3.5-3.7（三角形的内切圆+圆与正多边形+弧长扇形的面积+圆锥）综合复习 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级上圆3.5-3.7综合复习 一．三角形的内切圆（共8小题） 1．（2026秋•江阳区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝17，⊙O与△ABC三边分别相切于点D，E，F，且OD＝3，则△ABC的面积是（　　） A．80 B．70 C．60 D．50 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，则DE＝________________ ． 3．（2026秋•建邺区期中）如图，△ABC的周长为26，AB＝8．⊙I与AB，BC，CA三边分别相切于点D，E，F，若∠FDE＝60°，则EF的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 4．如图（1），已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点I是△ABC内一点，若且BI平分∠ABC． （1）求证：点I是△ABC的内心； （2）如图（2），⊙O，⊙I分别是△ABC的外接圆，内切圆，D，E，F分别是⊙I与AC，BC，AB的切点，则△ABC外接圆的半径r＝ ___________________ ，△ABC的内心I与外心O的距离l＝ __________________ ． 5．（2026秋•苏州期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°． （1）求△ABC的三个内角的大小； （2）设⊙O的半径为1，求AB+AC﹣BC的值． 6．（2025秋•秦淮区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，当△ABC的内切圆的半径确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的半径（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 7．（2026秋•扬中市期中）如图，在扇形ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，动点P沿弧AC从A运动到C，作PD⊥BC于点D，则△PBD内切圆圆心O的运动路径长是____________________ ． 8．（2026秋•秦淮区校级月考）结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积． 解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x． 根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x． 根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2． 整理，得x2+7x＝12． 所以S△ABCAC•BC （x+3）（x+4） （x2+7x+12） （12+12） ＝12． 小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索． 已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n． 可以一般化吗？ （1）若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn． 倒过来思考呢？ （2）若AC•BC＝2mn，求证∠C＝90°． （3）若∠C＝60°，AD＝6，BD＝7，直接写出△ABC的面积． 二．圆与正多边形（共8小题） 9．（2026秋•盖州市期末）正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝20°，则该正多边形的边数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 10．（2026秋•玄武区期中）如图，正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N，点P在上，连接PM，PN，则∠MPN的度数为 ________ °． 11．（2026春•长丰县校级期末）如图，已知正五边形和正六边形有一条公共边，O是正六形边的中心，点A和点H分别是正六边形和正五边形的1个顶点，则∠AOH＝________ °． 12．如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝_______ ． 13．（2026秋•泉山区校级期中）如图，正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10，连接A7A10，A3A7，则∠A3A7A10的度数为________ ． 14．如图，AB，CD分别是⊙O的内接正十边形和正五边形的边，AD，BC交于点P，则∠APC的度数为（　　） A．126° B．127° C．128° D．129° 15．（2026秋•徐州校级期中）某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形ABCDEF的性质进行研究．如图所示，测得AB＝1，则四边形GCHF的面积是（　　） A． B． C． D． 16．（2026秋•秦淮区期中）如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD，EH，AE，DH，AE与DH交于点O．下列结论：①BC2+EH2＝AE2；②；③∠AOD＝135°；④S八边形ABCDEFGH＝4S四边形ABCD，其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 三．弧长与扇形的面积（共15小题） 17．（2026秋•南京期中）已知扇形的面积为6π，半径为3，则这个扇形的弧长是 _______ （结果保留π）． 18．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（　　） A．2π B．π C． D． 19．（2026秋•玄武区期中）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，△AEF是等边三角形．若AB＝2，则的长度为（　　） A． B． C． D． 20．（2026•河南模拟）如图，扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠BOC＝3∠AOC，OA＝3，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 21．如图，在扇形纸片OAB中，∠AOB＝105°，OA＝6、点C是半径OA上的点、沿直线BC折叠△OBC得到△DBC，点O的对应点D落在上，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．9π﹣18 D．12π﹣18 22．（2026•碑林区校级二模）如图，⊙O的直径为10，弦AD，BC在圆心的两侧，且AD∥BC，AD＝6，BC＝8，则图中阴影部分的面积为 ___________ ． 23．（2026秋•威海期末）如图，在AB为直径的半圆中，，∠CAB＝30°，则弦DE，AC与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于 __________________ ． 24．（2026秋•新吴区期中）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论： ①勒洛三角形是中心对称图形； ②在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为2π； ③在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等； ④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动； 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 25．（2026秋•苏州期中）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（　　） A．6π B．6π﹣9 C．12π D． 26．（2026秋•新吴区期末）如图，点C是半圆上一点，AB是直径且AB＝4，将沿BC翻折交AB于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，若E是的中点，则阴影部分面积为（　　） A．2 B． C． D．π﹣1 27．（2026秋•玄武区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是直径，A是的中点，过点C作CE∥BD，与AB的延长线交于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若BD是⊙O的直径，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 ________ ． 28．（2026秋•苏州期中）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB． （1）连接OB，求证：OB⊥PB； （2）若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积． 29．（2026秋•海安市校级期中）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）如图2，延长AB交直线DC于点E，连接BC．若AB＝20，AD＝15，求与BE、CE组成的图形的面积． 30．（2026秋•工业园区期中）如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，连接OD，与⊙O交于点F，连接AE，且∠A＝∠D． （1）求证：点F是的中点； （2）若∠A＝∠C，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为 ____________________ ． 31．（2026秋•南昌县期末）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AD是⊙O的弦，AD∥OC，延长CD、BA相交于点E． （1）求证CE是⊙O的切线； （2）若A恰好是OE的中点，AD＝3，则阴影部分的面积为 ____________________ ． 四．圆锥（共7小题） 32．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为_______ ．（结果保留π） 33．（2026•浙江模拟）圆锥的底面直径是10cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 _________ ． 34．（2026•蓬江区校级一模）在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径9cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是 ________________ cm． 35．（2026秋•鼓楼区期中）如图（1），正方形纸片ABCD边长为6dm，O是AD的中点，点E，F分别在边AB，CD上，扇形纸片OEF的半径OE＝6dm．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． （1）求该纸帽的底面半径． （2）如图（3），N是母线OM的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是M，终点是N，求丝带的最短长度． 36．（2026秋•新吴区期中）【主题】利用圆形纸片制作立体图形 【素材】图1中半径为6cm的圆形纸片（⊙O）若干，剪刀，胶水； 【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线AB折叠，使点O落在圆上，记作点O′，连接OA，OB，剪下扇形OAB（圆心角小于180°）； 活动二：将剪下的扇形OAB，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）； 活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形； 【实践探究】 （1）计算AB的长和扇形OAB的面积（π取3）； （2）求圆锥的高； （3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为6cm的圆形纸片？ 37．（2026秋•建邺区期中）（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为12cm，弧长为9cm的扇形，则该纸筒的侧面积为 _______ cm2； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环ABCD（可以看作扇形纸片OAD剪去扇形纸片OBC后剩余的部分），其中的长为30cm，的长为20cm，AB的长为8cm．求扇环ABCD的面积； （3）如图②，梯形ABCD面积为S1，扇环EFGH面积为S2，且AD等于的长，BC等于的长，AB＝CD＝EF＝GH，则S1_____ S2（填“＞”“＜”或“＝”号）． 38．（2026秋•玄武区期中）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为300°．现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． （1）该圆锥的底面圆的半径为 _____ cm； （2）已知矩形纸片的边长分别为acm，12cm． （ⅰ）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片AMB，且扇形AMB与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当a＝22时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ⅱ）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 五．课后作业（共8小题） 39．（2026秋•建邺区期中）如图，在正八边形ABCDEFGH中，若AC＝2，则AE＝ ________________ ． 40．（2026•秦淮区一模）如图，正八边形ABCDEFGH的对角线AF，HD交于点M，则∠AMH的度数是 _________ °． 41．（2026秋•鼓楼区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．点O是△ABC内切圆的圆心，连接AO，则AO＝________________ ． 42．（2026秋•秦淮区期中）如图，P是正五边形ABCDE的边AE上的动点（与点A，E不重合），连接AC，CP，则∠ACP的度数的取值范围是 ________________ ． 43．（2026•靖江市校级三模）如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心． （1）请仅用没有刻度的直尺在上一个点D，使得BD＝ID． （2）试判断点D是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 44．（2026秋•建邺区期中）如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，且与AD相切． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝6，BE＝9，求⊙O的半径． 45．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC． （1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）将△ADC沿边AD翻折后，点E恰好与点O重合，且弧DE的长度为2π，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（结果保留π）． 46．（2026•信宜市模拟）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽； 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，AB＝8cm，l＝8cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 苏科版九年级上圆3.5-3.7综合复习 参考答案与试题解析 一．三角形的内切圆（共8小题） 1．（2026秋•江阳区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝17，⊙O与△ABC三边分别相切于点D，E，F，且OD＝3，则△ABC的面积是（　　） A．80 B．70 C．60 D．50 【解答】解：连接OE、OF， ∵⊙O与△ABC三边分别相切于点D，E，F，且∠ACB＝90°，AB＝17，OD＝3， ∴AB⊥OD，AC⊥OE，BC⊥OF，OE＝OF＝OD＝3，AE＝AD，BF＝BD， ∴AE+BF＝AD+BD＝AB， ∴S△AOE+S△BOFAE•OEBF•OF（AE+BF）•ODAB•OD＝S△AOB3×17， ∵∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∵OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形， ∴S四边形OECF＝OE2＝32＝9， ∴S△ABC＝S△AOE+S△BOF+S△AOB+S四边形OECF9＝60， 故选：C． 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，则DE＝　　 ． 【解答】解：如图，连接BD，CD，EC． ∵点E是△ABC的内心， ∴∠DAB＝∠DAC，∠ECA＝∠ECD， ∵∠DCB＝∠DAB，∠DEC＝∠EAC+∠ECA，∠ECD＝∠ECB+∠DCB， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝DC， ∵BC是直径， ∴∠BDC＝90°， ∵∠DAB＝∠DAC， ∴， ∴BD＝DC， ∵BC＝4， ∴DC＝DB＝2， ∴DE＝2， 故答案为2． 3．（2026秋•建邺区期中）如图，△ABC的周长为26，AB＝8．⊙I与AB，BC，CA三边分别相切于点D，E，F，若∠FDE＝60°，则EF的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【解答】解：如图，连接IE、IF， ∵△ABC的周长为26， ∴AB+AC+BC＝26， ∵AB＝8， ∴AC+BC＝18， ∵⊙I与AB，BC，CA三边分别相切于点D，E，F， ∴AD＝AF，BD＝BE、CE＝CF， ∴AF+BE＝AD+BD＝AB＝8， ∴CE+CF＝18﹣8＝10， ∵BC，CA分别与⊙I相切于点E，F， ∴IE⊥BC，IF⊥AC， ∵∠FDE＝60°， ∴∠FIE＝120°， ∴∠ECF＝180°﹣120°＝60°， ∴△CEF为等边三角形， ∴CE＝CF＝EF＝5， 故选：C． 4．如图（1），已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点I是△ABC内一点，若且BI平分∠ABC． （1）求证：点I是△ABC的内心； （2）如图（2），⊙O，⊙I分别是△ABC的外接圆，内切圆，D，E，F分别是⊙I与AC，BC，AB的切点，则△ABC外接圆的半径r＝ 　　 ，△ABC的内心I与外心O的距离l＝ 　　 ． 【解答】（1）证明：设∠BAC＝α， ∴∠BIC＝90°∠BAC， 在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣α）， ∵BI平分∠ABC， ∴∠IBC∠ABC， ∴在△IBC中，∠ICB＝180°﹣（∠IBC+∠BIC）， ∴∠ICA＝∠ACB﹣∠ICB， ∴∠ICB＝∠ICA， ∴CI是∠ACB的平分线， ∴点I是∠ABC和∠ACB平分线的交点， ∴点I是△ABC的内心； （2）解：连接AE，OB，IB，IC，ID，IE，如图所示： 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点是△ABC的外心，点I是△ABC的内心， ∴点I，O在线段AE上，AE⊥BC，BE＝CEBC＝6， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△AEB中，∠AEB＝90°， 由勾股定理得：AE8， ∵△ABC的外接圆的半径为r， ∴OA＝OB＝r， 设内切圆的半径为x， ∴ID＝IE＝IF＝x， ∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r， 在Rt△OEB中，∠OEB＝∠AEB＝90°， 由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2， ∴r2＝（8﹣r）2+62， 解得：r， ∴△ABC外接圆的半径r； ∴OE＝8﹣r， ∵⊙I与AC，BC，AB的切点为D，E，F， ∴ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB， ∵S△IAC+S△ICB+S△IBA＝S△ABC， ∴AC•IDBC•IEAB•IFBC•AE， ∴10x12x10x12×8， 解得：x＝3， ∴IE＝x＝3， ∴OI＝IE﹣OE， △ABC的内心I与外心O的距离l． 故答案为：；． 5．（2026秋•苏州期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°． （1）求△ABC的三个内角的大小； （2）设⊙O的半径为1，求AB+AC﹣BC的值． 【解答】解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F， ∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF， ∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°， ∵∠DOE＝120°，∠EOF＝150°， ∴∠B＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠DOE＝60°，∠C＝360°﹣∠OEC﹣∠OFC﹣∠EOF＝30°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°， ∴∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°． （2）∵AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE， ∴BD+CF＝BE+CE＝BC， ∵AB+AC＝AD+BD+CF+AF＝2AF+BC， ∴2AF＝AB+AC﹣BC， ∵∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°， ∴四边形ADOF是矩形， ∴OD＝AF＝1， ∴AB+AC﹣BC＝2． 6．（2026秋•秦淮区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，当△ABC的内切圆的半径确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的半径（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【解答】解：如图： 根据图形我们可以发现，当△ABC的内切圆的半径确定时，∠A在增大的过程中，△ABC的外接圆的半径先减小，后增大； 故选：D． 7．（2026秋•扬中市期中）如图，在扇形ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，动点P沿弧AC从A运动到C，作PD⊥BC于点D，则△PBD内切圆圆心O的运动路径长是　　 ． 【解答】解：在扇形ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，动点P沿弧AC从A运动到C，如图，连接OB、OC、OP，过B、O、C三点作⊙O1，连接BO1、CO1， 在优弧BC上取点P1，连接BP1、CP1， 动点P沿弧AC从A运动到C，作PD⊥BC于点D，在扇形ABC中，AB＝2，动点P沿弧AC从A运动到C， ∴PB＝AB＝BC＝2， ∵O点是△PBD内切圆圆心， ∴∠OBP＝∠OBC，∠OPB＝∠OPD， ∴， ∵PD⊥BC， ∴∠PDB＝90°， ∴， ∵在△OBP和△OBC中， ， ∴△OBP≌△OBC（SAS）， ∴∠BOC＝∠BOP＝135°， 根据圆内接四边形的性质可得，∠BOC+∠BP1C＝180°， ∴∠BP1C＝45°， ∴∠BO1C＝90°， ∵BC＝2， ∴，∠O1BC＝∠O1CB＝45°， 又当点P和点A重合时，连接OO1，如图： 此时∠PBC＝∠ABC＝60°， ∴，∠O1BO＝∠O1BC+∠OBC＝45°+30°＝75°， ∵O1B＝OO1， ∴∠O1OB＝∠O1BO＝75°，∠O1OC＝∠BOC﹣∠O1OB＝135°﹣75°＝60°， ∵O1O＝O1C， ∴∠OO1C＝60°， 综上，点O在以OC为弦，并且所对的圆周角是60°的一段劣弧上运动， ∴劣弧BC的弧长， ∴△PBD内切圆圆心O的运动路径长是． 故答案为：． 8．（2026秋•秦淮区校级月考）结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积． 解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x． 根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x． 根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2． 整理，得x2+7x＝12． 所以S△ABCAC•BC （x+3）（x+4） （x2+7x+12） （12+12） ＝12． 小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索． 已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n． 可以一般化吗？ （1）若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn． 倒过来思考呢？ （2）若AC•BC＝2mn，求证∠C＝90°． （3）若∠C＝60°，AD＝6，BD＝7，直接写出△ABC的面积． 【解答】（1）证明：设CE＝x． 根据切线长定理，得AE＝AD＝m，BF＝BD＝n，CF＝CE＝x． ∴AB＝AD+BD＝m+n，AC＝AE+EC＝m+x，BC＝BF+CF＝n+x， ∵∠C＝90°， ∴在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， 即（m+x）2+（n+x）2＝（m+n）2． 整理，得x2+（m+n）x＝mn． ∴ ＝mn； （2）证明：由AC•BC＝2mn，得：（x+m）（x+n）＝2mn， 整理，得：x2+（m+n）x＝mn， ∴AC2+BC2＝（x+m）2+（x+n）2 ＝2[x2+（m+n）x]+m2+n2 ＝2mn+m2+n2 ＝（m+n）2 ＝AB2， 根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°； （3）解：如图，过点A作AG⊥BC于点G， 设线段CE的长为x， ∵△ABC的内切圆与AB相切于点D，与AC，BC相切于点E，F， ∴AE＝AD＝6，BF＝BD＝7，CF＝CE＝x， ∴AC＝x+6，BC＝x+7，AB＝6+7＝13， 在Rt△ACG中，∠C＝60°， ∴CG＝AC•cos60°（x+6）， AG＝AC•sin60°（x+6）， ∴， ∵AG⊥BC， ∴AG2+BG2＝AB2， ∴， ∴x2+13x＝126， ∴△ABC的面积 ． 二．圆与正多边形（共8小题） 9．（2026秋•盖州市期末）正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝20°，则该正多边形的边数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【解答】解：如图， ∵∠ACB＝20°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝40°， ∴正多边形的边数9， 故选：B． 10．（2026秋•玄武区期中）如图，正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N，点P在上，连接PM，PN，则∠MPN的度数为 　144　 °． 【解答】解：如图，连接OM，ON，在优弧AB上取一点Q，连接QM，QN， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠A108° ∵正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N， ∴∠OMA＝∠ONA＝90°， ∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°， ∴∠MQN∠MON＝36°， ∴四边形PMQN是圆内接四边形， ∴∠MPN+∠MQN＝180°， ∴∠MPN＝180°﹣36°＝144°． 故答案为：144． 11．（2026春•长丰县校级期末）如图，已知正五边形和正六边形有一条公共边，O是正六形边的中心，点A和点H分别是正六边形和正五边形的1个顶点，则∠AOH＝　114　 °． 【解答】】解：如图，作正六边形ABCDEF的外接圆，连接OD，OE， 则180°，120°，60°， ∴∠ADE＝60°，AD是直径， 又∵正五边形的内角∠HDE108°， ∴∠ODH＝∠HDE﹣∠ADE＝48°， ∴∠DOH+∠DHO＝180°﹣∠ODH＝132°， ∵OD＝OE， ∴△ODE是等边三角形， ∴OD＝DE， ∵五边形DEIGH是正五边形， ∴DH＝DE， ∴OD＝DH， ∴∠DOH＝∠DHO132°＝66°， ∴∠AOH＝180°﹣∠DOH＝180°﹣66°＝114°． 故答案为：114． 12．如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝　18　 ． 【解答】解：连接CE， 正n边形的中心角的度数为：， 则∠ECF，∠AEC， ∵∠EGF＝30°， ∴∠ECF+∠AEC＝30°， ∴30°， 解得：n＝18， 故答案为：18． 13．（2026秋•泉山区校级期中）如图，正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10，连接A7A10，A3A7，则∠A3A7A10的度数为　54°　 ． 【解答】解：如图，设正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10外接圆的圆心为O， 连接OA3、OA10； 由题意知：⊙O的周长， ∴， ∴∠A3A7A10的度数54°， 故答案为54°． 14．如图，AB，CD分别是⊙O的内接正十边形和正五边形的边，AD，BC交于点P，则∠APC的度数为（　　） A．126° B．127° C．128° D．129° 【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、BD， ∵AB，CD分别是⊙O的内接正十边形和正五边形的边， ∴∠AOB36°，∠COD72°， ∴∠ADB∠AOB＝18°，∠CBD∠COD＝36°， ∴∠APC＝∠BPD＝180°﹣18°﹣36°＝126°， 故选：A． 15．（2026秋•徐州校级期中）某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形ABCDEF的性质进行研究．如图所示，测得AB＝1，则四边形GCHF的面积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，∠ABF＝∠AFB30°， ∴AMAB，BM＝FMAB， 在Rt△BCG中，BC＝1，∠BCG＝30°， ∴BGBC， ∴FG＝BF﹣BG， ∴四边形GCHF的面积为FG•BC． 故选：A． 16．（2026秋•秦淮区期中）如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD，EH，AE，DH，AE与DH交于点O．下列结论：①BC2+EH2＝AE2；②；③∠AOD＝135°；④S八边形ABCDEFGH＝4S四边形ABCD，其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：作正八边形ABCDEFGH的外接圆， ∵，且3，3， ∴， ∴AD＝EH， ∵AH＝ED， ∴四边形ADEH是平行四边形， ∴OA＝OE， ∴点A与点E关于点O对称， ∴O为正八边形ABCDEFGH的中心，即正八边形ABCDEFGH的外接圆的圆心， ∴AE、DH都是⊙O的直径， ∴∠DAE＝∠DAH＝90°， ∴DE2+AD2＝AE2， ∵DE＝BC，AD＝EH， ∴BC2+EH2＝AE2， 故①正确； ∴在AD上截取AM＝AH，连接MH，则MHAH，∠AMH＝∠AHM＝45°， ∵∠AOH360°＝45°， ∴∠ADH∠AOH＝22.5°， ∴∠MHD＝∠AMH﹣∠ADH＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠MHD＝∠ADH， ∴MD＝MHAH， ∴AD＝AM+MD＝AHAH， ∴12， 故②错误； ∵∠AOH＝45°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOH＝180°﹣45°＝135°， 故③正确； 连接OC，作CI⊥AD于点I，则∠CID＝90°， ∵∠AOC＝2360°＝90°， ∴∠ADC∠AOC＝45°， ∴∠BCD（8﹣2）×180°＝135°， ∴∠ADC+∠BCD＝45°+135°＝180°， ∴BC∥LI， 设BC＝CD＝AH＝AM＝m，则MDm， ∴AD＝mm， ∵∠ICD＝∠IDC＝45°， ∴IC＝ID， ∵CDIC＝m， ∴ICm， ∴S四边形ABCD（m+mm）mm2， 同理S四边形EFGHm2， ∵四边形ADEH是矩形， ∴S四边形ADEH＝m（mm）＝（1）m2， ∴S八边形ABCDEFGH＝2m2+（1）m2＝4m2， ∴S八边形ABCDEFGH＝4S四边形ABCD， 故④正确， 故选：C． 三．弧长与扇形的面积（共15小题） 17．（2026秋•南京期中）已知扇形的面积为6π，半径为3，则这个扇形的弧长是 　4π　 （结果保留π）． 【解答】解：∵，扇形的面积为6π，半径为3， ∴， ∴l＝4π， ∴这个扇形的弧长是4π． 故答案为：4π． 18．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（　　） A．2π B．π C． D． 【解答】解： 连接AC， ∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°， ∴AC为直径，即AC＝2m，AB＝BC（扇形的半径相等）， ∵AB2+BC2＝22， ∴AB＝BCm， ∴阴影部分的面积是（m2）， 故选：C． 19．（2026秋•玄武区期中）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，△AEF是等边三角形．若AB＝2，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接AC，OE，OF，OB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°，∠BOC＝90°， ∴AC是⊙O的直径，OB＝OCAB， ∴点A，O，C三点共线， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF，∠EAF＝60°， ∴， ∴AC⊥EF， ∴∠OGE＝90°，∠EOC∠EAF＝60°， ∴的长度为π， 故选：C． 20．（2026•河南模拟）如图，扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠BOC＝3∠AOC，OA＝3，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠AOB＝120°，且∠BOC＝3∠AOC， ∴∠BOC＝120°90°，∠AOC＝120°30°， 又∵OA＝OB＝3， ∴30°， 在Rt△BOP中，OB＝3，∠OBP＝30°， ∴OPOB， ∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△OBP ， 故选：D． 21．如图，在扇形纸片OAB中，∠AOB＝105°，OA＝6、点C是半径OA上的点、沿直线BC折叠△OBC得到△DBC，点O的对应点D落在上，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．9π﹣18 D．12π﹣18 【解答】解：如图，连接OD， 由折叠的性质可得，BC⊥OD，OD＝OB＝BD， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BOD＝60°， ∵∠AOB＝105°， ∴∠COD＝45°． ∵CD＝CO， ∴∠CDO＝∠COD＝45°， ∴∠DCO＝90°， ∴CD＝OCOD＝3， ∴S扇形OADπ，S△COD•OC•CD339， ∴S阴影π﹣9． 故选：B． 22．（2026•碑林区校级二模）如图，⊙O的直径为10，弦AD，BC在圆心的两侧，且AD∥BC，AD＝6，BC＝8，则图中阴影部分的面积为 　25π﹣49　 ． 【解答】解：过点O作OE⊥AD交AD于点E，延长EO交BC于点F，连接AO、BO． ∵OE⊥AD， ∴∠AEO＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠BFO＝90°， ∴OF⊥BC， ∵AD＝6，BC＝8，AO＝BO5， ∴AEAD＝3，BFBC＝4， 在Rt△AEO中利用勾股定理，得OE4， 同理，在Rt△BFO中利用勾股定理，得OF3， ∴EF＝OE+OF＝7， ∴S梯形ABCD （AD+BC）•EF （6+8）×7 ＝49， ∵S⊙O＝52π＝25π， ∴S阴影＝S⊙O﹣S梯形ABCD＝25π﹣49． 故答案为：25π﹣49． 23．（2026秋•威海期末）如图，在AB为直径的半圆中，，∠CAB＝30°，则弦DE，AC与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于 　　 ． 【解答】解：设圆心为O，⊙O的半径为r，连接OE、OD、OC、BC，则OE＝OC＝OD＝OA＝OB＝r， ∴S△BOC＝S△AOCS△ABC， ∵， ∴DE＝BC， ∴△DOE≌△BOC（SSS）， ∴S△DOE＝S△BOCS△ABC， ∵∠CAB＝30°， ∴∠EOD＝∠COB＝2∠CAB＝60°， ∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝120°， ∵S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC﹣（S扇形DOE﹣S△DOE）＝S扇形AOCS△ABC﹣S扇形DOES△ABC＝S扇形AOC﹣S扇形DOE， ∴S阴影πr2， ∵S半圆πr2， ∴， 故答案为：． 24．（2026秋•新吴区期中）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论： ①勒洛三角形是中心对称图形； ②在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为2π； ③在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等； ④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动； 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【解答】解：①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误，不符合题意； ②在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为，故②正确，符合题意； ③在图2中，设勒洛三角形中等边三角形的边长为a，则圆的直径为a， 所以勒洛三角形的周长为，圆的周长为aπ， 故在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确，符合题意； ④夹在平行线之间的勒洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变， 如在图1中，点A到上任意一点的距离都相等，故使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④正确，符合题意； 故上述结论中，所有正确结论的序号是：②③④； 故选：D． 25．（2026秋•苏州期中）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（　　） A．6π B．6π﹣9 C．12π D． 【解答】解：连接OD，如图， ∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD， ∴AC＝OC， ∴OD＝2OC＝6， ∴CD3， ∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°， ∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD3×36π， ∴阴影部分的面积为6π． 故选：A． 26．（2026秋•新吴区期末）如图，点C是半圆上一点，AB是直径且AB＝4，将沿BC翻折交AB于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，若E是的中点，则阴影部分面积为（　　） A．2 B． C． D．π﹣1 【解答】解：如图，连接CD，DE，过点C作CH⊥AB于H，过点E作EG⊥AB于G， ∵∠ABC＝∠DBC＝∠DBE， ∴， ∴AC＝CD＝DE， ∴弓形AmC的面积＝弓形DnE的面积， ∴阴影部分面积＝四边形ACED的面积， ∵CH⊥AD， ∴AH＝HD， ∵E是的中点， ∴， ∴ED＝EB，而EG⊥AB， ∴∠EDB＝∠EBD，DG＝BG， 设∠EDB＝∠EBD＝x，则∠DEC＝∠DCE＝∠EDB+∠EBD＝2x， ∴∠A＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3x， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴3x+x＝90°， ∴x＝22.5° ∴∠EDB＝22.5°，∠A＝∠CDA＝3x＝67.5°， ∵CH⊥AB， ∴∠HCD＝90°﹣∠CDA＝22.5°， ∴∠HCD＝∠EDB， 而∠CHD＝∠DGE＝90°，DC＝DE， ∴△CHD≌△DGE（AAS）， ∴CH＝DG＝BG，HD＝EG， 设CH＝DG＝BG＝y，而AB＝4， ∴AH＝HD＝EG＝2﹣y， ∵CH⊥AB，EG⊥AB， ∴CH∥EG， ∴△BGE∽△BHC， ∴， ∴， 解得：（舍负）， ∵四边形ACED的面积＝S△ABC﹣S△EDB， ∴阴影部分面积 ＝S△ABC﹣S△EDB ＝2， 故选：A． 27．（2026秋•玄武区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是直径，A是的中点，过点C作CE∥BD，与AB的延长线交于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若BD是⊙O的直径，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 　6﹣π　 ． 【解答】（1）证明：如图1，设AC交BD于点F， ∵AC是⊙O的直径，A是的中点， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°，， ∴AB＝AD，∠ACB＝∠ACD， ∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵AB＝AD，AC平分∠BAD， ∴AC⊥BD， ∵CE∥BD， ∴∠ACE＝∠AFB＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC， ∴CE是⊙O的切线． （2）解：如图2，∵BD是⊙O的直径，且⊙O的半径为2， ∴∠BAD＝90°，OC＝OB＝OA＝2， ∴∠BAC＝∠DACBAD＝45°，AC＝2OC＝4， ∵∠ACE＝90°， ∴∠E＝∠BAC＝45°， ∴EC＝AC＝4， ∵BC⊥AB，AC⊥BD， ∴AB＝EB，∠BOC＝90°， ∵S△ACEEC•AC4×4＝8， ∴S△EBC＝S△ABCS△ACE＝4， ∴S△COB＝S△AOBS△ABC＝2， ∵S扇形COBπ， ∴S阴影＝S△EBC+S△COB﹣S扇形COB＝4+2﹣π＝6﹣π， 故答案为：6﹣π． 28．（2026秋•苏州期中）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB． （1）连接OB，求证：OB⊥PB； （2）若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：如图，连接OP， ∵PA与⊙O相切， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°， 在△AOP和△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP（SSS）， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴OB⊥PB； （2）解：如图，连接BC， ∵∠OBP＝∠OAP＝90°，∠APB＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠COB＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠OCB＝60°， 由（1）可知：∠AOP＝∠BOP＝60°， ∴∠AOP＝∠OCB，OA2， ∴OP∥BC， ∴S△PCB＝S△OCB， ∴S阴影部分＝S扇形OCB． 29．（2026秋•海安市校级期中）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）如图2，延长AB交直线DC于点E，连接BC．若AB＝20，AD＝15，求与BE、CE组成的图形的面积． 【解答】（1）证明：如图1，连接OC， ∵AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D， ∴AD⊥CD，CD⊥OC， ∴OC∥AD， ∴∠BOC＝∠BAD＝∠BAC+∠DAC， ∴∠BOC＝2∠BAC， ∴∠BAC+∠DAC＝2∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AC平分∠DAB． （2）解：如图2，作OF⊥AD于点F， ∵AD⊥CD，CD⊥OC， ∴∠OFD＝∠OCD＝∠D＝90°， ∴四边形OCDF是矩形， ∵AB为⊙O的直径，AB＝20，AD＝15， ∴DF＝OC＝OA＝OBAB＝10，∠ACB＝90°， ∴AF＝AD﹣DF＝5， ∵∠AFO＝∠OCE＝90°， ∴CD＝OF5， ∴AC10， ∴BC10， ∴OC＝OB＝BC， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠COB＝60°， ∴∠E＝90°﹣∠COB＝30°，∠CAE∠COB＝30°， ∴∠E＝∠CAE ∴EC＝AC＝10， ∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COB10×1050， ∴与BE、CE组成的图形的面积是50． 30．（2026秋•工业园区期中）如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，连接OD，与⊙O交于点F，连接AE，且∠A＝∠D． （1）求证：点F是的中点； （2）若∠A＝∠C，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为 　　 ． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵CD与⊙O相切于点E， ∴∠OED＝90°， ∴∠D+∠DOE＝90°， ∵OE＝OA， ∴∠A＝∠AEO， ∴∠D＝∠AEO， ∴AEO+∴DOE＝90°， ∴AE⊥OD， ∴， ∴F是AE的中点； （2）解：∵∠A＝∠C，∠A＝∠D， ∴∠C＝∠D， ∴OC＝OD， ∵OE⊥CD， ∴∠COE＝∠DOE， 由（1）知，， ∴∠AOF＝∠DOE， ∴∠COE＝∠DOE＝∠AOD， ∵OE＝3， ∴DE， ∴阴影部分的面积＝S△DOE﹣S扇形FOE3×3． 故答案为：． 31．（2026秋•南昌县期末）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AD是⊙O的弦，AD∥OC，延长CD、BA相交于点E． （1）求证CE是⊙O的切线； （2）若A恰好是OE的中点，AD＝3，则阴影部分的面积为 　　 ． 【解答】（1）证明：连接DO，如图1， ∵OC∥AD， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD， 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB， 在△COD和△COB中， ， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°， ∴∠CDO＝90°， ∴OD⊥CE， 又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠ODE＝90°，A是OE的中点， ∴ADOE＝3＝OA， ∵OA＝OD＝3， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°， 由勾股定理得：DE3， ∴阴影部分的面积＝S△ODE﹣S扇形OAD． 故答案为：． 四．圆锥（共7小题） 32．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为　6π　 ．（结果保留π） 【解答】解：圆锥的侧面积3×2π×2＝6π． 故答案为：6π． 33．（2026•浙江模拟）圆锥的底面直径是10cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 　150°　 ． 【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°， 根据题意得10π， 解得n＝150， 所以它的侧面展开图的圆心角的度数为150°． 故答案为150°． 34．（2026•蓬江区校级一模）在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径9cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是 　　 cm． 【解答】解：扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴2rπ＝6π， 解得r＝3（cm）， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 35．（2026秋•鼓楼区期中）如图（1），正方形纸片ABCD边长为6dm，O是AD的中点，点E，F分别在边AB，CD上，扇形纸片OEF的半径OE＝6dm．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． （1）求该纸帽的底面半径． （2）如图（3），N是母线OM的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是M，终点是N，求丝带的最短长度． 【解答】解：（1）连接EF， ∵正方形纸片ABCD边长为6dm，扇形纸片OEF的半径OE＝6dm， ∴OE＝OF＝EF＝BC＝6dm， ∴△OEF是等边三角形， ∴∠EOF＝60°， 设纸帽底面圆的半径为r， ∴2πr， ∴r＝1， 答：该纸帽的底面半径为1dm； （2）过点O作OG⊥EF于点G，连接DE，DE即为所求， ∴EG＝FG＝3dm， ∵△OEF是等边三角形，OE＝6dm， ∴OGEG＝3dm， ∴DF＝OG＝3dm， ∴在Rt△DEF中，DE（dm）， 答：丝带的最短长度为3dm． 36．（2026秋•新吴区期中）【主题】利用圆形纸片制作立体图形 【素材】图1中半径为6cm的圆形纸片（⊙O）若干，剪刀，胶水； 【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线AB折叠，使点O落在圆上，记作点O′，连接OA，OB，剪下扇形OAB（圆心角小于180°）； 活动二：将剪下的扇形OAB，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）； 活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形； 【实践探究】 （1）计算AB的长和扇形OAB的面积（π取3）； （2）求圆锥的高； （3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为6cm的圆形纸片？ 【解答】解：（1）如图2，OO'和AB交于点D， 由折叠可知：AB垂直平分OO′，OB＝O'B， ∴∠ODB＝90°， ∵OB＝OO'， ∴OB＝OO'＝O'B， ∴△OBO'为等边三角形， ∴∠BOO'＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∴ODOB＝3cm，BD3（cm）， ∴AB＝2BD＝6cm， ∵OA＝OB，∠ODA＝90°， ∴∠AOB＝2∠BOO'＝120°， ∴扇形OAB的面积为：12π＝36（cm2）， 答：AB的长为，扇形OAB的面积为36cm2； （2）如图3，作圆锥高OH，连接O'H， 设圆锥底面圆的半径为rcm，R＝OA＝6cm， ∵2πr， ∴r＝2， 在Rt△OHO'中， ， ∴圆锥的高为4cm； （3）每个圆形纸片可制作120°的扇形纸片：360°÷120°＝3（个）， 20个这样的立体图形需要120°的扇形：20×2＝40（个）， （个）， ∴最少需要准备14个半径为6cm的圆形纸片． 37．（2026秋•建邺区期中）（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为12cm，弧长为9cm的扇形，则该纸筒的侧面积为 　54　 cm2； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环ABCD（可以看作扇形纸片OAD剪去扇形纸片OBC后剩余的部分），其中的长为30cm，的长为20cm，AB的长为8cm．求扇环ABCD的面积； （3）如图②，梯形ABCD面积为S1，扇环EFGH面积为S2，且AD等于的长，BC等于的长，AB＝CD＝EF＝GH，则S1　＜　 S2（填“＞”“＜”或“＝”号）． 【解答】解：（1）该纸筒的侧面积12×9＝54（cm2）； 故答案为：54； （2）设OB＝r，∠AOD＝n°， ∴，， ∴， ∴r•r•AB• ∴扇环ABCD的面积＝S扇形AOD﹣S扇形BOC•（r+AB）r••（r+AB）（r•AB•）（）•AB， ∵的长为30cm，的长为20cm，AB的长为8cm． ∴扇环ABCD的面积（20+30）×8＝200（cm2）； （3）设图形ABCD的高为h， 由（2）得S2（）•EF， ∵AD等于的长，BC等于的长， ∴S2（AD+BC）•EF， ∵h＜AB，AB＝CD＝EF＝GH， ∴h＜EF， ∵S1（AD+BC）•h， ∴S1＜S2． 故答案为：＜． 38．（2026秋•玄武区期中）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为300°．现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． （1）该圆锥的底面圆的半径为 　5　 cm； （2）已知矩形纸片的边长分别为acm，12cm． （ⅰ）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片AMB，且扇形AMB与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当a＝22时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ⅱ）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【解答】解：（1）由题可知2πr， ∴r＝5cm； 故答案为：5． （2）（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片． 理由：作MC⊥AB，垂足为C，延长CM，交⊙O于点D，交RS于点E． ∵AM＝BM，∠AMB＝60°， ∴△AMB是等边三角形． ∴AB＝AM＝6． ∵CM⊥AB， ∴． 在Rt△AMC中，∠ACM＝90°， ∴． 在矩形JIKRS中，∠J＝∠S＝90°． ∴∠J＝∠S＝∠JCE＝90°， ∴四边形JKRS是矩形． ∴CE＝JS＝22． ∴DE＝CE﹣CM﹣DM＝22﹣36＝16﹣3． ∵，12＞10， ∴能剪出作为圆锥底面的圆形纸片． ②示意图如图所示，此时； 如图，设底面圆圆心为O，连接MN交切点为K，过N作NG⊥PQ于点G， 则MK＝6，NK＝5，MN＝11， ∴MG＝MQ﹣GQ＝6﹣5＝1， 在Rt△MNG中，NG2， ∵MC＝3， ∴a＝325； （ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图， 此时ML3，NL4， ∴MN＝ML+NL＝34， 此时a＝6+34+5＝15+3； 情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， ∵MN＝ML+NL＝34，MW＝6﹣5＝1， ∴NW23， 此时a＝2311； ∵2311＜15+3， ∴a≥2311． 五．课后作业（共8小题） 39．（2026秋•建邺区期中）如图，在正八边形ABCDEFGH中，若AC＝2，则AE＝ 　2　 ． 【解答】解：如图，连接AG、GE、EC，则四边形ACEG为正方形， ∴AEAC＝2． 故答案为：2． 40．（2026•秦淮区一模）如图，正八边形ABCDEFGH的对角线AF，HD交于点M，则∠AMH的度数是 　67.5　 °． 【解答】解：∵八边形ABCDEFGH为正八边形， ∵∠AHG＝∠HAB＝180°﹣360°÷8＝135°， ∵正八边形ABCDEFGH的对角线AF，HD， ∴∠AHD∠AHG＝67.5°， ∠FAB＝90°， ∴∠MAH＝135°﹣90°＝45°， ∴∠AMH＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°． 故答案为：67.5． 41．（2026秋•鼓楼区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．点O是△ABC内切圆的圆心，连接AO，则AO＝　　 ． 【解答】解：作△ABC的内切圆，与AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，连接OE、OF， ∵点O是△ABC内切圆的圆心， ∴AC⊥OE，BC⊥OF， ∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵AE＝AD，BF＝DF，CE＝CF， ∴CE+CF＝2CE＝AC+BC﹣AE﹣BF＝AC+BC﹣（AD+BD）＝AC+BC﹣AB＝4+3﹣5＝2， ∴CE＝1， ∵∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∵OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形， ∴OE＝CE＝1， ∵∠AEO＝90°，AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3， ∴OA， 故答案为：． 42．（2026秋•秦淮区期中）如图，P是正五边形ABCDE的边AE上的动点（与点A，E不重合），连接AC，CP，则∠ACP的度数的取值范围是 　0°＜∠ACP＜36°　 ． 【解答】解：∵正五边形的中心角为72°， ∴∠ACE＝36°， ∵点P与点A，E不重合， ∴∠ACP的度数的取值范围是0°＜∠ACP＜36°． 故答案为：0°＜∠ACP＜36°． 43．（2026•靖江市校级三模）如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心． （1）请仅用没有刻度的直尺在上一个点D，使得BD＝ID． （2）试判断点D是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【解答】解：（1）如图所示，点D为所求： ∵点O是△ABC的外心， ∴⊙O是△ABC的外接圆， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠CBI， ∵， ∴∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD，∠BID＝2∠BAD， ∴∠DBI＝∠CBD+∠CBI＝2∠BAD＝∠BID， ∴BD＝ID； （2）解点D是图中△BCI的外心，理由如下： 连接CD，CI， 由（1）知∠BAD＝∠CAD， ∴，即BD＝CD， ∴BD＝ID＝CD， ∴点B，I，C在以点D为圆心，BD为半径的圆上，即⊙D是△BCI的外心． 44．（2026秋•建邺区期中）如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，且与AD相切． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝6，BE＝9，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接并且延长AO交BC于点F， ∵过A，B，C三点的⊙O与AD相切， ∴AD⊥OA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠OFB＝∠OAD＝90°， ∴OF⊥BC， ∴BF＝CF， ∴AF垂直平分BC， ∴AB＝AC． （2）解：设⊙O的半径为r，连接OC，则OC＝OA＝r， ∵AB∥CE， ∴∠ABE＝∠BEC， ∴， ∴， ∴， ∴AC＝BE＝9， ∵∠CFO＝90°，BF＝CFBC6＝3， ∴AE6， ∵OF2+CF2＝OC2，且OF＝6r，OC＝r， ∴（6r）2+32＝r2， 解得r， ∴⊙O的半径长为． 45．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC． （1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）将△ADC沿边AD翻折后，点E恰好与点O重合，且弧DE的长度为2π，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【解答】解：（1）BC与⊙O相切，如图1， 理由如下：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AO＝DO， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， ∵∠ACD＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC与⊙O相切； （2）连接OE，OD，如图2， ∵△ADC沿边AD翻折后，点E恰好与点O重合， ∴AE＝AO， ∴AE＝OE＝AO， ∴△AEO是等边三角形， ∴∠EAO＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝30°， ∴∠EOD＝60°， ∵弧DE的长度为2π， ∴2π， ∴R＝6； （3）连接DE，如图2 ∵△OAE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∴∠ADE＝30°， 又∵∠OAD＝∠BAC＝30°， ∴∠ADE＝∠OAD， ∴ED∥AO， ∴S△AED＝S△EOD， ∴阴影部分的面积＝S扇形ODE6π． 46．（2026•信宜市模拟）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽； 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，AB＝8cm，l＝8cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【解答】解：由题知， 令圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为n， 则， 解得n＝180°． 如图所示， AC+A′C的值即为彩带长度的最小值． 在Rt△ABC中， AC（cm）， 同理可得，A′C（cm）， 所以彩带长度的最小值为（cm）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/18 18:09:06；用户：18247042488；邮箱：89572204@qq.com；学号：20331983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $