精品解析：重庆市渝北中学2024-2025学年高一上学期12月阶段质量监测数学试题

渝北中学2024-2025学年上期高一年级阶段质量监测 数学试题 （全卷共四大题19小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号、班级等填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知角，则角的终边落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 24 7. 已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递增的（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的值域是 C. 若函数只有一个零点，则实数的取值范围为 D. 若当时，，则的最大值是4 11. 环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____． 13. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则使成立的取值范围为______. 14. 已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为实数集，集合；. （1）当时，求，； （2）若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知幂函数在单调增，. （1）求函数的解析式； （2）如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； （3）求关于的不等式解集(其中). 17. 注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间（分钟）的关系为：当时，是的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当时，是的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100. （1）求关于的解析式； （2）如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据：） 18. 已知函数. （1）当时，解不等式：； （2）当时，若对任意的，恒成立，求正数的取值范围. 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学2024-2025学年上期高一年级阶段质量监测 数学试题 （全卷共四大题19小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号、班级等填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2. 已知角，则角的终边落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】求出与的角终边相同，从而得到得到答案. 【详解】，故与的角终边相同， 其中在第二象限，故角的终边落在第四象限. 故选：B. 3. 下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】用特例法或根据不等式的基本性质，判断每个选项即可. 【详解】对于选项A， 设 ，，，，则 ，，故选项A错误； 对于选项B，设，，则 ，故选项B错误； 对于选项C，由 可知，，故 ， 又因为，则有，即， ，即， 所以 成立，故选项C正确； 对于选项D，若 时，此命题并不成立，故选项D错误. 故选：C. 4. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理，结合选项，即可求解. 【详解】对于函数， 当时, ，则 ， ， ， ，， 所以根据零点存在定理可知，，，内不一定包含的零点， 内一定包含的零点． 故选：C. 5. 已知，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为指数函数、均为上的增函数， 所以，，， 对数函数在上为增函数，所以，， 因此，. 故选：A. 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数幂的运算性质化简得 ，再结合基本不等式“1” 的妙用即可求解. 【详解】由题意，，∴， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 7. 已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解即可. 【详解】由题意，在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且对于恒成立， 则，解得. 故选：A. 8. 已知，若满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的图象，设，用a表示，利用基本不等式求最值进而得取值范围. 【详解】由题，， 画出函数图象，如图所示，设，则， ，，， ，， 当且仅当，即时等号成立，故， 故选：C. 【点睛】数形结合，当时，将，，用相同参数表示，再构造，通过配凑，用基本不等式求最值，注意检验最值能否取. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递增的（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数式依次确定在上的单调性即可. 【详解】对于A，由对钩函数性质可知函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上都单调递增，则在上单调递增，B是； 对于C，当时，在上单调递增，C是； 对于D，定义域为，在上无定义，D不是. 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的值域是 C. 若函数只有一个零点，则实数的取值范围为 D. 若当时，，则的最大值是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数值判断A；举例说明判断B；数形结合求出函数的图象与直线只有一个交点时范围判断C；求出的最小值、的最大值判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由得的值域不是，B错误； 对于C，函数的图象如图， 函数的零点即函数的图象与直线交点的横坐标， 由图象知，当或时，函数的图象与直线有一个交点， 因此实数的取值范围为，C正确； 对于D，由，得或，由，得， 而当时，， 则，因此的最大值是4，D正确. 故选：ACD 11. 环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用换元法，则，故将表示成关于的分段函数，再利用函数的单调性即可得出. 【详解】设，则当时，. 可得， 则， 显然在上是减函数，在上是增函数， 则，且, 则有，解得， 又，故调节参数应控制在内， 结合选项可知：AB正确，CD错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据指、对数运算公式计算即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则使成立的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的关系求得满足的x的取值范围即可． 【详解】∵定义在上的偶函数在上单调递增， ，则， ∴则由，可得, 即， 故答案为：． 14. 已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数是偶函数，对函数求导可得函数是上的增函数，再由已知条件转化为，从而可得，通过判别式即可解得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， ， 所以函数是奇函数； ， 因为且， 所以，函数是上的增函数. 因为， 所以. 由于是增函数，则有， 即，在恒成立， 则，即，解得：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：在解决抽象函数不等式问题时，首先确定函数的性质（如奇偶性和单调性），然后根据这些性质将抽象的不等式转化为具体的形式。通过解具体的不等式或不等式组来找到变量的取值范围，这是处理此类问题的关键步骤。在这个过程中，特别需要注意函数性质的正确应用，以及如何有效地利用这些性质来简化和求解问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为实数集，集合；. （1）当时，求，； （2）若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）求得集合，进而可求得，； （2）根据给定条件可知集合A是集合B的真子集，根据包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 由，得， 解得， 所以， 当时，， 所以， 因为或， 所以或， 【小问2详解】 由（1）知，， 因为是的充分不必要条件，可知集合A是集合B的真子集， 所以，且等号不同时成立， 解得. 16. 已知幂函数在单调增，. （1）求函数的解析式； （2）如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； （3）求关于的不等式解集(其中). 【答案】（1） （2） （3） 当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质计算可得； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 由题意可得，或， 又因为在单调增，，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数在区间上是增函数， ，，即的取值范围为. 【小问3详解】 不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得，即不等式的解集为. 综上可得当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 17. 注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间（分钟）的关系为：当时，是的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当时，是的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100. （1）求关于的解析式； （2）如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据：） 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法来求得关于的解析式； （2）根据已知条件列不等式，由此求得正确答案. 【小问1详解】 当时，设， 依题意解得，所以， 当时，， 当时，设， 将代入上式得， 所以. 综上所述，. 【小问2详解】 由解得， 由， 得，， 所以. 综上所述，，共分钟. 18. 已知函数. （1）当时，解不等式：； （2）当时，若对任意的，恒成立，求正数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域与单调性并结合可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集； （2）当时，对任意的，，，由已知不等式结合对数函数的单调性化简可得，令，可得出，即可解得正实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 因为函数在上为增函数， 由可得，解得， 因此，当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，对任意的，，， 若对任意的，， 可得，可得， 所以，，整理可得对任意的恒成立， 令，由题意可得，解得， 又因为，所以，， 因此，正实数的取值范围是. 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】（1）是上的有界函数，理由如下： 当时，， 当时，， 由对勾函数性质得或， 或， 或， ∴的值域为，， ∴存在，使得， 所以是上的有界函数； （2） （3）存在，当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数； （2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案； （3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知在上恒成立， ，， 即， ∴在上恒成立， ∴． 设，，， 由，得． ∵在上单调递减，在上是单调递增， ∴在上，，． 所以，实数a的取值范围是. 【小问3详解】 ， ∵，， ∴在上递增， 根据复合函数的单调性可得在上递减， ∴， ∴h(x)存在上界. ①若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， ②若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， 综上，当时，； 当时，. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $