第3章·圆·期中综合复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第3章·圆·期中综合复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆的有关概念，能判断点与圆的位置关系 · 掌握垂径定理及其推论，会求弦长、半径 · 掌握弧、弦、圆心角之间的关系并能证明 · 掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质 · 会计算弧长、扇形面积，理解圆锥侧面展开并解决切线、外接圆综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.圆的有关概念与点和圆的位置关系 圆：到定点距离等于定长的点的集合；弦、直径、弧、等弧的概念 点与圆：d<r在圆内，d=r在圆上，d>r在圆外 确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆 三角形外接圆：外心为三边垂直平分线的交点 概念辨析例题：⊙O半径为5，圆心O到点A的距离为3，则点A与⊙O的位置关系是 答案：点A在圆内 解析：d=3<r=5，故点A在圆内 ☆ 2.垂径定理及弧、弦、圆心角关系 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及所对的两条弧 推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦 常用直角三角形：弦心距d、半弦a、半径r满足r2=d2+a2 同圆或等圆中，弧、弦、圆心角三组量知一推二 概念辨析例题：⊙O半径为5，弦AB=8，则圆心O到弦AB的距离为 答案：3 解析：半弦为4，由r2=d2+42得d2=25-16=9，d=3 ☆ 3.圆周角定理与圆内接四边形 圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半 半圆（直径）所对的圆周角是直角90° 90°的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角 概念辨析例题：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，则∠ACB等于 答案：90° 解析：直径所对的圆周角是直角，故∠ACB=90° ☆ 4.正多边形、弧长扇形与圆锥、切线 正n边形：中心角=，外接圆半径R 弧长 l=；扇形面积 S==lR 圆锥：侧面积S=πrl，侧面展开扇形弧长=底面周长2πr 切线：过切点的半径垂直于切线；切线判定=连半径证垂直 概念辨析例题：扇形圆心角120°、半径为6，求弧长与面积 答案：弧长=4π，面积=12π 解析：l==4π；S==12π 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 点与圆位置 d<r内 d=r上 d>r外 d为点到圆心距离 垂径定理 直径垂直弦→平分弦弧 半径、弦心距、半弦勾股 圆周角定理 圆周角=同弧圆心角一半 直径对直角90° 圆内接四边形 对角互补 外角=内对角 弧长扇形 l=，S= 扇形也=lR 圆锥侧面积 S=πrl 展开弧长=底面周长 ⚠️ 核心考点 【考点1】圆的有关概念与点和圆的位置关系（第1-10题） · 由d与r的大小判位置 · 辨析等弧、弦、直径等概念 · 坐标点到圆心距离用距离公式 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查点与圆的位置关系．若圆半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与点A到圆心O的距离大小即可解答． 【详解】解：∵的半径，点A到圆心O的距离， ∴， ∴点A在外． 故选：C 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法错误的是（      ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．等边三角形都是相似三角形 C．面积相等的两个圆是等圆 D．三角形的外心到三个顶点的距离相等 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析、相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了等弧、等圆、相似三角形以及三角形外心的定义和性质，掌握相关结论即可． 【详解】解：Ａ：等弧是指在同圆或等圆中，能够完全重合的弧，仅仅长度相等的两条弧并不一定是等弧，因为它们可能不在同圆或等圆中，或者它们的位置不同，无法重合，故错误，符合题意； Ｂ：等边三角形的三边长度相等，三个角均为度，故正确，不符合题意； Ｃ：等圆是指半径相等的圆，若两个圆的面积相等，则它们的半径也相等，根据等圆的定义，面积相等的两个圆是等圆，故正确，不符合题意； Ｄ：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，根据外心的性质，外心到三个顶点的距离相等，故正确，不符合题意； 故选：A ． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（    ） A．①③④ B．② C．②④ D．①④ 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的认识，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①经过平面内不共线的三点确定一个圆，故①不符合题意； ②等弧所对的弦相等，正确，故②符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故③不符合题意； ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故④不符合题意， ∴其中正确的是②． 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是圆中最长的弧 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【知识点】垂径定理的推论、圆的基本概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】考查了垂径定理以及弦和弧的概念等知识．根据弦的定义、垂径定理的推论，即可求得答案． 【详解】A．直径是弦，弦不一定是直径，故不正确，不符合题意；     B．同圆或等圆中，半圆比劣弧长，比优弧短，故不正确，不符合题意；     C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦，故正确，符合题意；         D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不正确，不符合题意；     故选：C． 5．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知的半径是2，如果点到圆心的距离为4，那么点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆位置关系的判定方法：设的半径为，点到圆心的距离为，则时，点在外；时，点在上；时，点在内． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为，由题意得，． ∵，即， ∴点在外； 故选：A． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以原点O为圆心，6为半径作圆，则点P与⊙O的位置关系为（　　） A．点P与⊙O内 B．点P与⊙O上 C．点P与⊙O外 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】先计算的长度，再与半径比较：若，则点在圆上；若，则点在圆外；若，则点在圆内． 【详解】解： ∵ ∴点P与⊙O内 故选：A 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．掌握相关结论是解题关键． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中正确的是（   ） A．三个点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧 C．直径所对的圆周角是直角 D．正五边形是中心对称图形 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析、圆周角定理、轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理，以及中心对称和轴对称定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故选项说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项说法错误，不符合题意； C、直径所对的圆周角是直角，说法正确，符合题意； D、正五边形是轴心对称图形，故选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定圆的条件、等弧的认识，圆周角定理的知识，以及中心对称和轴对称定义，解题的关键是掌握有关的定义及定理． 8．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，中，，，，于点D，以点C为圆心，5为半径作，则点D在 ___________．(填“外”“内”或“上”) 【答案】内 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系. 先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D在圆C内． 故答案为：内． 9．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，为边的中线，以O为圆心，线段长为半径画弧，交x轴正半轴于点D，则点D的坐标为______________________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、圆的基本概念辨析、坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、圆的定义，属于基础题，明确直角三角形斜边中线等于斜边一半是关键．先由勾股定理求，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的长，由半径相等得长，从而写出的坐标． 【详解】解：， ， ， ， 为边的中线， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．    (1)直接写出圆心的坐标： ； (2)求的半径． 【答案】(1) (2)的半径为 【知识点】用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的运用． （1）连接，，作直线，的垂直平分线，其交点即为圆心； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）连接，，作直线，的垂直平分线，其交点即为圆心 ∴圆心的坐标为：，    （2）连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为． 【考点2】垂径定理及其推论（第11-15题） · 作弦心距构造直角三角形 · r2=d2+a2知二求一 · 证明题先连半径再用垂径 11．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】A 【知识点】已知两点坐标求两点距离、斜边的中线等于斜边的一半、垂径定理的推论、其他问题(圆的综合问题) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键． 连接，，由垂径定理得出，由直角三角形的性质得出 ，进而得出点M在以O为圆心，以3为半径的上，得出当O、M、N三点共线时，有最小值，由，求出，进而求出，即线段的最小值为7． 【详解】解：如图1，连接，， ，， ，O是的中点， 是的中点， ， ， ， ∴点M在以O为圆心，以3为半径的上， 如图2，当O、M、N三点共线时，有最小值， ， ， ， ， ∴线段的最小值为7， 故选：A． 12．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 已知：如图，是的直径，__________________． 求证：__________________．    【答案】 解：已知：如图，是的直径，是的弦，． 求证：，，． 证明：连接、，    在中，，， ，， ， ，． 【知识点】三线合一、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再根据圆心角、弧、弦的关系及三线合一进行证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的是垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，三线合一，解答此题的关键是掌握推理论证的一般方法． 13．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的直径为； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果 【详解】（1）解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是20； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， ． 14．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的推论、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则可证明，再由垂径定理的推理即可证明； （2）连接，根据已知条件和勾股定理求出的长，进而求出的平方，再推出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，则， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知是的弦． (1)如图①，只用无刻度的直尺作弦，使； (2)如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦，使，且与的夹角为．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质与判定、三角函数及垂径定理，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质与判定、三角函数及垂径定理是解题的关键； （1）连接并延长，分别交于点C、D，进而问题可求解； （2）先作的垂直平分线，则是直径，以点M为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，则，然后再以E为圆心，为半径画弧，交于点H，进而作的垂直平分线，则即为所求． 【详解】（1）解：所作图形如下： ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：先作的垂直平分线，则是直径，以点M为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，则，然后再以E为圆心，为半径画弧，交于点H，进而作的垂直平分线，则即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴由四边形内角和可知与的夹角为． 【考点3】弧、弦、圆心角之间的关系（第16-18题） · 同圆中等弧对等弦、等圆心角 · 证弧相等常借助弦或圆心角 · 注意知一推二的互推关系 16．（26-27九年级上·北京·课堂例题）在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 17．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在扇形中，点A为弧的中点，延长交的延长线于点B，连接，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、利用弧、弦、圆心角的关系求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，先证明，得到，从而证得，根据相似三角形的性质求出，进而求出，计算面积比即可． 【详解】解：连接， 点为弧的中点， ，， ， ， ∴, ∴， ， ∴， ∴， ∴, ， 故选：B． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦三者的关系、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质、三角形的面积，解题的关键是熟练运用性质解题，三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 18．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知：如图，是的直径，、是上两点，，，垂足分别为、，弧弧，求证：． 【答案】 证明：如图所示，连接、 ， 弧弧， ， ， ， ， ． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，连接、，根据题意，利用判定，即可求证． 【详解】略 【考点4】圆周角定理与圆内接四边形（第19-30题） · 见直径想90°圆周角 · 圆内接四边形用对角互补 · 同弧所对圆周角相等 19．（25-26九年级上·全国·期中）如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理判断即可． 【详解】解：∵， 若P点为圆心， 则． 故选：C． 20．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，然后根据平角的定义即可得． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ∴ 故选：C． 21．（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求角度、圆周角定理 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 22．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 23．（2025·江苏连云港·二模）如图，点、、在圆O上，，圆O的半径为5，则__． 【答案】5 【知识点】等边三角形的判定和性质、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质．根据圆周角定理求得，求得是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：5． 24．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，为的直径，C、D为直径两侧上两点，连接，，过C点作于点E，若，则的度数为______． 【答案】65 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了圆的直径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据直径得出的度数为，根据垂直得出，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴， 故答案为：65． 25．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，是的直径，若，，则的长等于______． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 26．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果，那么_____°．    【答案】 【知识点】圆周角定理、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】连接、，过三点的圆的圆心为，且过三点的圆的圆心为，，可知，根据圆周角定理可得，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ∵过三点的圆的圆心为，且过，三点的圆的圆心为，      故答案为：．    【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理知识点，熟练掌握圆周角定理并妙使用是解决问题的关键． 27．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知O为的外心，，则________ 【答案】或 【知识点】圆周角定理、已知外心的位置判断三角形的形状、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．分圆心与点在的同侧和圆心与点在的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长交于点，连接，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论． 【详解】解：当圆心与点在的同侧时，如图， ； 当圆心与点在的两侧时，如图， 延长交于点，连接， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ． ． 综上，或． 故答案为：或 28．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图， AB是⊙O的直径．点C在⊙O上．D是 的中点．若，求 的度数． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查圆周角定理及其推论，牢记圆周角定理及其推论是解题的关键．根据D是 的中点可求得的度数，根据是的直径可求得的度数，根据圆内接四边形的对角互补，即可求得答案． 【详解】解：是的中点， ， ， 是的直径， ， ， 四个点都在上， ， ． 29．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，点，，，在上，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的证明、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理和圆周角定理的推论，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：是直径， ， 又， ， ， ， 30．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，对于坐标平面内的一点，给出如下定义：若，则称点为线段的“亲近点”．    (1)当时 ①在点，，，中，线段的“亲近点”的是______； ②点在直线上，若点为线段的“亲近点”，求点的坐标． (2)若直线上总存在线段的“亲近点”，则的取值范围是 ．（直接写出答案） 【答案】(1)①A，C；②或 (2) 【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、含30度角的直角三角形、圆周角定理 【分析】（1）①A、C是线段的“亲近点”，只要证明即可；②根据点P在直线上画图，作的外接圆C，连接，可知，的半径为2，最后计算的长可得点P的坐标； （2）当的外接圆与直线相切时，直线上开始存在线段的“亲近点”，再根据圆与切线的关系求出t的临界值，即可求t的取值范围． 【详解】（1）解：①如图1中，线段的“亲近点”是A、C．    当时，点， 由点中， 在中，，， ∴， ∴， ∴，故A是线段的“亲近点”， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，故C是线段的“亲近点”， 故答案为：A、C． ②如图2，作的外接圆C，连接，    ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得， 故答案为：或； （2）解：如图3，作的外接圆C，过C点作轴于点E，交直线于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线与x轴、y轴的交点分别为A、B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得， 如图4，作的外接圆C，过C点作轴于点E，交直线于点F，    同理得，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴时，直线上总存在线段的“亲近点”． 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点，特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 【考点5】正多边形和圆（第31-36题） · 中心角= · 边长、半径、边心距构直角三角形 · 利用特殊角（60°、90°）计算 31．（23-24九年级上·浙江温州·期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、，则，所以心O在上，由点G为的中点，得，可求得，由是等边三角形，得，则，所以，则，作交于点I，则，所以，则，，于是得，再利用，得，则，即可求得答案． 【详解】解：如图，设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、． ∵， ∴，， ∴圆心在上， ∵点G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， 作交于点I，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选∶A. 【点睛】本题重点考查正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 32．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质求出的度数，再由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ， 故选：B 33．（2025·江苏南京·二模）如图，在正十八边形中，_____． 【答案】/20度 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了正多边形与圆的综合，圆周角定理等知识，先求出正十八边形的圆心角，再得出正十八边形的外接圆与相对的圆心角，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：正十八边形的圆心角为：， 则正十八边形的外接圆与相对的圆心角为： ∴， 故答案为： 34．（2024·广东惠州·二模）如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定与性质，解直角三角形；连接，，作，，，根据题意得出，，进而根据，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，，作，，， 由正八边形性质得，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， 由正八边形性质得， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴ ． 故答案为：． 35．（23-24九年级上·山东聊城·阶段检测）求边长为6的等边三角形的内切圆的半径_________ 【答案】 【知识点】三角形内心有关应用、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心的计算．解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关边长或角．构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用直角三角形的30度特殊角的三角函数即可求解． 【详解】解：如图：等边三角形，边长为6， 过点作，则， 因为， 所以． 故答案为： 36．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 【答案】(1) 与长度相等的弦如图所示： (2) 直径如图所示： 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、正多边形和圆的综合 【分析】（1）分别过、作直径和，连接，由得； （2）连接，，，交于点，作射线交圆于点，因为是正五边形内接于圆，，则，垂直平分，因为，所以垂直平分，得，从而得为直径． 本题主要考查了作图复杂作图，垂直平分线的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆，熟练掌握无刻度直尺作图，垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【考点6】弧长与扇形面积（第37-42题） · 弧长l= · 扇形S==lR · 阴影面积用和差法 37．（24-25九年级上·广东惠州·期末）圆心角为，半径为1的扇形的弧长是______． 【答案】/ 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，扇形的圆心角为, 半径为1， 所以扇形的弧长为：. 故答案为：． 38．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为________． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查弧长公式，弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长． 【详解】解：半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为：． 故答案为：． 39．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积是______（结果保留）． 【答案】/ 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，解题的关键是掌握扇形面积公式． 根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：， 故这个扇形的面积为． 故答案为：． 40．（2026·河南平顶山·三模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，连接和交于点E，分别过点A，E，B和点B，E，C作弧如图所示，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、勾股定理与网格问题、90度的圆周角所对的弦是直径、求其他不规则图形的面积 【分析】连接，标记字母F，H．易证，得出，求出，从而可得，分别为，所在圆的直径，由网格特点可得，，，，则，最后由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，标记字母F，H． 由网格特点可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，分别为，所在圆的直径． 由网格特点可得，，，， ∴， ∴． 41．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求弧长、求扇形面积 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 42．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若， （1）弧的长为_____； （2）连接，则与的面积比为_____． 【答案】 / 【知识点】利用垂径定理求值、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，弧长的计算，三角形的面积，关键是掌握圆内接正多边形的性质． （1）设圆的圆心是，连接，根据是圆内接正六边形的一边，算出的度数，得出圆的半径为2，根据 是圆内接正方形的一边，算出的度数，即可求解； （2）设半径是，作交延长线于，根据解三角形算出根据垂径定理求出根据角平分线的性质得出根据即可求解； 【详解】（1）设圆的圆心是，连接， ∵是圆内接正六边形的一边， ∴的度数， ∴是等边三角形， ∴， ∴该圆的半径为2； ∵是圆内接正方形的一边， ∴的度数， 的长； （2）设半径是，作交延长线于， 由（1）解得的度数， ∵是圆内接正三边形的一边， ∴的度数， ∴的度数， ∴的度数， 平分 平分 【考点7】圆锥的侧面展开图（第43-45题） · 展开扇形弧长=底面周长2πr · 圆锥母线l、高h、底面r勾股 · 侧面积S=πrl 43．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，的半径为6，作正六边形，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为_______． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长、求圆锥侧面积 【分析】本题考查了正多边形的外角和、弧长公式、圆锥的侧面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键 根据正六边形的外角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于圆的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴，， ∴弧的长为： ， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高 ． 故答案为：． 44．（2024·湖南长沙·模拟预测）将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为_______． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据圆锥的侧面展开图可得扇形的半径为，再利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形， ∴这个扇形的半径为， 又∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 45．（2025·山东烟台·一模）如图，正方形的边长为4，点O是的中点，以点O为圆心作弧，与相切，交，于点E，F．将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径长为__________． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求弧长、求圆锥底面半径、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，解直角三角形，先根据相切得到圆的半径，然后根据余弦得到圆心角，然后代入弧长公式计算即可． 【详解】解：设扇形与边切于点G，则， ∵是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 而点为边的中点， ， 在中， ， ∴， 同理可得， ∴， ∴圆锥的底面圆周长为， ∴该圆锥的底面半径长为． 故答案为：． 【考点8】三角形外接圆、切线与圆的综合（第46-52题） · 外接圆找垂直平分线交点定圆心 · 切线判定：连半径证垂直 · 最值问题结合斜边中线与直径 46．（2025·吉林·模拟预测）如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是___________ 【答案】/29度 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题主要考查圆的切线性质及圆周角定理．连接，由切线的性质可得，再利用余角的性质可得，然后根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：如图，连接， ∵过点的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 47．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，垂足为点，，，点是平面内的一个动点，且满足，则线段BM的最大值为__________． 【答案】8 【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、点与圆上一点的最值问题 【分析】先证明点M在以为直径的圆上，取的中点O，连接并延长交于点，B，O，三点共线，此时的值最大，据此求解即可． 【详解】如图，，， ， ∵， ∴， ， ∴点M在以为直径的圆上， 取的中点O，连接并延长交于点，B，O，三点共线，此时的值最大， ， ， ∴在中，， ，即的最大值为8． 48．（2024·江西上饶·二模）如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为_______． 【答案】，或 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、圆周角的概念辨析及简单运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，由题意得出，半径，分三种情况：作轴于点交于，此时；作轴于，交于，此时；作交轴于，交于，此时；分别利用相似三角形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：点和点，是的一条直径， ，，， ， 半径， 如图，作轴于点交于， ， 则，， ， ，， ， ； 作轴于，交于，则，， ， ，， ， ； 作交轴于，交于，则，， ， 作于，则， ，， ， ， ， ，， ，， ，， ； 综上所述，点的坐标为，或， 故答案为：，或． 49．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、，则， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 50．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 【答案】(1) 解：圆心D如图所示； 圆心坐标为； (2) (3)点E在内部 【知识点】勾股定理与网格问题、判断点与圆的位置关系、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟悉这些知识是解题的关键． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理得半径为：； （3）解：点E在内部； ， 而， 故点E在内部． 51．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点，，都在上，且，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明： ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的基本知识，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质定理是解题的关键． （1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； （2）根据等边三角形的性质解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，    ∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 同理， ∴． 52．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知是的直径，点是的中点，弦交于，过点的直线交延长线于点且． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求阴影部分的面积（结果保留． 【答案】(1) 证明：连接、， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； (2)． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据切线的判断方法，利用等腰三角形的性质，圆周角定理得出即可； （2）根据扇形面积，三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1） 略 （2）解：中，， ， 在中，，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，切线的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握切线的判定方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：点与圆位置、等弧、确定圆的条件 · 计算过关：垂径勾股、弧长扇形两套公式 · 定理过关：圆周角、直径对直角、圆内接四边形 · 应用过关：正多边形、圆锥展开、切线判定 · 综合过关：外接圆心定位与圆上最值问题 【作业1】．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）嘉嘉在半径为的中测量弦的长度，则下列测量结果中一定错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：∵半径为的圆，直径为， ∴在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， ∴弦的长度可以是，，，不可能为． 故选：D． 【作业2】．（2025·广东江门·三模）如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接，，设的半径为，由正六边形内接于，可知 是等边三角形，由的面积是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接，，设的半径为， ∵正六边形内接于， 是等边三角形， ∴ ∵的面积是， ∴ 故选：D． 【作业3】．（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据题意得出圆锥的底面圆周长即为侧面展开图弧长，再根据，求出扇形半径，最后根据，即可求出圆心角度数． 【详解】解：∵该圆锥的底面圆周长为， ∴侧面展开图弧长， ∵侧面积为，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴这个扇形的圆心角的度数是， 故选：D． 【作业4】．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：连接，如下图：    ∵，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， 弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，    由题意可得：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 扫过的部分的面积就是， 故选：D． 【作业5】．（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得的度数，由三角形内角和定理可得的度数，由圆内接四边形对角互补可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴； ∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 【作业6】．（2025·江苏苏州·模拟预测）用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，已知围成圆锥底面圆半径为，则这个扇形面积为___________． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查圆锥问题，根据圆锥底面周长为扇形的弧长，求出扇形的半径，再根据圆锥侧面展开图的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：． ∴这个扇形面积为 故答案为：． 【作业7】．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是___________．    【答案】/度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆的内接四边形互补，以及圆周角定理，由题意得，根据 即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴ 故答案为： 【作业8】．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）周长为的圆，面积为_______．（取）． 【答案】 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】本题考查圆的周长公式与圆的面积公式，先根据已知周长求出圆的半径，再代入面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：已知圆的周长 ，. 由圆的周长公式，可得圆的半径 . 由圆的面积公式，代入 ，得 . 【作业9】．（第10讲正多边形与圆（3考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版））正五边形的一个中心角等于_______度． 【答案】 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可． 【详解】解：正十边形的中心角为：． 故答案为： 【作业10】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知P是内的一点，过点P的最长的弦长为，最短的弦为，则的长为_________ 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析、利用垂径定理求值 【分析】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 根据圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦， ∴，，， ∴，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【作业11】．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知的半径为，点在外，则的长度可以是_____．（写出一个即可） 【答案】 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点在外， ∴， ∴的长可以是， 故答案为：． 【作业12】．（21-22九年级上·云南保山·期末）如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ___________________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、折叠问题、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查线段的最值问题，涉及隐圆，轴对称的性质，勾股定理等，找出点G的运动轨迹是解题的关键． 由轴对称的性质可得长度不变，因此点G在以点E为圆心，长为半径的圆上，进而可得当点G在线段上时，的长取最小值． 【详解】解：以点E为圆心，长度为半径作圆，连接，当点G在线段上时，的长取最小值，如图所示： 长方形中，，E点是的中点， ，，， ， ， 即长的最小值是， 故答案为：． 【作业13】．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，四边形内接于是的直径，，求的度数． 【答案】 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 在中， ． 【作业14】．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是非直径的弦，是直径，且平分，并交于点M，求证：， 【答案】 证明：连接， ∵， 平分， ∴， ∴， ∵是直径， ∴． 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理．连接，根据垂径定理，即可求解． 【详解】略 【作业15】．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线圆心为斜边中点时解题的关键． （1）作出的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据圆的面积公式，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴的面积． 【作业16】．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段检测）数学实践课上，陈老师准备了一些等腰直角三角形纸片发给学生，让学生从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在的边上，且半圆的弧与的其他两边相切，现在请你用尺规作图作出其中两种不同方案的示意图（保留痕迹），并求出相应半圆的半径r． 【答案】 ①如图1、图2，直径在直角边或上时， ， ②如图3，直径在斜边上时， 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键． 分直径在直角边、上和在斜边上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可． 【详解】 解：根据勾股定理，斜边， ①如图1、图2，直径在直角边或上时， 半圆的弧与的其它两边相切， ， 解得：， ②如图3，直径在斜边上时，半圆的弧与的其它两边相切， ， 解得：， 作出图形如图所示： 【作业17】．（24-25九年级上·江苏南通·期末）（1）计算：． （2）如图，点O为正六边形的中心．若长为6，求正六边F的面积． 【答案】（1）；（2） 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求正多边形的中心角、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】（）把特殊角的三角函数值代入计算即可求解； （）利用正六边形的性质求出，再根据即可求解； 本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，正多边形的面积，熟记特殊角的三角函数值及掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ， ； （）过点作于， ∵为正六边形，点为中心， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【作业18】．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为．________； (2)的半径为．________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，直线CM与相切，点M的坐标为________． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、利用垂径定理求解其他问题、切线的性质定理、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】（1）根据垂径定理可作和的垂直平分线，它们的交点即为D点； （2）利用勾股定理可求得半径的长，根据勾股定理的逆定理可求得； （3）根据和切线的性质可得，作出图形即可得到点M的坐标． 【详解】（1）解∶如图，分别作，的垂直平分线交于点D，则点D为所求圆心， 由图得，点D的坐标为， （2）如图，连接，， ，    ∴的半径为：， ∵，且， ∴， ∴， （3）∵， ∴， ∵直线与相切， ∴， ∴， 如图，当，点M是第一象限网格中的一个格点时，M的坐标为，    ． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理及其逆定理，切线的性质等知识，掌握确定三角形的外接圆的圆心的方法是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·圆·期中综合复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆的有关概念，能判断点与圆的位置关系 · 掌握垂径定理及其推论，会求弦长、半径 · 掌握弧、弦、圆心角之间的关系并能证明 · 掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质 · 会计算弧长、扇形面积，理解圆锥侧面展开并解决切线、外接圆综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.圆的有关概念与点和圆的位置关系 圆：到定点距离等于定长的点的集合；弦、直径、弧、等弧的概念 点与圆：d<r在圆内，d=r在圆上，d>r在圆外 确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆 三角形外接圆：外心为三边垂直平分线的交点 概念辨析例题：⊙O半径为5，圆心O到点A的距离为3，则点A与⊙O的位置关系是 答案：点A在圆内 解析：d=3<r=5，故点A在圆内 ☆ 2.垂径定理及弧、弦、圆心角关系 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及所对的两条弧 推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦 常用直角三角形：弦心距d、半弦a、半径r满足r2=d2+a2 同圆或等圆中，弧、弦、圆心角三组量知一推二 概念辨析例题：⊙O半径为5，弦AB=8，则圆心O到弦AB的距离为 答案：3 解析：半弦为4，由r2=d2+42得d2=25-16=9，d=3 ☆ 3.圆周角定理与圆内接四边形 圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半 半圆（直径）所对的圆周角是直角90° 90°的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角 概念辨析例题：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，则∠ACB等于 答案：90° 解析：直径所对的圆周角是直角，故∠ACB=90° ☆ 4.正多边形、弧长扇形与圆锥、切线 正n边形：中心角=，外接圆半径R 弧长 l=；扇形面积 S==lR 圆锥：侧面积S=πrl，侧面展开扇形弧长=底面周长2πr 切线：过切点的半径垂直于切线；切线判定=连半径证垂直 概念辨析例题：扇形圆心角120°、半径为6，求弧长与面积 答案：弧长=4π，面积=12π 解析：l==4π；S==12π 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 点与圆位置 d<r内 d=r上 d>r外 d为点到圆心距离 垂径定理 直径垂直弦→平分弦弧 半径、弦心距、半弦勾股 圆周角定理 圆周角=同弧圆心角一半 直径对直角90° 圆内接四边形 对角互补 外角=内对角 弧长扇形 l=，S= 扇形也=lR 圆锥侧面积 S=πrl 展开弧长=底面周长 ⚠️ 核心考点 【考点1】圆的有关概念与点和圆的位置关系（第1-10题） · 由d与r的大小判位置 · 辨析等弧、弦、直径等概念 · 坐标点到圆心距离用距离公式 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法错误的是（      ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．等边三角形都是相似三角形 C．面积相等的两个圆是等圆 D．三角形的外心到三个顶点的距离相等 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（    ） A．①③④ B．② C．②④ D．①④ 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是圆中最长的弧 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 5．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知的半径是2，如果点到圆心的距离为4，那么点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以原点O为圆心，6为半径作圆，则点P与⊙O的位置关系为（　　） A．点P与⊙O内 B．点P与⊙O上 C．点P与⊙O外 D．无法确定 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中正确的是（   ） A．三个点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧 C．直径所对的圆周角是直角 D．正五边形是中心对称图形 8．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，中，，，，于点D，以点C为圆心，5为半径作，则点D在 ___________．(填“外”“内”或“上”) 9．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，为边的中线，以O为圆心，线段长为半径画弧，交x轴正半轴于点D，则点D的坐标为______________________． 10．（23-24九年级上·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．    (1)直接写出圆心的坐标： ； (2)求的半径． 【考点2】垂径定理及其推论（第11-15题） · 作弦心距构造直角三角形 · r2=d2+a2知二求一 · 证明题先连半径再用垂径 11．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（    ） A．7 B．10 C． D． 12．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 已知：如图，是的直径，__________________． 求证：__________________．    13．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 14．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知是的弦． (1)如图①，只用无刻度的直尺作弦，使； (2)如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦，使，且与的夹角为．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【考点3】弧、弦、圆心角之间的关系（第16-18题） · 同圆中等弧对等弦、等圆心角 · 证弧相等常借助弦或圆心角 · 注意知一推二的互推关系 16．（26-27九年级上·北京·课堂例题）在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 17．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在扇形中，点A为弧的中点，延长交的延长线于点B，连接，若，，则（     ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知：如图，是的直径，、是上两点，，，垂足分别为、，弧弧，求证：． 【考点4】圆周角定理与圆内接四边形（第19-30题） · 见直径想90°圆周角 · 圆内接四边形用对角互补 · 同弧所对圆周角相等 19．（25-26九年级上·全国·期中）如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 21．（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 22．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 23．（2025·江苏连云港·二模）如图，点、、在圆O上，，圆O的半径为5，则__． 24．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，为的直径，C、D为直径两侧上两点，连接，，过C点作于点E，若，则的度数为______． 25．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，是的直径，若，，则的长等于______． 26．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果，那么_____°．    27．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知O为的外心，，则________ 28．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图， AB是⊙O的直径．点C在⊙O上．D是 的中点．若，求 的度数． 29．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，点，，，在上，，求的度数． 30．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，对于坐标平面内的一点，给出如下定义：若，则称点为线段的“亲近点”．    (1)当时 ①在点，，，中，线段的“亲近点”的是______； ②点在直线上，若点为线段的“亲近点”，求点的坐标． (2)若直线上总存在线段的“亲近点”，则的取值范围是 ．（直接写出答案） 【考点5】正多边形和圆（第31-36题） · 中心角= · 边长、半径、边心距构直角三角形 · 利用特殊角（60°、90°）计算 31．（23-24九年级上·浙江温州·期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 32．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 33．（2025·江苏南京·二模）如图，在正十八边形中，_____． 34．（2024·广东惠州·二模）如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ________． 35．（23-24九年级上·山东聊城·阶段检测）求边长为6的等边三角形的内切圆的半径_________ 36．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 【考点6】弧长与扇形面积（第37-42题） · 弧长l= · 扇形S==lR · 阴影面积用和差法 37．（24-25九年级上·广东惠州·期末）圆心角为，半径为1的扇形的弧长是______． 38．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为________． 39．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积是______（结果保留）． 40．（2026·河南平顶山·三模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，连接和交于点E，分别过点A，E，B和点B，E，C作弧如图所示，则图中阴影部分的面积为________． 41．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 42．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若， （1）弧的长为_____； （2）连接，则与的面积比为_____． 【考点7】圆锥的侧面展开图（第43-45题） · 展开扇形弧长=底面周长2πr · 圆锥母线l、高h、底面r勾股 · 侧面积S=πrl 43．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，的半径为6，作正六边形，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为_______． 44．（2024·湖南长沙·模拟预测）将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为_______． 45．（2025·山东烟台·一模）如图，正方形的边长为4，点O是的中点，以点O为圆心作弧，与相切，交，于点E，F．将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径长为__________． 【考点8】三角形外接圆、切线与圆的综合（第46-52题） · 外接圆找垂直平分线交点定圆心 · 切线判定：连半径证垂直 · 最值问题结合斜边中线与直径 46．（2025·吉林·模拟预测）如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是___________ 47．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，垂足为点，，，点是平面内的一个动点，且满足，则线段BM的最大值为__________． 48．（2024·江西上饶·二模）如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为_______． 49．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______． 50．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 51．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点，，都在上，且，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求的度数． 52．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知是的直径，点是的中点，弦交于，过点的直线交延长线于点且． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求阴影部分的面积（结果保留． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：点与圆位置、等弧、确定圆的条件 · 计算过关：垂径勾股、弧长扇形两套公式 · 定理过关：圆周角、直径对直角、圆内接四边形 · 应用过关：正多边形、圆锥展开、切线判定 · 综合过关：外接圆心定位与圆上最值问题 【作业1】．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）嘉嘉在半径为的中测量弦的长度，则下列测量结果中一定错误的是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（2025·广东江门·三模）如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【作业3】．（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 【作业5】．（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（2025·江苏苏州·模拟预测）用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，已知围成圆锥底面圆半径为，则这个扇形面积为___________． 【作业7】．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是___________．    【作业8】．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）周长为的圆，面积为_______．（取）． 【作业9】．（第10讲正多边形与圆（3考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版））正五边形的一个中心角等于_______度． 【作业10】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知P是内的一点，过点P的最长的弦长为，最短的弦为，则的长为_________ 【作业11】．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知的半径为，点在外，则的长度可以是_____．（写出一个即可） 【作业12】．（21-22九年级上·云南保山·期末）如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ___________________． 【作业13】．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，四边形内接于是的直径，，求的度数． 【作业14】．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是非直径的弦，是直径，且平分，并交于点M，求证：， 【作业15】．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【作业16】．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段检测）数学实践课上，陈老师准备了一些等腰直角三角形纸片发给学生，让学生从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在的边上，且半圆的弧与的其他两边相切，现在请你用尺规作图作出其中两种不同方案的示意图（保留痕迹），并求出相应半圆的半径r． 【作业17】．（24-25九年级上·江苏南通·期末）（1）计算：． （2）如图，点O为正六边形的中心．若长为6，求正六边F的面积． 【作业18】．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为．________； (2)的半径为．________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，直线CM与相切，点M的坐标为________． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $