第二章 一元二次方程-【典创·单元学情诊断卷】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

参芳答案 第一章特殊平行四边形 1.B2.B3.C4.D5.B6.C7.A8.C9.C10.A 11.AB=AD(合理即可)12.128°13.110°14.4215.5 16.(1)证明：.·CE//BD,DE//AC,.四边形OCED是平行四边形 在正方形ABCD中，AC⊥BD,OD=OC,.∠COD=90°，.四边 形OCED是正方形； (2)1.5 17.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AD=AB=BC=CD,AB∥ CD,.∠CDE=∠F,∠C=∠FBE.·BF=AB,∴.CD=BF,在 r∠CDE=∠F, △DCE和△FBE中，{CD=BF, ∠C=∠FBE, ∴.△DCE≌△FBE(ASA),∴.CE=BE,∴.点E是BC的中点. (2)解：由(I)知，△DCE≌△FBE,∴.DE=EF,又：DF⊥BC, .BC是线段DF的垂直平分线，.BD=BF.在菱形ABCD中， AB =AD =4..BF =AB=4,.'.BD BF=4. 18.解：(1)E0=F0 (2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形：理由如 下：当点O运动到AC的中点时，A0=C0,又.·E0=FO, 四边形AECF是平行四边形，FO=CO,.AO=C0=EO= FO,∴.AO+CO=EO+FO,即AC=EF,∴.四边形AECF是矩形 19.证明：(1).：四边形ABCD是正方形，.AD=DC,∠ADC=90°， .∠ADE+∠CDF=90°，：AE⊥DG,CF⊥DG,∠AED= ∠DFC=90°，.∠DAE+∠ADE=90°，∴.∠DAE=∠CDF, 又.·∠AED=∠DFC,AD=DC,∴.△AED≌△DFC(AAS): (2).·△AED≌△DFC,..AE=DF,ED=FC. ·DF=ED+EF=FC+EF,.∴.AE=FC+EF 20.(1)证明：.E为AB的中点， ∴.AB=2AE=2BE,.AB=2CD,∴.CD=AE 又.·AE∥CD,.四边形AECD是平行四边形 .'AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠EAC,.·AB∥CD,.∴.∠DCA=∠EAC .∠DCA=∠DAC,·.AD=CD,∴.平行四边形AECD是菱形： (2)解：：四边形AECD是菱形，∠D=120°，CD=4,.AD=DC =CE=AE=4,∠AEC=∠D=120°，.AE=CE=BE=4,∠CEB =60°..∴.∠CAE=∠ACE=30°，△CEB是等边三角形..BE= BC=EC=4,∠B=60°.∴.∠ACB=90°. .AC=√AB2-BC=√/(4+4)2-4=4√5. SAc=2BC·AC=7×4x4万=85. 21.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD, ∴.∠GAE=∠HCF.点G,H分别是AB,CD的中点，AG= CH,又.AE=CF,.∴.△AGE≌△CHF(SAS); (2)连接GH..△AGE≌△CHF,∴.GE=HF,∠AEG=∠CFH .·.∠GEF=∠HFE,∴.GE∥HF,又.GE=HF,∴.四边形EGFH 是平行四边形.：AG=DH,AB∥CD,∴.四边形AGHD是平行四 边形，∴.AD=GH,又·EF=AD,∴.EF=GH,∴.平行四边形EG FH是矩形 22.(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°， BP=BP,∴.△ABP≌△CBP(SAS).∴.PA=PC.·PA=PE .PC=PE: (2)解：由(1)知，△ABP≌△CBP,.∠BAP=∠BCP 又.·∠BAD=∠BCD=9O°，∴.∠DAP=∠DCP..'PA=PE, .∠DAP=∠E.∴.∠DCP=∠E,又.：∠CFP=∠EFD,∴.180° ∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,即∠CPE=∠EDF=90°； (3)解：AP=CE.理由如下：在菱形ABCD中，AB=BC,∠ABP ·81 ∠CBP,BP=BP,.△ABP≌△CBP(SAS).∴.PA=PC,∠BAP= ∠BCP.∴.∠DAP=∠DCP.·PA=PE,∴.∠DAP=∠AEP,PC= PE..∴.∠DCP=∠AEP,.·∠CFP=∠EFD,.∴.180°-∠PFC ∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP,即∠CPF=∠EDF=180°- ∠ADC=180°-120°=60°.∴△EPC是等边三角形.∴.PC= CE..∴.AP=CE 23.解：(1)D (2)AC=BD,AC⊥BD (3)-要4C,理由如下： 如图，记AD、BC的中点分别为E、F, ·.·四边形ABCD是“中方四边形”，M、N分别是 AB、CD的中点，∴.四边形ENFM是正方形 ∴FM=FN,∠MFN=90°，.MN=FM+FW =√2FM,M、F分别是AB、BC的中点，MF 是△ABC的中位线PM=宁4CMN=号4C 第二章一元二次方程 1.A2.A3.C4.B5.B6.C7.C8.A9.D10.C 11.-812.413.2714.x1=2027,x2=-202315.-32 16.解：(1)x2-6x+9=2x2-18,(x-3)2=2(x+3)(x-3).移项， 得(x-3)2-2(x+3)(x-3)=0.得(x-3)[(x-3)-2(x+ 3)]=0,即(x-3)(-x-9)=0.所以x-3=0或-x-9=0. 所以x1=3,x2=-9. (2)3x2+2x=1,3x2+2x-1=0,所以a=3,b=2,c=-1,62- 4c=2-4×3×(-1)=16>0.所以x=-2,±6=-2±4 2×3 1 所以x1=-1,2=3 17.解：(1)B (2)x2+2x-3=0,x2+2x=3,x2+2x+1=3+1,(x+1)2=4, x+1=±2，解得x1=1,x2=-3. 18.解：(1)：关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0有两 个实数根，∴.4=[-(2m-1)]2-4m2=-4m+1≥0，.-4m 1 +1≥0，m≤4； (2)由题意，得x1+x=2m-1,xx2=m2,(x1-2)(2-2）= 12-2(x1+x2)+4=m2-2(2m-1)+4=m2-4m+6. (x1-2)(x2-2)=11,.m2-4m+6=11,.m2-4m-5= 0,解得m1=5,m2=-1,又：m≤4.m=-1 19.解：(1)(42-3x)x(42-3x) (2)根据题意，得x(42-3x)=144,解得x=6或x=8,当x=6 时，42-3x=24>20,不符合题意，当x=8时，42-3x=18< 20,符合题意，.BC的长为18m; (3)不能.理由如下：根据题意，得x(42-3x)=150,整理，得x2 -14x+50=0,.∴.△=(-14)-4×50=-4<0，.方程无实数 根，.不能围成总面积为150m2的展览区. 20.解：(1)令x2=a,则原方程化为：a2-a-12=0,解得a1=-3,42= 4,当a=-3时，x=-3,则该方程无实数解；当a=4时，x=4,解 得x1=2,2=-2综上，该方程的解为：x1=2,x2=-2 (2)设x=a+b,则原方程为x2-7x+10=0,解得：x1=2,:=5,即 a+b=2或a+b=5,由斜边c=4,舍去a+b=2,Rt△ABC的周长 为4+5=9：由勾股定理得a2+6=42,则(a+b)2-2ab=16,解得： b=号，因此ABC的面积=分b=子 9 21.解：(1)设该款风云球服销售量的月平均增长率为x,根据题意 得256(1+x)2=400,解得x1=0.25=25%,x2=-2.25(舍 (2)解：方程x2-(k+3)x+2k+2=0的两实数根为x1,2, 去)：答：该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售 .1+为=k+3,x12=2k+2,x1x2=x1+2-2,2k+2=k 量的月平均增长率为25%； +3-2,解得：k=-1. (2)设该款风云球服降价m元时，月销售利润达8400元， 19.(1)证明：连接AC,交BD于点O..·四边形ABCD是菱形，.AC 降价后每件球服的利润为(68-45-m)=(23-m)元，月销售 ⊥BD,AO=CO,BO=DO.DF=BE,∴.DF+D0=BE+BO,即 量为(400+20m)件，根据题意得(23-m)(400+20m)= FO=EO..∴.四边形AECF是菱形..·四边形ABCD是菱形， 8400,整理得m2-3m-40=0,解得m1=8,m2=-5(舍去)； .·.AD=CD,∠ADB=∠CDB,DE=DE 答：该款风云球服降价8元时，月销售利润达8400元. ∴.△ADE≌△CDE(SAS),∴.∠AED=∠CED=45°， 22.解：(1)x2-x-6=0,(x-3)(x+2)=0,解得：x1=3,x2=-2, .·.∠AEC=∠AED+∠CED=90°，∴.四边形AECF是正方形 3-（-2)=5≠1，….一元二次方程x2-x-6=0不是邻根方程； (2)解：：四边形ABCD是菱形，BD=4, (2)x2-(m+1)x+m=0,.(x-m)(x-1)=0,∴.x=m或x=1. :方程x2-(m+1)x+m=0(m是常数)是“邻根方程”，∴.m-1= 0B=7BD=2,.0E=0B+BE=2+3=5.:四边形AECF 1或1-m=1,..m=2或0： 是正方形，.OA=OE=5..AC⊥BD,∴.在Rt△AOB中：AB= (3)设方程的根为，，且x<x2,则x1+名=-b,1·x2=c,将 √OA2+OB2=√52+22=√29，：四边形ABCD是菱形，.CD 名2=x1+1代人x1+名=-b得x1+(x1+1)=-b,化简得2x1+1 =AB=√29. =6-合出6=%=6+2， 20.解：存在.分两种情况： ①当老鼠C在AO上运动时，设经过xs两只老鼠所在的点与 即=b+2,即6-4b-9=0,解得6=2±VE 0点组成的△COD的面积为1800cm2.由题意知OD=3xcm, 4 23.(1)证明：在△DF℃中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t, AC=2xem,则0C=(10-2x)m,由Sw=20C·0D,得 DF=CD=k又：AE=i,AE=DF: 之(100-2)·3x=1800整理，得2-50c+0=0解这个 (2)解：四边形AED能够成为菱形.理由如下：在Rt△ABC中， 方程，得x1=20,x2=30. ∠C=30°，AB=5,.AC=10,当四边形AEFD为菱形时，则AE=AD, ②当老鼠C在OB上运动时，设经过as两只老鼠所在的点与 即4=0-2z解得1=号即当1=号时，四边形D为菱形， 0点组成的△C'OD'的面积为1800cm2.由题意知OD'= (3)解：当1=弓秒或4秒时，△DBF为直角三角形，理由如下： 3aem,AC=2aem,则0C=(2a-10)em,由Sacm=20C 分情况讨论：①当∠EDF=90时，AD=2AE,即10-2t=2t,t ·0D',得2(2a-100)·3a=1800.整理，得-50a-600= =号②LDEF=0°时，由(2)知四边形AFD为平行四边 0.解这个方程，得a1=60,a2=-10(舍去).综合以上两种情况 可知，在经过20s,30s或60s时，两只老鼠所在的点与0点组 形，EF∥AD,.∠ADE=∠DEF=90°.∠A=60°，∴.AD= 成的三角形的面积为1800cm2 2AE,即10-2t=2,t=4.③∠EFD=90时，此种情况不 21.(1)证明：.O为AD的中点，.A0=DO..·四边形ABCD是平 行四边形，∴.AB//CD,∴.∠BAO=∠EDO. 存在 又.·∠AOB=∠DOE,.∴.△AOB≌△DOE(ASA),∴.AB=DE. 故当1=弓秒或4秒时，△DEF为直角三角形. 又：AB/DE,∴.四边形ABDE是平行四边形.：∠BDC=90°， .∠BDE=90°，.平行四边形ABDE是矩形： 第一次月考测试卷 1.A2.B3.A4.B5.C6.C7.C8.A9.C10.B (2)解：如图，过点O作OF⊥DE于点F :四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4,OB=OE 172.-113万14515弩 =2BE,AD=E又0D=分AD,0D=0E. 16.解：(1)22-8x=0,二次项系数化为1，得x2-4x=0, 因式分解，得x(x-4)=0,解得：x1=0,x2=4; 0F1DE,DF=EF=DE=2,0F为△BDE的中位线， (2)42-4x-3=0,a=4,b=-4,c=-3,.4=6-4ac= （-4)2-4×4×(-3)=64>0,∴.方程有两个不相等的实数根， 0F=2BD=5. 3 xb±6-4a04±64=48解得：x1三2x=-2] .·四边形ABCD是平行四边形，∴.CD=AB=4,..CF=CD+ 2a 8 8 17.解：(1)根据题意得：4=[-2(m+1)]2-4(m2+5)≥0，解得：m≥2； DF=6.在Rt△0CF中，0C=OF2+CF=√(5)2+62= (2)当腰长为7时，则x=7是一元二次方程x2-2(m+1)x+ 41. m2+5=0的一个解，把x-7代入方程得49-14(m+1)+m2 22.解：(1)24 +5=0,解得m1=10,m2=4.当m=10时，x1+x2=2(m+1)= (2)设CD的长为x米，则BC的长为(48-3x)米.根据题意，得： 22,解得x2=15,而7+7<15，故舍去；当m=4时，x1+x2= x(48-3x)=180,整理，得：x2-16x+60=0.解得：x1=6,x2=10.当 2(m+1)=10,解得2=3，则3+7>7，构成三角形；当7为等 x=6时，BC=48-3×6=30(米).因为30>27，不符合题意，舍去. 腰三角形的底边时，则x1=x2,所以m=2,方程化为x-6x+9 当x=10时，BC=48-3×10=18(米).因为18<27，符合题意.答： =0,解得x1=x2=3,则3+3<7，故舍去，综上所述，m的值是 边CD的长为10米； 4. (3)饲养场的面积不能达到210平方米.理由如下：假设饲养 18.(1)证明：关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0, 场的面积能达到210平方米，设CD的长为x米，则BC的长为 .A=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=k2+6k+9-8k-8=2 (48-3x)米.根据题意，得：x(48-3x)=210,整理，得x-16x -2k+1=(k-1)2≥0，∴.方程总有两个实数根； +70=0.因为4=(-16)2-4×1×70=256-280=-24<0. ·82·第二章一元一次方程 题号 二 三 总分 得分 时间：120分钟 满分：120分 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.若关于x的方程(m+1)xm+1+1+5x-4=0是一元二次方程，则m的值是 A.1 B.-1 C.0 D.±1 2.方程x(x-6)=6x+25化为一元二次方程的一般形式是x2-mx+n=0,则m,n的值分别是 ( A.12,-25 B.1,-25 C.-19,25 D.0,25 3.若ax2-5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6>0的解是 A.a>-2 B.a≤-2 C.a>-2且a≠0 D.a>2 4.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果 要使整个挂图的面积是54O0cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是 A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0 5.已知a,b,c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC的形状为 A.钝角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 -一80cm- 50cm (第4题图) (第6题图) 6.若一次函数y=ax+b(a,b为常数a≠0)的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2-ax+b =0的根的情况是 () .9 A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 7.已知(a2-b2)2-(a2-b2)-12=0,则a2-b2的值是 A.-3 B.4 C.-3或4 D.3或-4 8.“浙BA”城市争霸赛的举行，推动了体育活动的健康发展，为此，某市组织了中学生校园篮球 赛。已知参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划安排36场比赛。设共有x个队参赛，则可列 方程为 () A2(x-1)=36 B(x+1)=36 C.x(x-1)=36 D.x(x+1)=36 9.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个 人，下列结论错误的是 A.1轮后有(x+1)个人患了流感 B.第2轮又增加(x+1)·x个人患流感 C.依题意可得方程(x+1)2=144 D.不考虑其他因素，经过三轮传染一共会有1584人患流感 10.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的 n倍，则称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程的说法正确的是 () ①方程-3x+2=0是2倍方程，②若(x-3)(mx+)=0为3倍方程，则m=-g:③若，9 满足pg=8,则关于x的方程px2-6x+q=0为2倍方程；④若关于x的方程ax2+bx+c=0为 n倍方程，则nb2=(n+1)2ac. A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③ 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如果a,b为实数，且满足√3a+4+b2-12b+36=0,那么ab= 12.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则= 13.设x1,x2是一元二次方程x2-5x-1=0的两个实数根，则x2+:22的值为 ·10· 14.关于x的方程a(x+m)2+b=0的根是x1=2024,x2=-2026,(a,b,m均为常数，a≠0)，则 关于x的方程a(x+m-3)2+b=0的根是 15.小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程x2+6ax=16a(a>0)的过程如下：将方程配方 得(x+3a)2=(4a)2+(3a)2,以3a和4a为两直角边作Rt△ABC(如图)，再在斜边AB及其延长线 上截取BD=BE=BC,发现方程的解x1=AD,x2=-AE.若x=AD=8,则x2的值为 Ba (第15题图) 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.（本小题10分) 用适当的方法解下列方程， (1)x2-6x+9=2x2-18; (2)3x2+2x=1. 17.（本小题8分) 下面是刘老师讲解一元二次方程的解法时，在黑板上的板书过程. 请认真阅读并完成相应的任务， 解方程：2x2-3x-5=0. 解：x235 2x=2 第一步 x2、3 、2 5 3 x+(4 +0 第二步 2 4 (x、3 ?=49 4 第三步 16 t、3 7 三 第四步 ·11· 5 x1= 2,=-1 第五步 任务： (1)刘老师解方程的方法是 A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 (2)利用刘老师的解法解方程：x2+2x-3=0. 18.（本小题8分) 已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0有两个实数根. (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根x1和x2满足(x1-2)(x2-2)=11,求实数m的值. ·12· 19.（本小题8分) 某校举办艺术节，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长42m的绳子，靠墙围成如图的矩 形展览区域，墙长为am。(捆扎处绳子长度忽略不计) (1)设AB边的长为xm,则BC边的长为 m,展览区（矩形ABCD)的面积为 m2;(用含x的代数式表示) (2)当a=20时，所围成的展览区总面积为144m2,求BC的长； (3)能否围成总面积为150m2的展览区？请说明理由. wuuuuuuuuu A 美术作品 科技作品 (第19题图) 20.(本小题8分) 阅读材料，解决问题， 为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0, 我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y, 则(x2-1)2=y2,原方程可化为y2-5y+4=0,解得：y1=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,则x2=2,解得x=±√2； 当y=4时，x2-1=4,则x2=5,解得x=±√5， 故原方程的解为x1=√2，x2=-2,x3=√5，x=-5. 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把 高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”. ·13· (1)请用换元法解方程：x4-x2-12=0; (2)Rt△ABC的三边是a,b,c,其中斜边c=4,两直角边a,b满足(a+b)2-7(a+b)+10=0, 求Rt△ABC的周长和面积. 21.(本小题8分) 2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号，云南省城市足球联赛正式开赛， 全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放.为 呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显“云南体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印 有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风 云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份 的销售量为400件。 (1)求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； (2)从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价 1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ ·14· 22.(本小题12分) 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1,那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0,x2= -1,则方程x2+x=0是“邻根方程”. (1)通过计算，判断方程x2-x-6=0是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程x2-(m+1)x+m=0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程x2+bx+c=0(b,c是常数)是“邻根方程”，且c=b+2,求b的值 ·15· 23.（本小题13分) 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单 位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒 (t>O).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF. (1)求证：AE=DF; (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. A B (第23题图) ·16·