 41．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， ∵在中，， ∴， 故答案为：． 42．若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的高的计算，先利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长求出底面半径，再结合母线长，通过勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面半径为，高为h， ∵圆锥母线长为8，侧面展开图是半圆， ∴侧面展开图半圆的弧长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长， ∴，解得， ∵圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，母线为斜边， ∴由勾股定理得， 即这个圆锥的高为， 故选：B． 题型十五：求圆锥侧面展开图的圆心角 43．若一个圆锥底面圆的半径是2，母线长是6，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用该性质列方程即可求解． 【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥底面圆半径为，母线长为， ∴圆锥底面圆的周长， 根据侧面展开图扇形弧长等于底面周长，结合弧长公式可得： ， 两边约去，化简得 ， 解得 ， 因此圆心角的度数为， 44．如图，为研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，高为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的圆心角大小为___________． 【答案】/216度 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，由题意可知，， 根据勾股定理，得母线长， 圆锥的底面周长， 设扇形的圆心角为，根据弧长公式，得，即， 解得． 45．如图，圆锥的母线长为，高是，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该圆锥侧面展开图的圆心角为，先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为，再利用弧长公式得到，然后解关于n的方程即可． 【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的母线长为，高是， 圆锥底面圆的半径为：， ∴， 解得：． 即该圆锥侧面展开图的圆心角为． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 题型十六：圆锥的实际问题 46．一堆煤呈圆锥形，底面直径是2米，高是米．已知每立方米的煤约重吨，这堆煤约重___吨． 【答案】 【分析】本题考查圆锥体积公式，熟练掌握圆锥体积公式是解题的关键． 根据圆锥的体积公式计算体积，再乘以每立方米的重量得到总重量． 【详解】解：圆锥的体积为立方米， 则这堆煤约重吨， 故答案为：． 47．如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深_________； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为_________． 【答案】 /180度 【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可； （1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为； 即：水深cm； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∴展开滤纸的圆心角为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解题的关键． 48．用一个直径为的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线与相切于点，不倒翁的顶点到桌面的最大距离是.若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，如图，利用切线的性质得，在中利用勾股定理得，利用面积法求得，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面． 【详解】解：连接，作于，如图， 圆锥的母线与相切于点， ， 在中，，， ， ， ， 圆锥形纸帽的底面圆的半径为，母线长为12， 形纸帽的表面． 故选：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆锥的计算． 题型十七：圆锥侧面上最短路径问题 49．如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是_______．    【答案】 【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴圆锥的底面周长是， 则 ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是， 如图所示，    ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴在圆锥侧面展开图中， ∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算． 50．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为，连接，．线段与的交点为，线段是最短路程． 【详解】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形，则线段为所求的最短路程． 设． ， 即． 为弧中点， ，， ， 最短路线长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，扇形的面积和特殊值的三角函数等问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形． 51．如图，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、勾股定理，将圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为直角三角形求边长是解题的关键． 根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可求解最短路径． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为，则， ∴，即圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示， ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴， ∴在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是：． 故选：B． 解答题 52．延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】利用正八边形的性质可得，塔基的面积为，，如图，连接，过点A作于点P，则，即，利用勾股定理列方程可求得，易得的面积，进而确定塔基的面积． 【详解】解：∵塔基的形状是半径为的正八边形， ∴，塔基的面积为，， 如图，连接，过点A作于点P，则， ∴， 设， ∵， ∴，解得：（已舍去负值）， ∴， ∴， ∴塔基的面积为． 53．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条所在直线，之间的夹角为．若的长为，的长为，求扇面的面积（结果取整数）． 【答案】837 【分析】根据题意先求出小扇形的半径，利用扇形的面积公式求出扇形和扇形的面积，将二者相减即是扇面的面积． 【详解】解：，， ， ，之间的夹角为， ． ，之间的夹角为， ． ． 扇面的面积取整数， ． 54．如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． (1)求证：与相切； (2)若，的长为，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切． (2)的半径为2 【分析】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、弧长等知识，熟练掌握圆的切线的判定和弧长公式是解题关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，根据圆周角定理可得，再证出，则可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）设的半径为，连接，先求出，再利用弧长公式求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， 如图，连接， ∵，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， ∴的半径为2． 55．如图，为外一点，为上一点，是的直径，，且与相切于点，连接和． (1)求证：； (2)求证：与相切； (3)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 证明：∵与相切于点， ∴， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵为半径， ∴与相切； (3) 【分析】（1）连接，圆周角定理得到，根据，得到，三线合一，即可得出结论； （2）证明，得到，即可； （2）用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 56．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为______，侧面积为______．（结果保留π） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)15； (2) 【分析】（1）利用圆锥的母线、高与底面半径构成直角三角形，通过勾股定理求底面半径;再依据圆锥侧面积公式计算侧面积； （2）圆锥侧面展开图为扇形，结合扇形弧长公式建立等式求解圆心角． 【详解】（1）解：①圆锥的母线长，高，根据圆锥的底面半径、高和母线满足勾股定理： ． ②圆锥的侧面积公式为，将，代入可得： ． 故底面半径为，侧面积为． （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为 由题意，得，解得． 故所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题关键是掌握圆锥的母线、高、底面半径的勾股关系，圆锥侧面积公式以及圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系． 57．已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的面积： (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少? 【答案】(1) (2)这个圆锥的高是 【分析】此题考查了扇形面积、弧长公式和勾股定理等知识，熟练掌握相关公式是关键． （1）利用扇形面积公式计算即可； （2）求出扇形所对的弧长和圆锥底面圆的半径，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解∵扇形的圆心角为，半径为， ∴． （2）扇形所对的弧长为． 设圆锥底面圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴这个圆锥的高是． 58．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)，， (2)约为 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $