第二章 一元二次方程单元练习题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程单元练习题 一、单选题 1．布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（　　） A． B． C． D． 2．下面的一元二次方程中，一次项系数为5的方程是（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A． B． C． D． 4．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（　　）． A． B． C． D． 5．下列各式的变形中，正确的是(　　) A．配方变为 B．变为 C．配方变为=16 D．因式分解得(x+5)(x-2)=0 6．一元二次方程的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 7． 对于实数a、b， 定义运算“★”： 关于x的方程(2x+1)★(2x-3)=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是(　　) A． B． C． D． 8．若方程的一个根是，则方程的另一个根是（　　） A． B．1 C．2 D． 9．已知为实数，且，则之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 10．北方的冬天已经迎来了冬雪.为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道(图中阴影部分)，保留了3块积雪活动区。已知矩形空地的长为20m，宽为15m，通道面积是整个矩形空地面积的56%。若设通道的宽为xm，则根据题意可得方程(　　) A．(20-2x)(15-2x)=15×20×56% B．(20-2x)(15-2x)=15×20×(1-56%) C．(20-4x)(15-2x)=15×20×56% D．(20-4x)(15-2x)=15×20×(1-56%) 二、填空题 11．已知，则　 　． 12． 若 m是方程 的一个根，则 的值　 　。 13．点A，B在数轴上的位置如图所示，点A对应的数是，点B对应的数是，，且，是方程的两个实数根，则k的值为　 　． 14．若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为　 　. 三、解答题 15．解方程： （1）； （2）． 16．解方程：（2x+3）2﹣2x﹣3=0． 17．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得……第一步 配方，得，第二步 ，……第三步 ．……第四步 由此可得．……第五步 解得．……第六步 任务一：填空：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是 ，依据的数学公式是 ； ②第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 18．已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 19．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是　 　斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 20．已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元时，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件． ①每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？ ②能不能一天获得520元的利润？请说明理由． 23．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． （1）下列方程是“二倍根方程”的有_______；（填序号即可） ①；②；③． （2）如果关于的方程是“二倍根方程”，求的值； （3）如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“二倍根方程”吗？请说明理由． （4）如果关于的一元二次方程是“二倍根方程”，试探究、、应满足的数量关系． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A、，配方得，A错误； B、，移项整理得，B正确； C、，配方得，C错误； D、，整理因式分解得，D错误． 故答案为：B． 【分析】先根据配方法、移项整理法则、因式分解的方法，分别对A、B、C、D四个选项的方程变形进行验算；再根据等式的基本性质，核对每一个式子变形前后是否等价；最后根据计算结果判断式子变形的正误． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：，，， ， ∴原方程无实数根． 故答案为：C． 【分析】由题意，先计算一元二次方程的根的判别式的值，然后根据一元二次方程的根的判别式，"当，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根，计算得出"即可判断求解． 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ，且， ∴， ∴， ∴方程化为，即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：D． 【分析】由于恒成立，因此运算使用第二种情况，将方程化为二次方程，根据判别式大于零求解即可． 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】5 【解析】【解答】解：设，则， ∴， 则或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：5． 【分析】设，则原方程换元为，解方程可得：或（舍去）；进一步即可得出． 12．【答案】2027 【解析】【解答】解：∵ m 是方程 x2−x−1=0 的根， ∴将 x=m 代入方程，得 m2−m−1=0 ∴ m2−m=1 将 m2−m=1 直接代入代数式 m2−m+2026 中， ∴m2−m+2026=1+2026=2027 故答案为：2027. 【分析】本题的解题思路是：利用 “方程的根满足方程” 这一性质，将根m代入原方程，通过移项直接得到m2−m的值，再将其整体代入待求的代数式中，即可快速求出结果。 13．【答案】3 14．【答案】4051 【解析】【解答】解：根据题意得： ∵α， β是方程 的两个实数根， 故答案为： 4051. 【分析】根据α，β是方程 的两个实数根，得出 ， 据此求解即可. 15．【答案】（1） （2）， 16．【答案】解：(2x+3)2-(2x+3)=0． 提取公因式(2x+3)(2x+3-1)=0． 即2(2x+3)(x+1)=0． 解得，x2=-1． 【解析】【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案. 17．【答案】解：任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式； ②第二步开始出现错误，错误的原因是加上，没有减去． 任务二：正确求解过程如下： 二次项系数化为1，得， 配方，得， ∴， ∴． 由此可得． 解得． 【解析】【分析】任务一： ① 上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式； ②第二步开始出现错误，错误的原因是加上，没有减去； 任务二：根据配方法解一元二次方程的基本步骤解方程即可。 18．【答案】（1） （2） 19．【答案】（1）100+200x；（2）根据题意得：，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元． （1）100+200x （2）解：根据题意得：， 解得：x=或x=1， ∵每天至少售出260斤， ∴100+200x≥260， ∴x≥0.8， ∴x=1． 答：张阿姨需将每斤的售价降低1元． 【解析】【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元， 则每天的销售量是100+×20=100+200x斤； 故答案为：100+200x；（2） 【分析】（1）根据题意结合“销售量=原来销售量+增加销售量”计算，进而即可求解； （2）根据销售量×每斤利润=总利润结合题意列出一元一次方程，进而解方程即可求解。 20．【答案】（1）的取值范围是 （2）的值为 21．【答案】（1）该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 （2）最多可购买电脑8台 22．【答案】（1）解：设下降的百分率是， 由题意得：， 解得，（舍去）， 答：下降的百分率是； （2）解：①设每件应降价元， 由题意得：， 解得，， 要尽快减少库存， 每件应降价3元； ②不能， 设每件应降价元， 由题意得：， 整理得：， ， 方程没有实数根， 不能一天的利润是520元． 【解析】【分析】（1）设下降的百分率是，利用经过两次降价后的价格原价（两次下降的百分率）2，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可求出答案； （2）①设每件应降价元，根据“每天获得504元的利润”列出一元二次方程，解方程即可求出答案. ②设每件应降价元，根据“一天获得520元的利润” 列出一元二次方程，解方程即可求出答案. （1）解：设下降的百分率是， 由题意得：， 解得，（舍去）， 答：下降的百分率是； （2）解：①设每件应降价元， 由题意得：， 解得，， 要尽快减少库存， 每件应降价3元； ②不能， 设每件应降价元， 由题意得：， 整理得：， ， 方程没有实数根， 不能一天的利润是520元． 23．【答案】（1）① （2）解：∵关于的方程是“二倍根方程”， ∴设关于的方程的两个根为，， ∴，， ，； （3）解：是“二倍根方程”，理由如下： 点在反比例函数的图象上， ， 方程化为方程， 整理得：， 解得：，， ∵， 方程是“二倍根方程”； （4）解：∵关于的一元二次方程是“二倍根方程”， ∴设一元二次方程的两个根为和， ∴，， ∴， ，，之间的关系是． 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴是“二倍根方程”； ∵， ∴，， ∵， ∴不是“二倍根方程”； ∵， ∴，， ∵， ∴不是“二倍根方程”； 综上所述，方程是“二倍根方程”的有①， 故答案为：①. 【分析】（1）分别解各个一元二次方程，然后结合“二倍根方程”的定义进行判断即可得解； （2）根据“二倍根方程”的定义可设关于的方程的两个根为，，然后利用一元二次方程根与系数的关系可知，，求解即可； （3）将点的坐标代入反比例函数解析式可得，从而将方程变形为，进而求出方程的两个根，于是结合“二倍根方程”的定义进行判断即可； （4）根据“二倍根方程”的定义设一元二次方程的两个根为和，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，求解即可． （1）解：解可得：，， ∵， ∴①是“二倍根方程”； 解可得：，， ∵， ∴②不是“二倍根方程”； 解可得，， ∵， ∴③不是“二倍根方程”； （2）解：依题意可设关于的方程的两个根为，， 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ，； （3）解：是“二倍根方程”，理由如下： 点在反比例函数的图象上， ， 方程化为方程， 整理得， 解得，， 方程是“二倍根方程”； （4）解： 根据“二倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和， 由根与系数的关系可得：，， 消去可得. ，，之间的关系是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $