2.3二次根式教学设计-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

2.3 二次根式（教学设计） 课题 2.3 二次根式 单元 第二章 实数（2.3 二次根式，建议2课时，本设计为整体设计） 学科 初中数学（北师大版） 年级 八年级 学习目标 1、了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数，会判断一个式子是不是二次根式； 2、理解并掌握二次根式的乘法法则和除法法则，会进行二次根式的乘、除运算； 3、理解最简二次根式的意义，会利用积与商的算术平方根的性质把二次根式化成最简二次根式； 4、会进行二次根式的加减运算，能合并化简后被开方数相同的项，发展运算能力和推理能力。 5、【核心素养】发展运算能力、推理能力和代数意识，在“数系扩充”的回顾中提升整体认识。 教材分析 1、内容地位：本节是第二章“实数”的第3节，也是本章的收官内容。二次根式是实数运算的重要载体，它把“开方”这一运算从求值推广到式的运算，是后续学习一元二次方程、勾股定理计算以及高中“根式”内容的基础。 2、编写思路：教材先让学生观察 、、、、（其中 b=24，c=25）等已学过的式子，归纳出共同特征——“都含有开方运算，并且被开方数都是非负数”——从而给出二次根式的定义；接着用“尝试·思考”中的计算与猜想，归纳出乘法法则与除法法则，并通过例1、例2 落实运算；再把两个法则的等号左右交换，得到积与商的算术平方根的性质，据此引出最简二次根式的概念（例3、例4）；然后用“二次根式也可以进行加减运算……各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并”这一依据，通过例5、例6 学习加减运算；最后借助方格纸上的梯形 ABCD（图2-8）综合运用二次根式的运算求周长和面积，并安排“回顾·反思”栏目引导学生感悟数系的扩充。 3、课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生“了解二次根式的概念”“掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算”，并把二次根式运算纳入“数与式”主题的运算能力培养。 4、前后联系：本节承接 2.1“认识实数”和 2.2“平方根与立方根”，把开方运算系统化、工具化；同时为八年级下册学习一元二次方程的求根公式、为勾股定理的相关计算提供必要的运算技能。 学情分析 1、已有基础：学生已掌握算术平方根、平方根的概念与性质，会用计算器求平方根，能进行简单的实数运算，也学过整式的乘法公式（平方差公式、完全平方公式）。 2、主要障碍： （1）运算时容易忽略被开方数的取值范围，写出 之类没有意义的式子； （2）化简时找不到“能开得尽方的因数”，如看不出 =； （3）化去分母中的根号（如 、、1/）时，不知道该乘什么； （4）加减运算中把 误认为等于 ，或把 误认为等于 。 3、教学策略：用“对比辨析”的方式集中处理易错点（如 与 、 与 ）；用“把被开方数分解出平方因数”的方法突破化简难点；始终强调“先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的项”。 教学重点 二次根式的乘、除、加、减运算法则；最简二次根式。 教学难点 把二次根式化成最简二次根式（化去被开方数中的分母、开出能开得尽方的因数）；二次根式的加减运算。 教学准备 多媒体课件（PPT）；计算器（用于验证运算结果）；方格纸（用于图2-8 的周长与面积探究）。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【情境引入：这些式子有什么共同特征】 教师：请同学们观察下列代数式—— 　　，，，，（其中 b=24，c=25）。 教师：这些式子我们在前面都已学习过，它们有什么共同特征？ 学生：都含有开方运算，而且被开方数都是非负数。 教师：一般地，形如 （a≥0）的式子叫作二次根式，a 叫作被开方数。 教师：为什么要限定 a≥0？ 学生：因为负数没有平方根，所以被开方数必须是非负数。 教师：请判断下列各式是不是二次根式，并说明理由：，，，。 学生： 是； 不是，因为被开方数是负数； 学生： 是，因为 +1>0 恒成立； 不是二次根式，它是立方根。 教师强调：判断的关键有两点——一是含有二次根号“√”，二是被开方数非负。 教师：二次根式的运算有怎样的规律呢？这节课我们一起来研究。（板书课题） 1、观察给出的式子，归纳它们的共同特征； 2、理解二次根式的定义与 a≥0 的必要性； 3、判断若干式子是不是二次根式，并说明理由。 从学生已见过的式子入手归纳定义，避免直接给出抽象概念；通过判断练习强化“被开方数非负”这一关键条件。 探究 新知 【活动一：乘法法则与除法法则】 教师：请计算下列各式，你能得到什么猜想？ 　　×=____，=____；　　×=____，=____； 　　÷=____，=____；　　÷=____，=____。 学生：×=2×3=6，==6，相等； 学生：×=4×5=20，==20，相等； 学生：÷=2÷3=，==，相等； 学生：÷=5÷7=，==，相等。 教师：请根据上面的猜想，估计下面每组中的两个式子是否相等，并用计算器验证。 　　× 与 ，　÷ 与 。 学生：用计算器算得 ×≈2.449×2.646≈6.481，≈6.481，相等；另一组也相等。 教师：请用字母表示你发现的猜想，并说说这个猜想为什么正确。 学生：·=（a≥0，b≥0），÷=（a≥0，b>0）。 教师：这就是二次根式的乘法法则和除法法则。为什么除法法则中要求 b>0？ 学生：因为除数不能为 0，所以 b>0。 教师：下面我们用法则进行计算。 例1　计算：（1）×；（2）÷。 【解】（1）×===2； （2）÷=÷===3。 例2　计算：（1）×；（2）×−5；（3）； 　　（4）；（5）×；（6）÷。 【解】（1）×=3×2××=3×2×=； （2）×−5=−5=−5=6−5=1； （3）=+=+1=； （4）=−=13−9=4； （5）×=××==6−1=5； （6）÷=÷÷==2+3=5。 教师：例2 用到了哪些已学的知识？ 学生：乘法分配律、平方差公式、完全平方公式，还有 =a。 教师强调：整式的运算法则和乘法公式对二次根式同样适用。 1、计算并观察四组式子，提出猜想； 2、用计算器验证 × 与 是否相等； 3、用字母表示法则，说明取值范围； 4、完成例1、例2，说出每一步的依据。 由具体计算到字母表示，让学生自主归纳出乘、除法则；例2 把二次根式运算与乘法公式联系起来，体现“式”的运算的一致性。 探究 新知 【活动二：化简与最简二次根式】 教师：把 ·= 和 ÷= 等号的左边与右边交换，就得到—— 　　=·（a≥0，b≥0），=÷（a≥0，b>0）。 教师：这两个式子可以用来化简二次根式。 例3　化简：（1）；（2）；（3）。 【解】（1）=×=9×8=72； （2）=×=； （3）=÷=。 教师：请观察例3 的化简结果 、，它们的被开方数有什么特点？ 学生：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数。 教师：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。 教师：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 例4　化简：（1）；（2）；（3）。 【解】（1）==×=； （2）==÷=； （3）==÷=。 教师：你是怎么发现 含有开得尽方的因数的？又是怎么判断 是最简二次根式的？ 学生：把 50 分解成 25×2，25 是能开得尽方的因数； 学生： 的被开方数是 14，不含分母，也不含能开得尽方的因数，分母 7 中也没有根号，所以是最简二次根式。 教师（追问）： 是哪个数的算术平方根？ 学生：因为 =25×2=50，所以 是 50 的算术平方根。 教师小结：化简二次根式的两条路子——把被开方数中能开得尽方的因数“开”出来；把被开方数中的分母（或分母中的根号）化去。 1、把两个法则的等号左右交换，理解积与商的算术平方根性质； 2、完成例3，观察化简结果的共同特点，归纳最简二次根式的条件； 3、完成例4，交流化去分母中根号的方法； 4、回答“ 是哪个数的算术平方根”，检验化简的正确性。 通过“观察结果—归纳条件”的方式让学生自己概括出最简二次根式的标准；用“平方回去”的追问提供了检验化简结果的方法，培养反思习惯。 探究 新知 【活动三：二次根式的加减运算】 教师：二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。 教师：如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。 例5　计算：（1）；（2）；（3）×。 【解】（1）==×==； （2）===； （3）×=××===。 教师：请判断下列计算是否正确，并说明理由。 　　（1）=；（2）=；（3）÷2=。 学生：（1）错。≈1.414，≈1.732，和为 3.146，而 ≈2.236，不相等； 只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并， 与 的被开方数不同，不能合并。 学生：（2）错。2 与 不是同类项，不能合并，≈3.414≠2.828。 学生：（3）错。÷2=÷2=，不是 。 教师：小明是这样计算 ÷÷2 的—— 　　÷÷2=×÷÷2=÷÷2=。 教师：分子、分母同乘 的目的是什么？ 学生：把分母中的根号化去，使分母变成有理数。 教师：请同学们计算 −7÷，你有哪些方法？ 学生：7÷=÷7=，所以 −7÷==。 例6　计算：（1）；（2）； 　　（3）÷；（4）。 【解】（1）==−=； （2）==+=； （3）÷=÷÷==−=； （4）==−=−。 教师：第（4）题的结果中为什么可以保留 ？ 学生：因为 化成最简二次根式后与 、 化简后的被开方数不可能相同，所以不必再化成最简二次根式。 1、理解“被开方数相同的项才能合并”这一依据； 2、辨析三道错题，说出错误的原因； 3、交流化去分母中根号的方法； 4、完成例6，注意运算顺序和结果的规范。 用三道典型错题集中辨析“不能合并”的几种情形，把易错点讲透；通过一题多解（−7÷）鼓励算法多样化，发展运算能力。 例题 精讲 【例题精讲：方格纸上的梯形】 教师：如图2-8，方格纸中每个小方格的长均为 1。（1）求梯形 ABCD 的周长。（2）求梯形 ABCD 的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。 教师：请同学们先在图上读出四个顶点的位置，再用勾股定理求各边长度。 学生：以左下角的格点为起点，A 在 (1,8)，B 在 (6,3)，C 在 (2,1)，D 在 (1,2)（列，行）。 教师：请分别计算四条边的长度。 学生：DA 是竖直线段，DA=8−2=6； 学生：CD==； 学生：BC====； 学生：AB====。 教师：所以周长是多少？ 学生：周长 = DA+AB+BC+CD = = 。 教师：面积怎么求？请同学们交流各自的方法。 学生（方法一，割补法）：用边长 5 和 7 的矩形把它框住，再减去四周多余的三角形，得到面积 18。 学生（方法二，梯形面积公式）：因为 CD 的方向与 AB 的方向相同（斜率都是 −1），所以 DC∥AB，四边形 ABCD 是梯形，两底分别为 和 ； 两条平行线之间的距离为 6÷=， 所以面积 = ÷2× = × = 18。 教师：两种方法得到的答案一致。方法二实际上把“化曲面为平面”“化斜为直”的思想用在了面积计算上：先判断平行关系，再把两底和高的长度用二次根式表示出来。 教师强调：计算结果要化成最简二次根式；能合并的项一定要合并。 1、在方格纸上读出四个顶点的位置； 2、用勾股定理分别求出四条边的长度，并化成最简二次根式； 3、用割补法或梯形面积公式求面积，比较不同方法的优劣； 4、交流求解经验，规范书写格式。 以方格纸上的梯形为载体，把二次根式的化简、加减运算与勾股定理、面积计算综合起来，是本节知识的综合运用，也为下一章“位置与坐标”作铺垫。 巩固 练习 【随堂练习（教材第42页）】 1、计算：（1）×；（2）；（3）； 　　（4）×；（5）÷；（6）×。 【答案】（1）=；（2）−3=−1；（3）+1=； （4）=9+1=10；（5）=3−2=1；（6）=3−。 【随堂练习（教材第44页）】 2、化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）1÷。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 3、下列计算是否正确？（1）=；（2）=；（3）÷2=。 【答案】三题都错。（1）被开方数不同，不能合并；（2）2 与 不是同类二次根式，不能合并； （3）÷2=÷2=。 【随堂练习（教材第46页）】 4、计算：（1）；（2）； 　　（3）×；（4）。 【答案】（1）=； （2）+=； （3）×=×=10； （4）=。 5、（尝试·思考）化简 ·，其中 a=28，b=7。 【解】·=··=−b。 当 a=28，b=7 时，原式=−7×==。 1、独立完成各题，注意把结果化成最简二次根式； 2、第3题先判断对错，再说清错在哪里； 3、第5题先化简再代入，体会“先化简、后求值”的优越性。 练习按“乘除运算—化简—辨析—加减运算—化简求值”的顺序编排，覆盖本节的运算技能，并通过错题辨析强化对“合并条件”的理解。 课堂 小结 教师引导学生完成知识梳理： 一、二次根式：形如 （a≥0）的式子，a 叫作被开方数 二、乘法法则：·=（a≥0，b≥0）；除法法则：÷=（a≥0，b>0） 三、积与商的算术平方根性质：=·；=÷ 四、最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式；结果中分母不含根号 五、加减运算：先化成最简二次根式，再把被开方数相同的项合并 六、易错提醒：≠；≠；÷2=≠ 七、回顾·反思：对比有理数和实数的学习过程，你对“数”的扩充有什么感悟？ 1、对照板书口头梳理四则运算法则与最简二次根式的条件； 2、说出三个最容易出错的地方； 3、完成学习任务单上的自我评价，并交流对“数系扩充”的感悟。 用“定义—法则—化简—加减—易错点—数系感悟”的线索梳理全课，把运算技能与数系认识结合起来，形成完整的知识结构。 布置 作业 【分层作业】 1、基础题：教材第47页 习题2.3 知识技能 第1、2题。 2、提升题：教材第47页 习题2.3 知识技能 第3题；第4题（直角三角形斜边 15 cm、一条直角边 10 cm，求另一条直角边的长）。 3、实践题：教材第47页 习题2.3 数学理解 第6题——借助“面积为 8 的正方形”和“面积为 2 的正方形”解释 =。 4、拓展题：教材第48页 习题2.3 联系拓广 ※第11题（已知 a，b 为正数，化简 ）；※第12题（仿照 =4 的方法化简 、）。 5、复习：整理第二章“实数”的知识结构图，为本章复习作准备。 1、记录作业内容； 2、运算题要写出完整的化简过程，结果化为最简二次根式； 3、整理“二次根式易错清单”写进数学笔记。 作业分层：基础题巩固四则运算，提升题结合勾股定理，实践题用图形解释化简结果，拓展题引入分母有理化的初步方法，为后续学习作铺垫。 板书 设计 2.3 二次根式 一、定义：（a≥0），a 叫被开方数 二、乘法法则：·=（a≥0，b≥0） 　　除法法则：÷=（a≥0，b>0） 三、化简：=·；=÷ 　　最简二次根式：不含分母、不含开得尽方的因数 四、加减：先化简，再合并被开方数相同的项 五、易错：≠；≠；÷2= （副板书：图2-8 梯形周长与面积的计算过程） 教学 反思 1、成功之处：由“观察已学式子—归纳共同特征”得出定义，符合学生的认知起点；“计算—猜想—验证—用字母表示”的过程让学生自己得到了乘、除法则；三道错题的集中辨析效果很好，学生对“被开方数相同才能合并”印象很深。 2、不足之处：化去分母中的根号仍是难点，部分学生面对 时不知道该乘什么；图2-8 中判断 DC∥AB 并求两平行线间的距离，对多数学生而言难度偏大，需要较多引导。 3、改进设想：下次教学可先复习“分数的基本性质”，用“分子分母同乘一个数”的类比帮助学生理解“分子分母同乘一个根号”；图2-8 可先让学生用割补法求面积，再引导学有余力的学生用梯形面积公式。 学科网（北京）股份有限公司 $