2.2平方根与立方根教学设计-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

2.2 平方根与立方根（教学设计） 课题 2.2 平方根与立方根 单元 第二章 实数（2.2 平方根与立方根，建议3课时，本设计为整体设计） 学科 初中数学（北师大版） 年级 八年级 学习目标 1、了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根、平方根和立方根； 2、了解开平方、开立方与平方、立方互为逆运算，会用平方（立方）运算求一个数的平方根（立方根）； 3、掌握平方根与立方根的性质：一个正数有两个平方根（互为相反数），0 的平方根是 0，负数没有平方根；正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数； 4、会用计算器求平方根与立方根，会用“夹逼”的方法估计一个数的算术平方根或立方根的大小，发展数感和运算能力。 5、【核心素养】发展运算能力、数感和推理能力，体会开方与乘方互为逆运算。 教材分析 1、内容地位：本节是第二章“实数”的第2节，是在认识无理数之后对开方运算的系统学习。平方根与立方根是实数运算的重要组成部分，也是后续学习二次根式、一元二次方程的基础。 2、编写思路：教材先用图2-5 的“直角链”（OA=OB=BC=CD=DE=1，各直角三角形依次构造）得到 =2，=3，=4，=5，引出“已知一个数的平方求这个数”的问题；接着给出算术平方根的定义与符号 ，通过“思考·交流”得到 与 的结论（蓝框）并用例2 的“自由落体”落实；再把“平方”推广到一般，给出平方根的定义、符号 、开平方的概念和“正数有两个平方根”等结论（蓝框）；然后用图2-6 的立方块情境引出立方根，给出 的记法与“正数的立方根是正数”等结论（蓝框）；最后通过“公园荒地”“梯子靠墙”等情境，引导学生用估算和计算器求平方根、立方根的近似值。 3、课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生“了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示”“会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根”“能用计算器求平方根和立方根，并会对结果取近似值”。 4、前后联系：本节承接 2.1“认识实数”，把无理数从“生活中的量”落实为“可以运算的对象”；又为 2.3“二次根式”提供符号与性质基础，是实数运算体系的枢纽。 学情分析 1、已有基础：学生已掌握乘方运算，知道有理数的平方、立方怎么算，也初步认识了无理数，会用计算器进行基本运算。 2、主要障碍： （1）容易混淆“平方根”与“算术平方根”，求平方根时漏掉负的平方根； （2）混淆 、、、 等不同的式子，尤其是 的结果写成 −8； （3）误认为“负数没有立方根”，把立方根与平方根的性质混为一谈； （4）用计算器求 时不会输入根指数，估计 的大小时不知如何确定范围。 3、教学策略：用“平方（立方）与开方互为逆运算”这一条主线统整全节；采用“对比表格”把算术平方根、平方根、立方根的定义、符号、个数并列呈现；用一批对比题（如 、、）集中辨析易错点。 教学重点 算术平方根、平方根、立方根的概念与表示；开方与乘方的互逆关系。 教学难点 平方根与算术平方根的区别与联系； 的化简；用估算求平方根、立方根的近似值。 教学准备 多媒体课件（PPT）；计算器（每人一台）；立方体积木或图2-6 的示意图；直尺。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【情境引入：一个数，它的平方是多少】 教师：请看图2-5，图中 OA=OB=BC=CD=DE=1，O、B、C、D 处都是直角。请根据图填空： 　　x² = ______，y² = ______，z² = ______，w² = ______。 教师：请同学们用勾股定理依次算一算。 学生：在 Rt△OAB 中，x²=OA²+OB²=1²+1²=2； 在 Rt△ABC 中，y²=AB²+BC²=x²+1=3； 在 Rt△ACD 中，z²=AC²+CD²=y²+1=4； 在 Rt△ADE 中，w²=AD²+DE²=z²+1=5。 教师：所以 x²=2，y²=3，z²=4，w²=5。那么 x，y，z，w 分别是多少？它们中哪些是有理数？ 学生：z²=4，z=2 是有理数；其余三个的平方分别是 2、3、5，找不到有理数的平方等于它们，所以 x、y、w 都是无理数。 教师：说得对。已知一个数的平方，怎样求这个数？这就是“开方”运算要解决的问题。（板书课题） 1、依次在四个直角三角形中用勾股定理算出 x²、y²、z²、w²； 2、判断哪个数是有理数、哪些是无理数； 3、提出问题：已知一个数的平方，怎样求这个数？ 用图2-5 的“直角链”把勾股定理与本节的平方根自然衔接，让学生在熟悉的图形中产生“已知平方求原数”的需求。 探究 新知 【活动一：算术平方根】 教师：像 z=2 这样，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x²=a，就把这个正数 x 叫作 a 的算术平方根。 教师：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 =a，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”。 教师：特别地，我们规定：0 的算术平方根是 0，即 =0。 教师：请同学们注意根号的结构——根号、被开方数。求下列各数的算术平方根。 例1　（1）900；（2）1；（3）49/64；（4）14。 【解】（1）因为 =900，所以 900 的算术平方根是 30，即 =30； （2）因为 =1，所以 1 的算术平方根是 1，即 =1； （3）因为 =，所以 的算术平方根是 ，即 =； （4）14 的算术平方根是 。 教师：请观察例1，哪些数的算术平方根的结果没有“√”了？这些数有什么特点？ 学生：900、1、49/64 的结果没有根号，因为它们都是某个有理数的平方。 教师：那么 14 呢？ 学生：14 不是有理数的平方，所以只能保留 。 教师：在例1 中，=30，也就是 =30。一般地，当 a≥0 时，=a 成立吗？=a 成立吗？这里的 a 是什么数？ 学生：当 a≥0 时都成立，此时 =a，=a。 教师（追问）：当 a<0 时，=a 还成立吗？ 学生：不成立，例如 ==8，而 −8 是负数，所以结果应该是 −a。 教师（小结，蓝框）：当 a≥0 时，=a，=a；当 a<0 时，=−a。 教师：也就是说， 的结果一定是一个非负数。 教师：请用这个结论解决一个实际问题—— 例2　由静止自由下落的物体下落的距离 s（单位：m）与下落时间 t（单位：s）之间的关系为 s=4.9t²。有一个铁球从 19.6 m 高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？ 【解】将 s=19.6 代入公式 s=4.9，得 =4，所以 t==2。 因此，铁球到达地面需要 2 s。 教师：这里的 t 是时间，只能取正数，所以取算术平方根。 1、理解算术平方根的定义，说出 中各部分的名称； 2、完成例1，说明哪些结果可以去掉根号； 3、讨论 与 在 a≥0、a<0 时的不同结论； 4、完成例2，体会实际问题中取值的限制。 由“求算术平方根”抽象出符号 与两条性质，用 a<0 的追问制造认知冲突，再借数轴直观说明 的非负性，突破 的化简这一难点。 探究 新知 【活动二：平方根（二次方根）】 教师：3 的平方是 9，还有其他的平方也是 9 吗？平方等于 4/25 的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？ 学生：(−3)² 也等于 9；平方等于 4/25 的有 2/5 和 −2/5；平方等于 0.64 的有 0.8 和 −0.8。 教师：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x²=a，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根（square root，也叫作二次方根）。 教师：请比较：平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？一个正数有几个平方根？0 有几个平方根？负数呢？ 学生（讨论后归纳）： · 相同点：都是“平方等于 a 的数”，0 的平方根和算术平方根都是 0； · 不同点：算术平方根只取正的那个，平方根包含正、负两个； · 一个正数有两个平方根，0 只有一个平方根，负数没有平方根。 教师（蓝框）：一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。 教师：正数 a 的两个平方根可以这样表示——正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根 ，另一个是 ，它们互为相反数。这两个平方根合起来可以记作 ，读作“正、负根号 a”。 教师：求一个数 a 的平方根的运算，叫作开平方，a 叫作被开方数。 教师：求下列各数的平方根。 例3　（1）64；（2）49/121；（3）0.000 4；（4）(−25)²；（5）11。 【解】（1）因为 =64，所以 64 的平方根是 ±8，即 =±8； （2）因为 =，所以 的平方根是 ，即 =； （3）因为 =0.000 4，所以 0.000 4 的平方根是 ±0.02，即 =±0.02； （4）因为 =，所以 的平方根是 ±25，即 =±25； （5）11 的平方根是 。 例4　求下列各式的值：（1）；（2）；（3）。 【解】（1）==15； （2）==； （3）=8。 教师强调： 表示算术平方根，结果非负； 表示负的平方根； 表示两个平方根。要看清符号再计算。 1、举例说明一个正数有两个平方根，并用 表示； 2、列表比较算术平方根与平方根的异同； 3、完成例3、例4，注意符号与结果的取值范围； 4、小结“开平方”与“平方”的互逆关系。 通过对比表格理清算术平方根与平方根的关系，用符号意义上的辨析（、、）以及例3、例4 的集中训练突破易错点。 探究 新知 【活动三：立方根（三次方根）】 教师：图2-6 是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体积为 216 cm³，那么每个小立方块的棱长是多少？ 学生：从图中可以看出棱上有 3 块，设每个小立方块的棱长为 x cm，则 (3x)³=216，所以 3x=6，x=2。 教师：也就是要求一个数，使它的立方等于给定的数。 教师：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x³=a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根（cubic root，也叫作三次方根）。 教师：如 2 是 8 的立方根，−2/3 是 −8/27 的立方根，0 是 0 的立方根。 教师：一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？请先求 8，0，−27 的立方根，再回答：正数有几个立方根？0 有几个立方根？负数呢？ 学生：2³=8，所以 8 的立方根是 2；0³=0，所以 0 的立方根是 0；(−3)³=−27，所以 −27 的立方根是 −3。 学生：一个数只有一个立方根；正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。 教师：每个数 a 都有一个立方根，记作 ，读作“三次根号 a”。例如当 =7 时，x=；2 是 8 的立方根，记作 =2。 教师（蓝框）：正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。 教师：求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方，a 叫作被开方数。 例5　求下列各数的立方根：（1）−27；（2）8/125；（3）0.216；（4）−5。 【解】（1）因为 =−27，所以 −27 的立方根是 −3，即 =−3； （2）因为 =，所以 的立方根是 ，即 =； （3）因为 =0.216，所以 0.216 的立方根是 0.6，即 =0.6； （4）−5 的立方根是 。 教师：在例5 中，=−3，也就是 =−3。一般地，=a 成立吗？=a 成立吗？ 学生：都成立，因为开立方与立方互为逆运算。 例6　求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）。 【解】（1）==−2；（2）==0.4； （3）==；（4）=9。 教师（对比小结）：负数没有平方根，但有立方根；正数的平方根有两个，而立方根只有一个。 1、由立方块体积问题抽象出“已知立方求原数”； 2、理解立方根的定义与 的记法； 3、对比平方根与立方根的个数和符号规律； 4、完成例5、例6，并说明 =a、=a 成立的理由。 用几何体的体积情境引出立方根，再通过与平方根的对比表格式辨析，把“个数”“符号”两个维度的区别讲透，避免混淆。 探究 新知 【活动四：估计与计算器求值】 教师：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园。已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m²。 （1）公园的宽大约是多少？它有 1 000 m 吗？（2）如果要求结果精确到 10 m，它的宽大约是多少？ （3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 m²，你能估计它的半径吗（结果精确到 1 m）？ 学生：设宽为 x m，则长为 2x m，2x·x=400000，=200000，所以 x=。 学生：因为 400²=160000，500²=250000，所以 400<x<500，没有 1 000 m 那么宽； 再算 440²=193600，450²=202500，所以 440<x<450，精确到 10 m 约为 450 m。 教师：这种一位一位夹逼的方法，和上一节课估计无理数的方法是一样的。 教师：请看“思考·交流”——下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？ 　　≈0.066，　≈96，　≈60.4。 学生：=0.004356，与 0.43 相差太大，所以第一个错（应为 ≈0.66）； 学生：96³=884736，远远大于 900，所以第二个错；60.4²=3648.16≠2536，所以第三个也错。 教师：判断一个近似结果是否正确，最有效的办法就是把结果平方（立方）回去，看是否接近原来的数。 教师：请估计 的大小（结果精确到 1）。 学生：因为 =729，=1000，900 在 729 和 1000 之间，所以 精确到 1 约为 10。 教师：除了估算，我们也可以利用计算器进行开方运算。请观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求 和 （结果精确到 0.000 1）。 学生（动手操作后汇报）：≈2.426 9，≈−10.871 8。 教师：请继续完成教材上的探究——任意找一个很大的正数，不断进行开平方运算，随着次数的增加，你发现了什么？改用小于 1 的正数再试一试。 学生：结果都越来越接近 1。 教师：最后我们看一个生活中的例子—— 例7　生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的 1/3，则梯子比较稳定。如图2-7，现有一架长度为 6 m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达 5.6 m 高的墙头吗？ 【解】设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为 x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的 1/3。 根据勾股定理，有 +=，即 =32，x=。 因为 =31.36<32，所以 >5.6。 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达 5.6 m 高的墙头。 教师：比较 与 5.6 的大小，只要比较它们的平方即可（两数均为正数）。 1、用夹逼法估计 与 的大小，回答精确度的要求； 2、判断三个近似结果是否正确，说出判断方法； 3、用计算器求 、，并完成“反复开平方”的探究； 4、完成例7，比较 与 5.6 的大小。 把估算、验算、计算器求值三种方法放在一起，形成完整的“求近似值”技能链；例7 把开方运算放回实际问题中，体现数学的应用价值。 巩固 练习 【随堂练习】 1、（教材第32页）求下列各数的算术平方根：36，9/16，17，0.81，10⁻⁴。 【答案】=6；=；17 的算术平方根是 ；=0.9；=。 2、（教材第32页）在 △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=5，求 AB 的长。 【答案】=+=9+25=34，所以 AB=。 3、（教材第32页）从帐篷支撑杆 AB 的顶部 A 向地面拉一根绳子 AC 固定帐篷。若绳子的长度为 8 m，地面固定点 C 到帐篷支撑杆底部 B 的距离为 6.4 m，则帐篷支撑杆的高是多少？ 【答案】=−=64−40.96=23.04，所以 AB==4.8（m）。 4、（教材第34页）求下列各数的平方根：1.44，0，8，100/49，441，196，10⁻⁴。 【答案】±1.2；0；；；±21；±14；±。 5、（教材第34页）填空：（1）25 的平方根是____；（2）=____；（3）=____；（4）=____。 【答案】（1）±5；（2）5；（3）5；（4）5。 6、（教材第34页）当 a=5，b=12 时，求 的值。 【答案】==13。 7、（教材第35页）求下列各式的值：，，，。 【答案】0.2；−4；5；16。 8、（教材第37页）估计下列各数的大小：（1）（结果精确到 0.1）；（2）（结果精确到 1）。 【答案】（1）=12.96，=13.69，所以 ≈3.7；（2）=729，=1000，所以 ≈9。 1、独立完成以上各题，注意结果的符号与取值范围； 2、第5题做完后同桌互查，重点讨论四个式子的区别； 3、第8题用夹逼法写出估计的过程。 练习按“算术平方根—平方根—立方根—估计”四个层次编排，覆盖本节的每一个核心目标，第5题专门针对易错式子进行辨析。 课堂 小结 教师引导学生用表格完成知识梳理： 一、算术平方根：正数 x 满足 =a，则 x=（a≥0）；特别地 =0 二、平方根（二次方根）：=a，则 x=；一个正数有两个平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根 三、立方根（三次方根）：=a，则 x=；每个数都有一个立方根，正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数 四、开方与乘方互为逆运算：开平方↔平方，开立方↔立方 五、两条性质：当 a≥0 时 =a，=a；当 a<0 时 =−a；=a，=a 六、求近似值：夹逼估计、平方（立方）验算、计算器求值 1、对照板书和表格梳理三类开方的定义与性质； 2、说出最容易出错的两个地方并说明理由； 3、完成学习任务单上的自我评价。 用一张对比表格把算术平方根、平方根、立方根的定义、符号、个数并列呈现，突出“开方与乘方互逆”这条主线，形成清晰的知识结构。 布置 作业 【分层作业】 1、基础题：教材第37页 习题2.2 知识技能 第1、2、7题。 2、提升题：教材第38页 习题2.2 知识技能 第3、4、5题（注意 、、、、、、 等式子的区别）；第6题（当 c=25，b=24 时求 的值）。 3、实践题：教材第40页 习题2.2 问题解决 第18题（用 d≈ 计算站在 810 m 高处能看到的距离）。 4、拓展题：教材第39页 习题2.2 数学理解 ※第12题（借助图形解释 a<b ⇒ <）。 5、预习：阅读教材2.3《二次根式》，观察 、、 这些式子有什么共同特征。 1、记录作业内容； 2、计算器求值题要写清精确度并按四舍五入取近似值； 3、整理“易错式子对比表”写进数学笔记。 作业分层：基础题巩固三类开方，提升题集中辨析易错式子，实践题把开方运算用到实际问题中，拓展题训练用图形解释不等式，发展推理能力。 板书 设计 2.2 平方根与立方根 一、算术平方根：=a（x>0）⇒ x=；=0 二、平方根：=a ⇒ x= 　　正数有两个平方根（互为相反数）；0 的平方根是 0；负数没有平方根 三、立方根：=a ⇒ x= 　　每个数都有一个立方根；正数—正，0—0，负数—负 四、开方↔乘方 互逆　　五、=|a| 形式：a≥0 时为 a，a<0 时为 −a （副板书：算术平方根/平方根/立方根 对比表） 教学 反思 1、成功之处：用图2-5 的“直角链”衔接上一节的勾股定理与实数概念，过渡自然；“算术平方根—平方根—立方根”的对比表格让三者关系一目了然；例4、例6 集中处理 、 等易错式子，效果明显。 2、不足之处：仍有学生求平方根时漏掉负根；用计算器求 时不少学生不会输入负号和根指数；估计 时不知从哪两个整数的平方入手。 3、改进设想：下次教学可在求平方根前先让学生口头回答“9 的平方根和算术平方根分别是多少”，反复强化；计算器操作可安排两分钟的同桌互教；估计环节先集体确定“找哪两个相邻整数的平方”。 学科网（北京）股份有限公司 $