2.2.1 平方根 教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

课题 平方根 教学目标 1. 了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根了解平方与开平方互为逆运算。 2. 会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别与联系。 教学重点： 1.了解平方根、开平方的概念，会利用互逆运算关系求某些非负数的算术平方根与平方根. 2.平方根与算术平方根的区别和联系. 教学难点： 1.平方根与算术平方根的区别和联系. 2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算. 教学过程 一、复习回顾 1.什么叫算术平方根？ 一般地，如果一个正数x的平方等于a ，即x2= a ,那么这个正数x就叫做 a 的算术平方根， 记作 . 2.算术平方根具有什么性质？ 具有双重非负性： （1）a≥0 （2） 【设计意图】通过回顾算术平方根的概念和性质，为下面学习平方根做教学准备和铺垫. 二、情境引入 填一填： (1)9的算术平方根是 3 ，还有(-3)2=9. (2) 2 (3)平方等于0.64 的数有 2 个. (±0.8)2=0.64 【设计意图】学生很容易看出有正负两个数的平方为一个正数，让他们对平方根的概念有了初步认识. 三、探究新知 1.类比算术平方根的概念学习平方根的概念： 如果把±3， ，±0.8 ，分别叫 的平方根， 你能类比算术平方根的概念给出平方根的概念吗？ 平方根的概念： 一般地，如果一个数x的平方等于 a ，即x2= a ,那么这个数x就叫做 a 的平方根（square root,也叫做二次方根）. 练习1：根据平方根的定义填空 （1）因为 (±8)2 =64，所以64的平方根为±8; （2）因为 ( ) 2= ，所以 的平方根为 ; （3）0的平方根为 0 ; （4）-4有没有平方根？ 没有 【设计意图】通过类比学习，让学生根据算术平方根的概念学习平方个的概念，找出平方根和算术平方根的相同点与不同点，利用平方根的概念进一步正确理解两个不同的概念和学生准确解题很有帮助. 2.探究平方根的性质 想一想： （1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？ 平方根的性质： （1）正数有两个平方根，它们互为相反数. （2）0只有一个平方根，它是0本身. （3）负数没有平方根. 平方根的表示方法： 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根 ，另一个是 ，它们互为相反数.这两个平方根合起来可以记作： ，读作：正负根号a . 【设计意图】通过前面的学习和练习，学生不难得出一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，所以平方根和算术平方根的表示方法也不同； 0有一个平方根是0；负数没有平方根，进一步加深对平方根概念的理解. 3.开平方运算 填一填：填表格并思考两种运算有什么不同？ 教师：这是七年级上册《有理数》一章学习的平方运算. 教师提问：这是什么运算呢？ 开平方的概念： 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 平方和开平方互为逆运算.根据这种关系可以求出一个数的平方根. 【设计意图】通过两种运算的对比，引入新的运算“开平方”，进而理解如何去求一个数的平方根. 例1：求下列各数的平方根： （1） ；（2）0.0004； （3）(-25)2 ； （4）11. 解：（1）因为 ， 所以 的平方根是 ， 即 解：（2）因为(±0.02)2=0.0004 ， 所以0.0004 的平方根是±0.02， 即 解：（3）因为(±25)2=(-25)2 ， 所以(-25)2 的平方根是±25， 即 （4）11的平方根为 注意事项： 1.如果被开方数是小数，要注意小数点的位置， 也可以先将小数化为分数，再求它的平方根. 2.如果被开方数是带分数，先要把它化为假分数. 【设计意图】通过开平方运算求一个数的平方根，强调正确的书写格式，严格按照平方根的定义去书写解题格式. 练习2：求下列各式的值： （1） （2） 解： 解： 【设计意图】本小题是两道一元二次方程，虽然学生还没有学过一元二次方程的解法，但可以通过今天学习的平方根的定义进行求解. 4.算术平方根与平方根的区别与联系 【设计意图】学习在学习过程中一定要清楚算术平方根和平方根区别与联系，平方根包含算术平方根，表示方法也不同，在运用算术平方根和平方根解决问题时一定要分清楚什么时候用算术平方根，什么时候用平方根. 5.探究 与 思考1：尝试完成下列各题，并说说你有什么发现？7.2 64 0 你能把你的发现用字母表示出来吗？ 一般地， ＝a (a≥0). 练习3：计算下列各题 解： 想一想：本小题用到了幂的哪条基本性质呢？ 积的乘方：(ab)2=a2b2 思考2：尝试完成下列各题，并说说你有什么发现？ 0 0.1 2 你能把你的发现用字母表示出来吗？ 一般地， ＝a (a≥0). 练习4：计算下列各题 解： 或 思考3：当a＜0时， =？ 想一想：如何化简 呢？ 【设计意图】通过特殊到一般得出一般规律，并运用规律解决相关计算问题，需要注意的是要利用算术平方根的非负性解决相关计算问题要注意a的取值范围的不同. 思考：如何区别 与 ？ 四、学以致用 1.下列说法正确的是__①④⑤__ ① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8. 【设计意图】通过本节课的学习学生要掌握平方根的性质并会求一个数的平方根和算术平方根，学会区别算术平方根的区别与联系. 2.填空： （1）25的平方根是 ±5 ； （2） = 5 ； （3） = 5 . 【设计意图】本小题主要让学生学会求一个数的平方根并且会求一个非负数的算术平方根. 五、课堂小结 本节课你有哪些收获？ 【设计意图】通过本节课的学习除了学习平方根的概念、性质和开平方运算还学到了一个非常重要的数学思想，就是类比的数学思想，学生在学习数学过程中一定要懂得对数学思想的理解和运用. 六、课后作业 基础性作业： 习题2.4知识技能 1.求下列个数的平方根： 169,10-6， ， ，18. 3.求满足下列各式的未知数的x的值： （1） （2）x2=6 4.求下列各式的值： （1） （2） （3） 拓展性作业： 1.已知 ，求x的值． 2.若一个正数的平方根是2a-1和-a+2，求这个正数是多少？ 【设计意图】课后作业分为基础性作业和拓展性作业，主要让学生通过练习巩固求一个数的平方根,基础弱的学生可以完成课本习题，学有余力的学生可以完成拓展性作业. 7、 板书设计 平方根 课件展示区 例题展示区 1.平方根： 2.开平方： 3. 4. 八、教学反思 本节课主要学习平方根的概念，开平方运算，会用根号表示一个数的平方根，并会求一个数的平方根，了解平方和开平方互为逆运算，并会求一个非负数的平方根，教学中通过类比的数学思想让学生学会总结和归纳平方根的概念，然后通过平方根的定义会求一个数的平方根，进而总结出平方根的性质，一个正数有两个平方根并且互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0，本节课还让学生通过平方根的定义去求一个简单的一元二次方程，为后续学习一元二次方程打下基础，最后总结出平方根和算术平方根的区别与联系，让学生学会总结和归纳，将两节课的内容融会贯通起来，达到学以致用的目的，教学中通过特殊到一般得到两个规律，让学生学会分析如何求一个非负数的平方根以及算术平方根。整节课采取类比学习和从特殊到一般的数学思想，由浅入深，层层递进，学生参与度高，学习兴趣浓厚，达到了很好的教学效果，但也存在不足，学生对较难一点的问题缺乏分析问题的能力，对平方根和算术平方根容易混淆，在后续教学中要加强对易错易混淆知识点的讲解和巩固，让需逐步发现问题并解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $