精品解析：湖南衡阳市衡山县前山片联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；逐个进行判断即可． 【详解】解：A．符合最简二次根式的定义，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意； 故选：A． 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式为是解题的关键． 将方程移项即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A. B. C. D. b 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，二次根式的性质，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：A． 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简各选项二次根式，再比较被开方数是否为． 【详解】解：A． ，与不是同类二次根式． B． ，与是同类二次根式． C． ，与不是同类二次根式． D． ，与不是同类二次根式． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：D． 6. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 7. 山西省2024年开展农村供水工程维修养护1700处，受益人口达到180万人，预计山西省2026年开展农村供水工程维修养护受益人数达到万，若设这两年山西省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握平均增长率问题是解题的关键． 根据平均增长率的意义列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得（舍去）， 故选：C． 8. 如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（ ） A. 0.8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，求出点，之间的距离，即的长，再根据题意求得的长，即可得出点对应的数． 【详解】解：∵点，在数轴上表示的数分别是2，， ∴， ∵， ∴， ∴点可以看成点向左移动， ∴点对应的数为， ∴点表示的数， 故选：D． 9. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，求代数式的值，根据题意得出，熟练掌握根与系数的关系：，，是解题的关键．根据根与系数的关系得，根据一元二次方程根的定义得到得到，进而可求出代数式的值． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ． 故选：A． 10. 关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ） A. 若﹣1＜a＜1，则 B. 若，则0＜a＜1 C. 若﹣1＜a＜1，则 D. 若，则0＜a＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k， ∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0， 又∵ab≠0， ∴a−b−1＝0， 即a＝b＋1， ∴ax2＋2ax＋a＝0， 解得：x1＝x2＝−1， ∴k＝−1， ∵＝， ∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0， 此时＞0，即； 当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0， 此时＜0，即； 故A、C错误； 当时，即＞0， ＞0， 解得：a＞1或a＜0， 故B错误； 当时，即＜0， ＜0， 解得：0＜a＜1， 故D正确 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 化简：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 一元二次方程的根是_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将原方程移项整理为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】解：移项，得， 因式分解得， 则或， 解得，． 13. 已知，，为一个等腰三角形的三条边长，并且，满足，则此等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，，再分腰长为2和腰长为6两种情况，根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 当腰长为2时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为6时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意 ∴此等腰三角形的周长为； 综上所述，此等腰三角形的周长为． 故答案为：． 14. 函数的自变量的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】该函数同时包含二次根式和分式，需分别根据二次根式和分式有意义的条件列不等式，再取交集得到自变量的取值范围． 【详解】解：要使函数有意义 需满足且， 解不等式得， 由得， 因此自变量的取值范围是且． 15. 如果是两个不相等的实数，，，那么代数式______． 【答案】2032 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键． 由题意得m，n是的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：，，，变形，为，代入求解即可． 【详解】是两个不相等的实数，且满足， 是方程的两根， ，，， ． 故答案为：2032． 16. 利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是__________． 【答案】64 【解析】 【分析】此题考查整式混合运算的实际应用，设小正方形的边长为，得到矩形的长为，宽为．列得，将代入即可求． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为． 由图1、图2可得， 整理得． ，， ， ， 矩形的面积为， 故答案为64． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】, 【解析】 【分析】利用公式法可求出方程的解． 【详解】 ∵ ，，， ∴ ∴， ∴,． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出a，b及c，然后计算出根的判别式的值，若，则将a，b及c的值代入求根公式即可求出解． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先化简分式，再代入即可得解。 【详解】解：原式， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键。 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】（1）证明：， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）的值是1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据，进行作答即可； （2）由题意知，．由，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，． ∵， ∴，解得． ∴的值是1． 21. 小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： （1）分母有理化：______， （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）9 （3）9 【解析】 【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键. （1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案； （2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案； （3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 22. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②； （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 【答案】（1） 解：①不是“差1方程”，理由： 解方程得：， 或， ， 不是“差1方程”； ②是“差1方程”，理由： ∵ ∴，， ∴， ， 是“差1方程”； （2）或 （3）时，的最大值为9 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程得：， 或， 方程是常数）是“差1方程”， 或， 或； 【小问3详解】 解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现；当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 （1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． 任务2 （2）根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． 任务3 （3）根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可 【详解】解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； 任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 24. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 证明：根据题意，得， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）1 【解析】 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【小问1详解】 解：当，，时勾系一元二次方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A. B. C. D. b 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 7. 山西省2024年开展农村供水工程维修养护1700处，受益人口达到180万人，预计山西省2026年开展农村供水工程维修养护受益人数达到万，若设这两年山西省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（ ） A. 0.8 B. C. D. 9. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 10. 关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ） A. 若﹣1＜a＜1，则 B. 若，则0＜a＜1 C. 若﹣1＜a＜1，则 D. 若，则0＜a＜1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 化简：_________． 12. 一元二次方程的根是_____________． 13. 已知，，为一个等腰三角形的三条边长，并且，满足，则此等腰三角形的周长为______． 14. 函数的自变量的取值范围是_________． 15. 如果是两个不相等的实数，，，那么代数式______． 16. 利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 21. 小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： （1）分母有理化：______， （2）计算：； （3）若，求的值． 22. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②； （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现；当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 （1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． 任务2 （2）根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． 任务3 （3）根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 24. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $