精品解析：重庆市南华中学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

南华中学高2029届10月月考数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集的意义求得，利用并集的意义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以. 故选：D. 2. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定可得. 【详解】由题意可得命题：，的否定是，. 故选：C. 3. 已知，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作差法，举反例等方法结合题设可判断选项正误. 【详解】对于A，取，易得，故A错误； 对于B，取，易得，故B错误； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，列出方程组，得到，结合基本不等式的性质，即可求解. 【详解】设，可得，即， 解得，即， 因为，，可得， 所以，即. 5. 集合，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合、、的元素，再根据集合包含关系和相等关系的定义即可求解. 【详解】 因为，所以，所以集合中的元素是的整数倍加这样的数， ，所以集合中的元素是的整数倍加这样的数， 因为，所以是偶数，所以集合中的元素是的偶数倍加这样的数， 所以， 故选：D. 6. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，恒成立，得到. 可得“”是“”的充分不必要条件，“”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充要条件，“”是“”的必要不充分条件. 7. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合二次函数的性质可得则是的两个不等实根，且， 解不等式和方程组求出范围后即可判断各选项. 【详解】设，若不等式的解集为， 则是的两个不等实根，且. 所以，解得， 因此 所以ABC错误，D正确. 8. 已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用计算的取值范围，能成立，即转化为. 【详解】，， 所以，所以， ，所以能成立， 令，所以， 所以当时，有最小值0， 所以，在上有最小值0， 能成立，即， 所以实数的最小值是0. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 设，则的最小值是 B. 当时，的最小值是2 C. 当时， D. 当时，的最小值是5 【答案】CD 【解析】 【分析】通过基本不等式及其适用的条件，判断选项中的最值是否成立. 【详解】对于A，因为不是定值，因此的最小值不是，A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 而当时，不能取到等号，因此恒成立，B错误； 对于C，当时，，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，当时，，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：CD 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为 B. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 C. 关于的一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三个二次的关系找到的数量关系，求解一元二次不等式即可判断A项；利用数形结合与分类思想即可判断B项；先推得题设命题的等价条件，再利用充要条件的判断方法即可判断C项；利用穿根法求解不等式可判断D项. 【详解】对于A，由题意，方程有两个实数根为和2，且， 由韦达定理得，可得， 则不等式可化为，即，解得，故A正确； 对于B，当时，原不等式即为，成立； 当时，由，解得． 综上可得．故B错误； 对于C，关于的一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是， 解得因是的充分不必要条件，故C正确； 对于D，不等式，即，由穿根法可得或，故D错误． 故选：AC． 11. 设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. 是集合的一个“理想元素” B. 若“理想集合”恰有4个子集，则 C. 集合是一个“理想集合” D. 若是集合的一个“理想元素”，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算，满足理想元素的定义；先由“理想集合”的子集的个数判断出中元素的个数，再根据理想集合的定义写出的可能情况，或；假设集合中任意两个元素，计算也在集合中，则满足“理想集合的定义； 若是集合的一个“理想元素”， 则，则，得到，所以，利用反证法排除. 【详解】因为，，所以是集合的一个“理想元素”，选项A正确. “理想集合”恰有4个子集，则恰好有两个元素，设， 因为，都有，即，， 则或者即或 则，或； 当 ，则，所以或解得 或（舍去），此时； 当 ，则，所以或解得（舍去）或或，此时或，所以选项B错误； 设，则 ， 因为，所以即可以表示为的形式，所以,故选项C正确； 若是集合的一个“理想元素”， 则 所以, 因为，所以； 若，则，即是7的倍数，除以7余数为6，因此除以7余数为6， 设 ，则，则不是7的倍数，所以，所以，所以选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】，解得. 13. 已知，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可画出Venn图，即可求得答案. 【详解】由题意 故画Venn图 即 . 14. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是___________. 【答案】或. 【解析】 【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式的解集为， 因为，所以两个整数解为，则， 即，解得； ②当时，不等式的解集为， 因为，所以两个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得或，结合集合交集的概念与运算，即可求解； （2）先求得或和或，根据，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，集合， 由不等式，可得或，解得或， 所以集合或， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由不等式，可得或， 解得或，所以或， 因为集合，可得或， 又因为，可得且，即且， 所以，即实数a的取值范围为． 16. 某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： （1）工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ （2）若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. 【小问2详解】 ∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 17. 已知集合、集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解二次不等式化简集合，再利用集合交集的结论，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式，解之即可得解； （2）利用充分不必要条件得到集合是集合的真子集，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【小问1详解】 因为， 又，， 当时，，解得， 当时，，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 因为命题是命题的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不同时成立），解得， 综上，，即实数的取值范围为. 18. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【小问1详解】 由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 19. 已知有限集，若中的元素满足，则称为“元重生集”. （1）集合是否为“2元重生集”，请说明理由； （2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由； （3）若，证明：“元重生集”有且只有一个，且. 【答案】（1）不是，理由如下： ， 因为， 所以集合不是“2元重生集”. （2）存在，1个 （3）不妨设， 由，得， 当时，，故，则，无解， 若，则不可能是“2元重生集”， 所以当时，不存在“2元重生集”； 当时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即， 当时，， 又，故， 事实上，在上恒成立， 故当时，不存在“元重生集”， 所以若“元重生集”有且只有一个，且. 【解析】 【分析】（1），故不为“2元重生集”； （2）设正整数集为“3元重生集”，设，利用不等式关系推出，故，求出； （3）设，得到，当时，推出矛盾，当时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即，当时，推出，但在上恒成立，故当时，不存在“元重生集”，从而证明出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设正整数集为“3元重生集”， 则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有满足要求， 综上，满足要求，其他均不符合要求， 故存在1个集合中元素均为正整数的“3元重生集”，即. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南华中学高2029届10月月考数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 集合，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 设，则的最小值是 B. 当时，的最小值是2 C. 当时， D. 当时，的最小值是5 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为 B. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 C. 关于的一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是 D. 不等式的解集为 11. 设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. 是集合的一个“理想元素” B. 若“理想集合”恰有4个子集，则 C. 集合是一个“理想集合” D. 若是集合的一个“理想元素”，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 13. 已知，，，，则______． 14. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： （1）工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ （2）若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 17. 已知集合、集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知有限集，若中的元素满足，则称为“元重生集”. （1）集合是否为“2元重生集”，请说明理由； （2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由； （3）若，证明：“元重生集”有且只有一个，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $