精品解析：湖南省衡阳市衡山县前山片联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

衡山县星源学校九年级第二次学情测试数学试卷 时长：120分钟 总分：120分 一、填空题（共计30分，每小题30分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 2. 已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0， 解得：m=﹣1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键． 3. 用配方法解方程，经过配方，得到（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．据此求解即可． 【详解】解：原方程移项得：, 故选：D. 4. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴设b=5k，得出a=13k， 把a，b的值代入， 得：． 故选：D． 5. 如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（　　） A. 1：2 B. 2：3 C. 1：3 D. 1：4 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵△ABC中，AD、BE是两条中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DE=AB， ∴△EDC∽△ABC， ∴S△EDC：S△ABC=（）2=． 故选D． 考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形中位线定理． 6. 如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　） A. 10米 B. 10米 C. 20米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案． 【详解】∵在直角三角形ADB中，∠D=30°， ∴=tan30°． ∴． ∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°， ∴BC=． ∵CD=20， ∴CD=BD﹣BC=． 解得：AB=． 故选A． 7. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABD=∠C B. ∠ADB=∠ABC C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】∵∠A是公共角， ∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求； 当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求； AB：BD=CB：CD时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求， 故选：C． 8. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由根与系数的关系可知，以，为根的一元二次方程是， 故选A． 考点：根与系数的关系． 9. 给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等，所以第一个打电话给甲的概率为 ． 故选D． 考点：概率 二、填空题（共计24分，每小题3分） 10. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 【答案】5.5 【解析】 【详解】在△DEF和△DBC中，， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 40cm=0.4m，20cm=0.2m， 即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m 【点睛】考点：相似三角形 11. 计算：cos245°＋ tan30°sin60°=____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据特殊角的锐角三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值的混合运算，牢记特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 12. 关于x的方程2x2－ax＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系得到1•m=，解得m=． 考点：根与系数的关系． 13. 在中，若，则的度数是________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值、三角形内角和定理、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质、特殊角的三角函数值分别求出，再根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：, 故答案为： 14. 在中，，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为____． 【答案】2. 【解析】 【分析】先根据有两个相等的实数根求出b，再根据三边长得出三角形是以AC为斜边的直角三角形即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根， ∴△=16-4b=0， ∴AC=b=4， ∵BC=2，AB=2， ∴BC2+AB2=AC2， ∴△ABC是直角三角形，AC是斜边， ∴AC边上的中线长=AC=2 【点睛】考点：根的判别式；直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理． 15. 已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为____________． 【答案】8或24． 【解析】 【分析】根据题意可知，这个要分情况讨论，讨论高是在内部还是外部，根据正切值和面积计算即可． 【详解】解：如图2所示： ∵BC=6，BD：CD=2：1， ∴BD=4， ∵AD⊥BC，tanB=， ∴=， ∴AD=BD=， ∴S△ABC=BC•AD=×6×=8； 如图2所示： ∵BC=6，BD：CD=2：1， ∴BD=12， ∵AD⊥BC，tanB=， ∴=， ∴AD=BD=8， ∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24； 综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是要分情况讨论． 16. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角． 【详解】解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C， ∴△PCF∽△BCP． ∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D， ∴△APD∽△PGD． ∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C ∴∠APG＝∠BFP， ∴△APG∽△BFP． 则图中相似三角形有3对， 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角． 17. 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=，则CE的长为_____米． 【答案】8． 【解析】 【详解】试题分析：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示． ∵在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，∴sin∠B=，∴AF=12×=，∴DG=． ∵在Rt△DGC中，CD=，DG=米，∴GC==18． ∵在Rt△DEG中，tanE=，∴ =，∴GE=26，∴CE=GE﹣CG=26﹣18=8． 即CE的长为8米． 故答案为8． 考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 18. 如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=__． 【答案】8 【解析】 【详解】试题分析：解：过A作AE⊥x轴于点E．因为S△OAE=S△OCD，所以S四边形AECB=S△BOD=21，因为AE∥BC，所以△OAE∽△OBC，所以==（）2=，所以S△OAE=4，则k=8． 考点：1.相似三角形的判定与性质；2.反比例函数的性质. 三、解答题（66分） 19. 计算题： （1） （2） 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，二次根式，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质，绝对值的意义，特殊角的三角形函数，乘方及零指数幂化简各式，然后再进行计算即可解答． （2）先二次根式运算法则，绝对值的意义及零指数幂化简各式，然后再进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ， ， 20. 解方程： （1） （2）； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程及解一元二次方程直接开平方法，熟知换元法及直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用换元法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 令， 则原方程可变形为， ， 则，， 因为， 所以， 则， 所以，． 【小问2详解】 解：， ， ， 则， 所以． 21. 已知，是关于的方程的两个根，是否存在实数使成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【解析】 【分析】先利用判别式的值得到m≤0，再利用根与系数的关系得到x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2+4，则利用完全平方公式和整体代入的方法由x12+x22-x1x2=21得到[-2（m-2）]2-3（m2+4）=21，解此方程得m1=17，m2=-1，然后根据m的取值范围确定m的值． 【详解】解：存在． 对于关于x的方程x2+2（m-2）x+m2+4=0， ∵，，， ∴=[2（m-2）]2-4（m2+4）≥0， ∴m≤0， 根据根与系数的关系得x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2+4， ∵x12+x22-x1x2=21， ∴（x1+x2）2-2x1x2-x1x2=21，即（x1+x2）2-3x1x2=21， ∴[-2（m-2）]2-3（m2+4）=21， 整理得m2-16m-17=0，解得m1=17，m2=-1， 而m≤0， ∴m=-1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．计算出的m的值满足判别式的值大于或等于0． 22. 已知，，求和的值． 【答案】3， 【解析】 【分析】考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，多项式乘多项式，分母有理化，解题的关键是由已知条件得出，，注意整体思想的运用．先由已知条件得出，，再整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ； ． 23. 如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，． （1）求证：； （2）若，延长交的延长线于点G，求的长． 【答案】（1） 证明：正方形， ， ， ， ， ， ， ． （2）10 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，正方形的性质是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，再结合证出，即可得出； （2）通过证明得到，代入数据得到的长，再利用即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：正方形， ，， 为边的中点， ， ， ， ， ， ， 的长为10． 24. 近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次． （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 【答案】（1）10% ；（2）2.662万人次 【解析】 【分析】（1）设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解； （2）用2.42×（1+增长率），计算即可求解． 【详解】（1）设增长率为x，根据题意，得 2（1+x）2=2.42， 解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%． 答：增长率为10%． （2）2.42（1+0.1）=2.662（万人）． 答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解. 25. 今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】方法一：过点作交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，进而求得，过点作于点，根据平行线的性质可得，进而求得，过作于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，利用求解即可； 方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，，过作于，根据平行线的性质可得，进而求得，根据求解即可． 【详解】解：方法一： 过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形，， ， ， 过点作于点， 由题意知，， ， 又， ， 过作于点， ，， , ， 靠背顶端点距地面高度为 ； 方法二： 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点， ，， ， 又， ， ， ， 过作于， 由题意知，， ， 又， ， 靠背顶端点距地面高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 26. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=． （1）求过点A，B的直线的函数表达式； （2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出的m值；如不存在，请说明理由． 【答案】（1）B（1，3）；（2）D（，0）；（3）这样的m存在．m=． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，根据题意求出点B的坐标，利用待定系数法求出过点A，B的直线的函数表达式；（2）过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（3）分PQ∥BD时和PQ⊥AD时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 试题解析：(1)∵点A(−3,0),C(1,0)， ∴AC=4,又BC=AC， ∴BC=3， ∴B点坐标为(1,3)， 设过点A，B的直线的函数表达式为：y=kx+b， 则， 解得， ∴直线AB的函数表达式为：y=x+； (2)如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D， ∵∠A=∠A，∠ABD=∠ACB， ∴△ADB∽△ABC， ∴D点为所求， ∵△ADB∽△ABC， ∴,即=， 解得,CD=， ∴OD=OC+CD=， ∴点D的坐标为(,0)； (3)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB==5， 如图2,当PQ∥BD时,△APQ∽△ABD， 则， 解得,m=， 如图3,当PQ⊥AD时,△APQ∽△ADB， 则， 解得,m=， 所以若△APQ与△ADB相似时,m=或. 点睛：本题考查的是一次函数综合题，涉及相似三角形的判定和性质、待定系数法求函数解析式、勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡山县星源学校九年级第二次学情测试数学试卷 时长：120分钟 总分：120分 一、填空题（共计30分，每小题30分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 2. 已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0 D. 无法确定 3. 用配方法解方程，经过配方，得到（　　） A. B. C. D. 4. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（　　） A. 1：2 B. 2：3 C. 1：3 D. 1：4 6. 如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　） A. 10米 B. 10米 C. 20米 D. 米 7. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABD=∠C B. ∠ADB=∠ABC C. D. 8. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 9. 给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共计24分，每小题3分） 10. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 11. 计算：cos245°＋ tan30°sin60°=____________． 12. 关于x的方程2x2－ax＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________． 13. 在中，若，则的度数是________． 14. 在中，，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为____． 15. 已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为____________． 16. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对． 17. 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=，则CE的长为_____米． 18. 如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=__． 三、解答题（66分） 19. 计算题： （1） （2） 20. 解方程： （1） （2）； 21. 已知，是关于的方程的两个根，是否存在实数使成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 22. 已知，，求和的值． 23. 如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，． （1）求证：； （2）若，延长交的延长线于点G，求的长． 24. 近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次． （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 25. 今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，） 26. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=． （1）求过点A，B的直线的函数表达式； （2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出的m值；如不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $